精品解析：四川省达州市大竹县高穴中学2025-2026学年八年级下学期阶段自测数学试题

四川省达州市大竹县高穴中学2025-2026学年八年级下学期阶段自测 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 4. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 5. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，过对角线的交点，交于，交于，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 28 7. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 8. 如图，在中，，M、N分别是的中点，D、E为上的点，连结．若，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________．（用或或号填空） 10. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 11. 分解因式： _________． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 13. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，满足． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）的长等于______；（结果保留根号） （2）若向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标是______； （3）请画出关于原点的中心对称图形，并写出点的坐标______． 17. 在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； （2）如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 18. 某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 20. 实数满足，且则______． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为__________． 22. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点B，C的坐标分别为(﹣，0)，(2，0)，点A在y轴上，点D为AC的中点，DE⊥AB于点E，若∠ABD＝∠DBC，则DE＝_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 25. 定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，，当的解集为，则称，，构成“不等式”． （1）整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； （2）若三个关于x的整式、、，可以构成“不等式”，求a的值； （3）若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 26. 已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，求的长； （2）如图2，连接，当时，求证：； （3）如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市大竹县高穴中学2025-2026学年八年级下学期阶段自测 数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合；结合各选项所给图形进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； B．是中心对称图形，本选项正确，符合题意； C．不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意； D．不是中心对称图形，本选项错误，不符合题意． 2. 若，且，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，根据题意可知不等式两边同时乘以之后不等号没有发生改变，则． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 3. 等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 17 B. 13 C. 17或22 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，解题时需分类讨论，并验证是否满足三边关系． 等腰三角形的两边长分别为4和9，需分两种情况讨论：当腰为4底为9时，当腰为9底为4时． 根据三角形三边关系，只有腰为9时能构成三角形，周长为22． 【详解】解：当腰为4底为9时，三边为4，4，9． ∵，不满足三角形三边关系， ∴ 不能构成三角形． 当腰为9底为4时． ∵，， 满足三角形三边关系， ∴ 能构成三角形，周长． ∴ 这个等腰三角形的周长为22． 故选D． 4. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. －18x4y3＝－6x2y2·3x2y B. (a＋2)(a－2)＝a2－4 C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D. a2－8a＋16＝(a－4)2 【答案】D 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、左边不是多项式，故A错误； B、是多项式乘法，不是因式分解，故B错误； C、右边不是积的形式，故C错误； D、符合因式分解的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解． 5. 若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件得出：，解出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 6. 如图，过对角线的交点，交于，交于，若的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而证明，可得，再说明，最后根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 已知关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m值，再根据分式方程无解的条件得出一个m值即可． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， ∴当，即时，方程无解； 当时，由分式方程无解，可得 ，即， 把代入， 解得：， 综上，m的值为1或4． 故选：D． 8. 如图，在中，，M、N分别是的中点，D、E为上的点，连结．若，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三线合一，勾股定理，连接，易得是的中位线，得到，过点作于，三线合一，勾股定理求出的长，根据图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是，且高的和为； ∴． 故选B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________．（用或或号填空） 【答案】 【解析】 【详解】解：，不等式两边同时乘以，不等号方向改变， ． 10. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角的性质．熟记直角三角形的性质的内容是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 则的面积． 故答案为：4． 11. 分解因式： _________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 13. 如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据基本作图，得到，利用平行四边形的性质，得，在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据基本作图，可设， ∵，，， ∴，，， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的基本作图，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1）；数轴见解析 （2）；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可. 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 15. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键． 先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解：∵a，b满足． ∴，解得， 当时， ∴原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）的长等于______；（结果保留根号） （2）若向右平移6个单位长度得到，请画出，并写出点的坐标是______； （3）请画出关于原点的中心对称图形，并写出点的坐标______． 【答案】（1）； （2）图见详解，； （3）图见详解，； 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，平移作图，作中心对称图形： （1）根据勾股定理直接求解即可得到答案； （2）根据平移直接作图即可得到答案； （3）根据中心对称的性质直接作图即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵向右平移6个单位长度得到，如图所示， 由图形可得，的坐标是； 【小问3详解】 解：关于原点的中心对称图形如图所示， 由图形可得点的坐标为：． 17. 在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； （2）如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点F是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴，， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 18. 某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______． 【答案】（1）商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元； （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用，整式加减的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键． （1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可； （2）①两种商品共花费4500元，据此列方程并解方程即可；②设购入件甲种商品，总费用为元，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可． 【小问1详解】 解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元， 由题意可得， ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意； 当时，， 答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元； 【小问2详解】 ①根据题意可得， 解得 答：的值为； ②设购入件甲种商品，总费用为元， 根据题意可得，， ∵的值与无关， ∴， 解得， ∴（元） 故答案为： B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：； ∵分式方程有增根， ∴， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 20. 实数满足，且则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据和可整理得，再进行因式分解得，进而可求得a、b、c的值，则可求解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为三种情况：①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=36°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA=DE时，求出∠DAE=∠DEA=72°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA=ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C=36°， ①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=36°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=×（180°-36°）=72°， ∵∠BAC=180°-36°-36°=108°， ∴∠BAD=108°-72°=36°； ∴∠BDA=180°-36°-36°=108°； ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=36°， ∴∠BAD=108°-36°=72°， ∴∠BDA=180°-72°-36°=72°； ∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°． 故答案为：108°或72°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 22. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义“对称集”，解一元一次不等式组；解不等式组得解集为，由“对称集”的定义，即可求解；理解新定义，会解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为， 解集是一个对称集， ， 解得：； 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点B，C的坐标分别为(﹣，0)，(2，0)，点A在y轴上，点D为AC的中点，DE⊥AB于点E，若∠ABD＝∠DBC，则DE＝_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过D点作DF⊥OC于F，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DF，在根据三角形面积公式，由DA＝DC得到S△ABD＝S△CBD，所以AB＝BC＝，接着利用勾股定理可计算出OA＝4，然后利用三角形面积公式得到DE•AB+DF•BC＝BC•AO，从而可求出DE． 【详解】解：过D点作DF⊥OC于F，如图， ∵点B，C的坐标分别为（﹣，0），（，0）， ∴OB＝，OC＝， ∵∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∵点D为AC的中点， ∴DA＝DC， ∴S△ABD＝S△CBD， ∴DE•AB＝DF•BC， ∴AB＝BC＝+＝， 在Rt△ABO中 ∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC， ∴DE•AB+DF•BC＝BC•AO， 即DE+DF＝×4， ∴DE＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在等边外有一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 （1）将绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， ， 是等边三角形， ， 将绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ，，， ， ， ． 25. 定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，，当的解集为，则称，，构成“不等式”． （1）整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由； （2）若三个关于x的整式、、，可以构成“不等式”，求a的值； （3）若，，构成“不等式”，求关于的不等式组的解集． 【答案】（1）可以构成，理由如下： ， 解得：， 即整式、、可以构成“不等式”； （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）先列不等式求解，再根据“不等式”定义判断即可； （2）根据“不等式”的定义分三种情况列不等式，根据不等式的性质和解集分别求解即可； （3）根据“不等式”的定义列不等式，求出，，，再分别解不等式组中的等式，最后根据同小取小得到解集即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：三个关于的整式、、，可以构成“不等式”， ①当时，即， 则，且， 解得：； ②若，即， 则，且， 解得：（舍）； ③若，即， 则，且， 解得：； 综上可知，的值为或． 【小问3详解】 解：若，，构成“不等式”， 则， 即， 所以， 化简，得， 将代入，得， 所以， 由不等式，得， 即， 解得：； 由不等式，得， 解得：， 所以该不等式组的解集为． 26. 已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，求的长； （2）如图2，连接，当时，求证：； （3）如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点是的中点，得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． 【小问3详解】 解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $