第09讲 垂径定理（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第09讲 垂径定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 应用垂径定理进行计算与证明 题型2 垂径定理的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的轴对称性 垂径定理 垂径定理的推论 半径-半弦-弦心距模型 拱高与跨度计算 平行弦双解问题 尺规作弧的中点 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。 2.掌握“半径、半弦长、弦心距”三者构成的直角三角形计算模型，熟练运用勾股定理进行弦长、弦心距、半径等基本量的互求。 3.掌握垂径定理的两个推论，理解“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一关键前提，并能正确进行“知二推三”的推理和证明。 4.能识别弓形中的跨度（弦长）和拱高，运用垂径定理与方程思想建立数学模型，解决圆弧形拱桥、涵洞等实际计算问题（如赵州桥问题）。 5.理解圆中两条平行弦所夹的弧相等，能针对两平行弦位于圆心同侧或异侧的情况进行分类讨论（避免漏解）；能利用垂径定理用尺规作出弧的中点，体会数形结合与分类讨论的数学思想。 学习重点：垂径定理及其推论的应用。能够利用“半径、半弦长、弦心距”三者构成的直角三角形，结合勾股定理进行几何计算。能建立数学模型解决实际问题（如排水管截面、赵州桥拱半径的计算）。 学习难点：理解垂径定理推论中“平分弦（不是直径）”这一关键前提；在解决圆内两条平行弦之间的距离问题时，必须树立分类讨论意识，根据圆心位于两弦同侧或异侧两种情形分别建立几何模型进行计算，以防因遗漏特殊情况而造成答案不完整。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂径定理 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。 2.垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ① （平分弦） ② （平分劣弧） ③ （平分优弧） 3.推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 4.弧的中点与等分 弧的中点定义：分一条弧成相等的两条弧的点。 尺规作图：作弧的中点只需作弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。 5.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； （3） 。 6.常见辅助线做法 (1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度； (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 即时即练如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错提醒】 (1)在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 题型1 应用垂径定理进行计算与证明 【例1】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【例2】如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）垂径定理遇弦的计算或证明，优先过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形转化条件；用“半径、半弦长、弦心距”构成直角三角形，满足，知二即可求一。 （2）任取两条不平行的弦，分别作垂直平分线，交点即为圆心，依据是弦的垂直平分线必过圆心。 【变式1-1】某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【变式1-2】如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型2 垂径定理的综合应用 【例3】石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为_______． 【例4】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）拱桥类问题中，拱高是弧顶到弦的距离，弦心距=半径−拱高，易误将拱高直接当作弦心距代入勾股定理。 （2）弦垂直直径且无图时，弦可在圆心两侧，弦端点到直径端点的线段长有两种结果，易漏解。 【变式2-1】已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． A组 基础过关 1．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 2．如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为_______． 4．下列语句中，不正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆． A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是_____． 6．如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 7．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 9．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 10．如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． B组 综合提升 11．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 13．瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期．如图是其实物及平面设计图．已知A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，则圆心到桌面距离的长为（    ） A． B． C． D． 14．已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________． 15．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____． C组 挑战突破 16．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 17．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 18．如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 19．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 20．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE． （1）求证:AP = AO； （2）若弦AB = 24，求OP的长． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 垂径定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 应用垂径定理进行计算与证明 题型2 垂径定理的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的轴对称性 垂径定理 垂径定理的推论 半径-半弦-弦心距模型 拱高与跨度计算 平行弦双解问题 尺规作弧的中点 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。 2.掌握“半径、半弦长、弦心距”三者构成的直角三角形计算模型，熟练运用勾股定理进行弦长、弦心距、半径等基本量的互求。 3.掌握垂径定理的两个推论，理解“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一关键前提，并能正确进行“知二推三”的推理和证明。 4.能识别弓形中的跨度（弦长）和拱高，运用垂径定理与方程思想建立数学模型，解决圆弧形拱桥、涵洞等实际计算问题（如赵州桥问题）。 5.理解圆中两条平行弦所夹的弧相等，能针对两平行弦位于圆心同侧或异侧的情况进行分类讨论（避免漏解）；能利用垂径定理用尺规作出弧的中点，体会数形结合与分类讨论的数学思想。 学习重点：垂径定理及其推论的应用。能够利用“半径、半弦长、弦心距”三者构成的直角三角形，结合勾股定理进行几何计算。能建立数学模型解决实际问题（如排水管截面、赵州桥拱半径的计算）。 学习难点：理解垂径定理推论中“平分弦（不是直径）”这一关键前提；在解决圆内两条平行弦之间的距离问题时，必须树立分类讨论意识，根据圆心位于两弦同侧或异侧两种情形分别建立几何模型进行计算，以防因遗漏特殊情况而造成答案不完整。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂径定理 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴（圆有无数条对称轴）。 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ①AE=BE（平分弦） ②=（平分劣弧） ③=（平分优弧） 3.推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 4.弧的中点与等分 弧的中点定义：分一条弧成相等的两条弧的点。 尺规作图：作弧的中点只需作弦的垂直平分线，与弧的交点即为该弧的中点。 5.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； （3）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6.常见辅助线做法 (1)过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度； (2)有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 即时即练如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 【易错提醒】 (1)在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论。(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 题型1 应用垂径定理进行计算与证明 【例1】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【例2】如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知：和，由垂径定理可得出，，，由不确定大小则无法判断． 【详解】解：根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∵不确定大小， ∴无法判断得出． 【易错提醒】 （1）垂径定理遇弦的计算或证明，优先过圆心作弦的垂线、连接半径，构造直角三角形转化条件；用“半径、半弦长、弦心距”构成直角三角形，满足，知二即可求一。 （2）任取两条不平行的弦，分别作垂直平分线，交点即为圆心，依据是弦的垂直平分线必过圆心。 【变式1-1】某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心和半径．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是确定残弧的圆心与半径，根据弦的垂直平分线过圆心作图即可． 【详解】解：（1）在圆上取两条弦，； （2）分别作，的垂直平分线，交于一点O． 则点O就是所求的圆心． （3）连接，则就是这个圆的半径． 【变式1-2】如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 题型2 垂径定理的综合应用 【例3】石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为_______． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用， 勾股定理等知识，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴, 在中， ， ∴ ∴ 解得, 即半径为． 故答案为：10 【例4】一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∵，． ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 【易错提醒】 （1）拱桥类问题中，拱高是弧顶到弦的距离，弦心距=半径−拱高，易误将拱高直接当作弦心距代入勾股定理。 （2）弦垂直直径且无图时，弦可在圆心两侧，弦端点到直径端点的线段长有两种结果，易漏解。 【变式2-1】已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长； 【详解】连接AC，AO， ∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中，AC=cm． 故选C． 【变式2-2】如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． A组 基础过关 1．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 2．如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，，过点A作于点C，先证是等腰三角形，结合与点A的坐标是，得到，从而求得点B坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点C， ∵经过原点O，并与x轴交于点B， ∴， ∵， ∴． ∵点A的坐标是，， ∴， ∵， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标是． 故选：C． 3．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为_______． 【答案】8米/ 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 4．下列语句中，不正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧；三点确定一个圆． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系等知识． ①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线；⑤注意三个点应该不共线． 【详解】解：①和④错误，应强调在同圆或等圆中； ②错误，应强调不是直径的弦； ③错误，应强调直径所在的直线才是它的对称轴； ⑤错误，应该是不在同一条直线上的三个点，确定一个圆； 故选：A． 5．如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长． 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 6．如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 7．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度 ，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 8．如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 9．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 【答案】0.8m 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接， ∵，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴水的最大深度为0.8m． 10．如图，是的直径，是的弦，的延长线交于点M．若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得，则有，然后可设，则，进而问题可求解 【详解】解：连接，过点O作于点H． ， ， ， ．设，则， ， ． B组 综合提升 11．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 12．把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心O作于点，交于点N，连接，根据勾股定理求出，再由垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过圆心O作于点，交于点N，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵过圆心O，， ． 13．瓷板画是我国非物质文化遗产最早可追溯到秦汉时期．如图是其实物及平面设计图．已知A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，则圆心到桌面距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离．先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】解：∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 故选：C． 14．已知的半径为5，为圆内的一点，，则过点P的弦长的最小值是________． 【答案】8 【分析】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦，连结OA，根据垂径定理得AP=BP，在Rt△AOP中，根据勾股定理可计算出AP=4，则AB=2AP=8． 【详解】过P点作弦AB，使AB⊥OP，则AB为过P点的最短的弦， 连结OA， ∵OP⊥AB， ∴AP=BP， 在Rt△AOP中，OA=5，OP=3， ∴AP=， ∴AB=2AP=8． 故答案为：8． 15．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____． 【答案】cm 【分析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值． 【详解】根据题意获得下图： 设OB=r cm， ∵刻度尺的宽为2cm， ∴OC=r-2， ∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”， ∴BC=×6=3， 在Rt△OBC中， ∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm． 故答案为cm． C组 挑战突破 16．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 17．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，由三角形内角和定理可得，又，所以，求出，最后通过三角形内角和定理，等腰三角形的性质即可求解； （）过点作，垂足为，由勾股定理得，又，求得，所以，最后由垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：． 【答案】见解析 【分析】连结，，根据垂径定理的推论可得，，再由得到，根据等角的余角相等得到，即可证明结论． 【详解】证明：连结，， 是的中点，E是的中点， ，， 又， ， ，， 而，， ， 19．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 【答案】(1)10米 (2)不能顺利通过，理由见解析； 【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可； （2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案． 【详解】（1）解： 连接，如图所示： ∵，， ∴， 设半径为，在中，，， ∴， ∴， 答：拱桥圆弧的半径是10米． （2）解：该货船不可以顺利通过，理由如下： 连接，如图所示： 依题意可知， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∵，此时点在圆外， ∴该货船不可以顺利通过． 20．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE． （1）求证:AP = AO； （2）若弦AB = 24，求OP的长． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明； （2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP． 【详解】（1）证明：∵PG平分∠EPF ∴∠EPO=∠APO ∵OA∥PE ∴∠EPO=∠AOP ∴∠APO=∠AOP ∴AP=AO （2）过点O作OH⊥AB于点H，如图， 根据垂径定理得到AH=BH==12 ∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25 在中， 由勾股定理得： 则OP的长为 故答案为： 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $