第10讲 圆周角（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第10讲 圆周角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆周角的概念辨析及简单运算 题型2 利用圆周角定理及推论解题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆周角的定义 圆周角定理 圆心角与圆周角的关系 同弧或等弧的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径 分类讨论证明 遇直径想直角 同弧转化等角 1.理解圆周角的定义，能准确识别圆心角与圆周角，掌握“顶点在圆上，并且两边都和圆相交”这两个关键特征。 2.掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半），理解定理证明中针对圆心在圆周角的一边上、内部、外部三种情况的分类讨论思想。 3.掌握圆周角定理的两个重要推论：能利用“直径所对的圆周角是直角”和“90°的圆周角所对的弦是直径”进行相关的角度计算和线段垂直的证明。 4.掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等”这一性质，能在复杂图形中利用同弧转化等角进行推理和证明。 5.能在圆中准确识别基本几何模型（如遇直径连弦构造直角三角形），综合运用圆周角定理及推论，解决实际应用问题（如暗礁区航行判断）以及圆内接三角形、四边形中的角度与线段证明问题。 学习重点：掌握圆周角定理及其两个重要推论。能熟练运用“圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半”进行角度换算与计算；准确识别并应用“直径所对的圆周角是直角（及逆定理）”判定垂直关系或寻找直径。 学习难点：理解圆周角定理证明中，需根据圆心与圆周角的相对位置（在角的一边上、内部、外部）分三类进行讨论的思想，体会分类讨论和转化化归的数学方法；同时在综合几何题目中，要具备敏锐的识图能力，能添加恰当的辅助线，将隐蔽的圆心角、圆周角关系在复杂图形中显性化，进而解决实际问题与综合证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆周角 1.圆周角的定义 顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： 圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； 圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； 圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。 推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的 也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 即时即练如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 (1)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中；且讨论的圆心角、圆周角必须对应同一条弧。如果对应的是不同的弧或不同的圆，上述关系则不成立。 (2)在几何定义中，弧的度数指的就是它所对圆心角的度数。注意这里的“度数”不是“弧长”（弧长和半径有关，度数只和圆心角有关）。 题型1 圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【例2】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ） A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 【易错提醒】 （1）找某条弧的圆周角：先锁定弧的两个端点，所有顶点在圆上、两边分别经过这两个端点的角，都是该弧所对的圆周角；反之，给定一个圆周角，它所对的弧就是角的两边与圆的两个交点之间、不包含角顶点的那段弧。 （2）遇到圆内角度计算，先标记图中所有半径，识别出所有等腰三角形，利用“等边对等角”、“三角形内角和180°”推导基础角度，这是圆中角度计算的通用基础方法。 【变式1-1】如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式1-2】如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 题型2 利用圆周角定理及推论解题 【例3】如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【例4】如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）圆内两弦相交求角度，优先用“三角形外角性质+同弧圆周角相等”组合：将交点处的外角拆解为两个不同弧对应的圆周角之和，通过角度等量代换一步求解，无需复杂推导。 （2）题目出现直径时，第一时间连接直径端点与圆上已知点，构造90°圆周角，将问题转化为直角三角形内的角度互余、边长计算问题，这是本题型最高频的辅助线思路。 【变式2-1】如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． A组 基础过关 1．如图，在中，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D．2π 3．如图，在中,为直径,为弦，已知＝，则是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 5．如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是______． 6．如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为__________． 7．如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 8．如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 9．如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 10．如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． B组 综合提升 11．如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG, 的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝20，则AB的长是（　　） A．9 B． C．13 D．16 13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是　　 A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D 14．如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则______． 16．如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（ ） A． B． C． D． 17．如图，经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角等于______． 18．如图是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求弦的长． (2)连接、，若，求的度数． 19．如图，在中，弦，的延长线交于点P，且，C是弧的中点，求证：是的直径． 20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30° 求：（1）求∠ADC的度数； （2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长． C组 挑战突破 21．如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 22．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 23．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 24．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为___________． 25．如图，已知矩形，在边，上分别取点，，连接和，满足，的外接圆交于点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)猜测和的数量关系，并说明理由； (3)当，，时，求的长度． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆周角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆周角的概念辨析及简单运算 题型2 利用圆周角定理及推论解题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆周角的定义 圆周角定理 圆心角与圆周角的关系 同弧或等弧的圆周角相等 直径所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径 分类讨论证明 遇直径想直角 同弧转化等角 1.理解圆周角的定义，能准确识别圆心角与圆周角，掌握“顶点在圆上，并且两边都和圆相交”这两个关键特征。 2.掌握圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半），理解定理证明中针对圆心在圆周角的一边上、内部、外部三种情况的分类讨论思想。 3.掌握圆周角定理的两个重要推论：能利用“直径所对的圆周角是直角”和“90°的圆周角所对的弦是直径”进行相关的角度计算和线段垂直的证明。 4.掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等”这一性质，能在复杂图形中利用同弧转化等角进行推理和证明。 5.能在圆中准确识别基本几何模型（如遇直径连弦构造直角三角形），综合运用圆周角定理及推论，解决实际应用问题（如暗礁区航行判断）以及圆内接三角形、四边形中的角度与线段证明问题。 学习重点：掌握圆周角定理及其两个重要推论。能熟练运用“圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半”进行角度换算与计算；准确识别并应用“直径所对的圆周角是直角（及逆定理）”判定垂直关系或寻找直径。 学习难点：理解圆周角定理证明中，需根据圆心与圆周角的相对位置（在角的一边上、内部、外部）分三类进行讨论的思想，体会分类讨论和转化化归的数学方法；同时在综合几何题目中，要具备敏锐的识图能力，能添加恰当的辅助线，将隐蔽的圆心角、圆周角关系在复杂图形中显性化，进而解决实际问题与综合证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆周角 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： 圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； 圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； 圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数。 圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 即时即练如图，内接于，为的直径，D是上一点，连接，．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质．连接，根据直径所对的圆周角为直角，得，由圆周角定理，得，求得，再由等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【易错提醒】 (1)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中；且讨论的圆心角、圆周角必须对应同一条弧。如果对应的是不同的弧或不同的圆，上述关系则不成立。 (2)在几何定义中，弧的度数指的就是它所对圆心角的度数。注意这里的“度数”不是“弧长”（弧长和半径有关，度数只和圆心角有关）。 题型1 圆周角的概念辨析及简单运算 【例1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．故选C． 【例2】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ） A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB， 故选C． 【易错提醒】 （1）找某条弧的圆周角：先锁定弧的两个端点，所有顶点在圆上、两边分别经过这两个端点的角，都是该弧所对的圆周角；反之，给定一个圆周角，它所对的弧就是角的两边与圆的两个交点之间、不包含角顶点的那段弧。 （2）遇到圆内角度计算，先标记图中所有半径，识别出所有等腰三角形，利用“等边对等角”、“三角形内角和180°”推导基础角度，这是圆中角度计算的通用基础方法。 【变式1-1】如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解． 【详解】解： 故选：B 【变式1-2】如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，从而求得等腰三角形的底角即可． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA==30°， 故选：B． 题型2 利用圆周角定理及推论解题 【例3】如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 【例4】如图，为的直径，点C，D是上的两点，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后利用直角三角形两锐角互余计算即可． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ． 【易错提醒】 （1）圆内两弦相交求角度，优先用“三角形外角性质+同弧圆周角相等”组合：将交点处的外角拆解为两个不同弧对应的圆周角之和，通过角度等量代换一步求解，无需复杂推导。 （2）题目出现直径时，第一时间连接直径端点与圆上已知点，构造90°圆周角，将问题转化为直角三角形内的角度互余、边长计算问题，这是本题型最高频的辅助线思路。 【变式2-1】如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ A组 基础过关 1．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，由垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（　　） A． B． C． D．2π 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理，弧长的计算，掌握圆周角定理是关键，根据题意得到，由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴劣弧的长为． 故选：B． 3．如图，在中,为直径,为弦，已知＝，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角，结合同弧所对的圆周角相等进行角度计算． 由为直径得，求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）． 在中,， ∴ ． 又∵与所对的弧为， ∴． 故选：B． 4．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 5．如图，的半径为2，点A为上一点，半径弦于D，如果，那么的长是______． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形30度的性质，解题的关键是熟记圆周角定理． 由于，根据圆周角定理可求，又，根据垂径定理可知，在，利用直角三角形30度的性质易求． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 6．如图在中，弦，相交于点P．若，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 【答案】21 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，中，弦，交于点E，，，求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据同弧或等弧所对的圆周角相等，等弧所对的弦相等，可得，，，再根据全等三角形的判定方法可证，进而得到，结合即可求解． 【详解】证明： 与所对的弧相同，与所对的弧相同， ，， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， 为等边三角形 10．如图，是三角形的外接圆，是的直径，于点． (1)求证：； (2)若长为8，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）设的半径为，根据垂径定理得出点为的中点，在中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果． 【详解】（1）证明： ， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径为，则， ， ， 在中，， 解得， 即的半径长为5． B组 综合提升 11．如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据“直径所对的圆周角为”可得，进而可得，然后结合“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 12．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG, 的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝20，则AB的长是（　　） A．9 B． C．13 D．16 【答案】D 【分析】连接OP、OQ分别交AC、BC相交于点G、H，利用中位线定理求出OG+OH的长，根据AC+BC求出MG+NH的长，再由MP+NQ求出PG+QH的长，进而求出OP+OQ的长，即可确定出AB的长． 【详解】连接OP、OQ分别与AC、BC相交于点G、H， 根据中点可得OG+OH＝（AC+BC）＝10，MG+NH＝AC+BC＝20， ∵MP+NQ＝14， ∴PG+QH＝20﹣14＝6， 则OP+OQ＝（OG+OH）+（PG+QH）＝10+6＝16， 根据题意可得OP、OQ为圆的半径，AB为圆的直径， 则AB＝OP+OQ＝16． 故选D． 13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是　　 A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D 【答案】B 【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵直径CD⊥弦AB， ∴弧AD =弧BD， ∴∠C=∠BOD． 故选B． 14．如图,D是的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，得到与∠ABD相等的角有∠ACD、∠CBD、∠DAC共3个． 【详解】试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半. ∵D是的中点， ∴=， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC． 故选B． 15．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，，，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形外角的性质，根据是的直径，可得，根据圆周角定理可知，根据三角形外角的性质可以求出，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 是的外角， ， ， ， . 故答案为：． 16．如图，海岸线，经过、的弓形内部（包括边缘）是暗礁区，弓形所在圆的半径为，船保持怎样的航行不会进入暗礁区（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、，根据垂径定理，结合线段垂直平分线和勾股定理求得，可证明是等边三角形得到，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角性质可得，进而可得结论． 【详解】解：连接交圆O于D，连接、，过O作于H，延长交圆O于E，连接、， 则，，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴船保持的航行不会进入暗礁区， 故选：D． 17．如图，经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角等于______． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质求出，，，求出，，求出，求出，根据圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：连接AC、EC， 六边形ABCDEF是正六边形， ，，， ， 同理， ， 同理， 在四边形ACEF中，， ， 故答案为． 18．如图是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求弦的长． (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据题意得到，在中，由勾股定理即可得到答案； （2）由圆周角定理可得，由直径所对的圆周角是直角可得，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在中，， ； （2）解：如图，连接、， ， ， 是的直径， ， ． 19．如图，在中，弦，的延长线交于点P，且，C是弧的中点，求证：是的直径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，直径所对的角是直角，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，根据题意证明，即可证明即可得到答案． 【详解】证明：连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故是的直径． 20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB=6，∠CAB=30° 求：（1）求∠ADC的度数； （2）如果OE⊥AC，垂足为E，求OE的长． 【答案】（1） ∠ADC=60°；（2）OE =． 【分析】（1）由AB是 O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中，理由∠B的余弦可求出∠B=60°，然后根据圆周角定理得到∠ADC=60°； （2）由于OE⊥AC，根据垂径定理得到AE=CE，则OE为△ABC的中位线，所以OE=BC=． 【详解】（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=6，BC=3， ∴∠B=60°， ∴∠ADC=60°； （2）∵OE⊥AC， ∴AE=CE， ∴OE为△ABC的中位线， ∵AB=6，∠CAB=30°， ∴BC=3∴OE=BC=． C组 挑战突破 21．如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、、，设与交于点，利用正方形内接于圆的性质得为直径，，由点是弧的中点推出垂直平分，再结合正方形性质、勾股定理建立边长关系，求解长度． 【详解】解：连接、、、，设与交于点， 由，，， 故对角线是的直径，对角线是的直径，， 已知点为弧的中点， ，垂直平分，， 又， 是等腰直角三角形， ， 设正方形边长，则， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 根据勾股定理，． 22．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 23．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 24．如图，正方形中，，点为正方形内部一点，连接，，，且，当为等腰三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】由已知可得，即得点在以为直径的圆上，再分，和三种情况解答即可求解， 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∵为等腰三角形， 当时，点为正方形对角线的中点，如图， ∵    ， ∴； 当时，如图，过点作于，则，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，仅当点和点重合时， ∵点为正方形内部一点， ∴此种情况不符合； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，点和圆的关系，圆周角，等腰三角形的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 25．如图，已知矩形，在边，上分别取点，，连接和，满足，的外接圆交于点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)猜测和的数量关系，并说明理由； (3)当，，时，求的长度． 【答案】(1) (2) ； 理由如下： 由（1）可设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得，根据圆周角定理和已知条件可得，进而求解； （2）设，根据矩形的性质求得，进而可得结论； （3）延长交于点P，如图，根据角的代换证明，，进而得到，推出，设，则，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：延长交于点P，如图， 由（2）题，∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即G是中点， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得： ，即， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $