27.3实际问题与反比例函数 第3课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是通过实验数据建立反比例函数近似模型。课堂导入以气体压强与体积数据为切入点，承接前期精确函数刻画知识，引导学生思考如何从数据中选择模型，搭建从精确到近似的学习支架。 其亮点在于以真实情境数据驱动探究，通过散点图观察分布培养数学眼光，计算k值平均值建立模型发展数学思维，检验模型解决问题强化数学语言。实例涵盖气体压强、灭蚊器电阻等，课堂小结归纳四步流程，助学生发展模型观念，为教师提供可操作的探究式教学方案。

27.3实际问题与反比例函数 课时 3 第二十七章 反比例函数 1.能够根据数据和图象特征，选用合适的函数模型解决问题，发展模型观念. 2.会用反比例函数模型解决实际问题中的估计与预测. 学习目标 2 前面几节课，我们解决的都是能用反比例函数准确刻画的问题. 但在现实生活中，很多时候我们只有一堆实验数据，就像这组气体压强和体积的数据，我们不清楚变量之间是否存在一定的函数关系，如果存在，怎么选择合适的函数模型近似描述气体的压强和体积之间的关系，进而解决相关问题？ 下面让我们一起来探究吧！ 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 课堂导入 探究 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如表）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 分析：由表可知，压强 p 是体积V的函数. 由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 (1) 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图(1)）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点. 可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 (2) 建立模型. 设函数解析式为 p（V>0），根据表(1)中的数据，分别求出 k 的值，列出表(2). 表(1) 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 表(2) 计算所有 k 值的平均值，得 k(2 000+2 016+1 968+2 030+1 956+2 010) ≈ 1 997. 我们把这个平均值1 997作为 k 的值，就得到一个函数模型 k值不相同怎么办？ 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 (3) 检验模型. 将已知数据代入 ，或画出函数 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强  与体积  的关系. (4) 求解问题. 将 p=132 代入p，得 132 解得 15.13(mL). 因此，当压强为 132  kPa 时，气体的体积约为 15.13  mL. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 回顾“探究”，回答以下问题： (1) 表中的有些数对只能近似满足函数解析式 p（V>0），即图中的点并没有完全落在函数p的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式； 而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律. “拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程. 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 回顾“探究”，回答以下问题： (2) 结合“探究”和问题 (1) 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如本题曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式(如),利用已知数据计算待定系数(如本题计算所有k值的平均值); ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 新知讲解 知识点 反比例函数在实际问题中的应用 1. 家用电灭蚊器的发热部分使用了 PTC 发热材料，电阻 R（单位：）随温度 t（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化. 通电后，下表记录了发热材料温度从10℃（初始温度）上升到 30℃的过程中，电阻与温度的部分数据. t/℃ 10 15 20 30 5.8 4 3.1 2 (1)根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出实数对 (t,R) 的对应点，猜测并确定当 10≤t≤30 时，R 与 t 之间的函数解析式，并画出其图象； 解：(1) 描出实数对 (t,R) 的对应点如图所示，猜想当10≤t≤30时，R是t 的反比例函数. 随堂练习 设 R 与 t 之间的函数解析式为R(k≠0). 根据表中数据分别求出 k 的值为 58, 60, 62, 60，计算所有 k 值的平均值，得k60 ∴ R 与 t 之间的函数解析式为R(10≤t≤30)画出其图象如图所示. 检验：可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合. (1)根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出实数对 (t,R) 的对应点，猜测并确定当 10≤t≤30 时，R 与 t 之间的函数解析式，并画出其图象； t/℃ 10 15 20 30 5.8 4 3.1 2 随堂练习 (2)当 t≥30 时，R 与 t 之间的函数解析式为 Rt-6，家用电灭蚊器在使用过程中，估计温度在什么范围内发热材料的电阻不超过 6 kΩ. 解：(2) 在函数 Rt-6中，当 R=6 kΩ 时，t=45； 在反比例函数 R 中，当 R=6 kΩ 时，t=10 ℃. 根据函数的增减性，估计温度在 10 ℃≤ t ≤45 ℃时，发热材料的电阻不超过 6 kΩ. 随堂练习 2.生活中有各式各样的电子屏幕. 在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同. 下表记录了当分辨率为 1 920×1 080 时，某些电子屏幕的尺寸x (单位：英寸)与像素密度y(单位：PPI) 的相关数据. （1）试确定屏幕像素密度 y 关于屏幕尺寸 x 的函数解析式； 解：（1）①根据表格数据画出散点图如图. 观察到：随着屏幕尺寸x 增大，屏幕像素密度y逐渐减小；散点分布形似反比例函数图象的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述屏幕像素密度 y与屏幕尺寸x 之间的关系. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 随堂练习 ②建立模型. 设函数解析式为 (x>0). 根据表中的数据分别求出k的值，列出表如下： 计算所有k值的平均值，得 k=× (2 200+2 198+2 205+2 208+2 187) =2 199. 6 ≈ 2 200. 我们把这个平均值2 200 作为 k 的值，就得到一个函数模型 y=. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 k 2 200 2 198 2 205 2 208 2 187 随堂练习 ③检验模型. 将已知数据代入 y= ，或画出函数 y= (x>0) 的图象如图，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映屏幕像素密度 y（PPI）与屏幕尺寸x（英寸）的关系. 综上所述，屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式为y=(x>0). 随堂练习 （2）某电子屏幕的分辨率为1 920×1 080，屏幕像素密度约为40 PPI，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 解：(2) 将 y=40 代入 y， 得 x=55. 因此，当屏幕像素密度约为 40 PPI 时，该屏幕尺寸约为 55 英寸. 随堂练习 建立函数模型 解决实际问题 ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如“探究”中的曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 课堂小结 $