2.2.1算术平方根 课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“算术平方根”核心知识点，涵盖概念、性质及应用。通过“裁面积25dm²正方形画布”情境导入，结合计算不同面积正方形边长活动，从现实问题抽象出定义，再探究双重非负性、√a²与(√a)²区别等性质，最后应用于几何、物理问题，构建完整学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如美术画布、高空抛物），用数学思维辨析概念（易错点总结、√a²化简），用数学语言表达跨学科问题（电流热量、自由下落公式）。通过分层例题、母题拓展和数学文化题，培养运算能力与应用意识，助力学生理解知识本质，教师可高效开展教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 2.2.1算术平方根 第二章 实数 北师大版八年级上册2.2.1 算术平方根 练习题 本节核心考点：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即$$x^2=a$$，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作$$\sqrt{a}$$。特别规定：0的算术平方根是0。只有非负数才有算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数，即$$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$$。 核心口诀：平方求根取正根，负数没有算术根，根号结果永不负。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 若正数x满足$$x^2=16$$，则x是16的________，值为________。 2. 25的算术平方根是________，$$\sqrt{81}$$的结果是________。 3. 算术平方根等于它本身的数是________。 4. 若$$\sqrt{x}=4$$，则x=________。 5. 实数________没有算术平方根（填“正数”“0”或“负数”）。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 9的算术平方根是（） A. $$\pm3$$ B. 3 C. $$-3$$ D. 81 2. 下列说法正确的是（） A. 任意实数都有算术平方根 B. 算术平方根一定是正数 C. 非负数的算术平方根是非负数 D. $$\sqrt{4}=\pm2$$ 3. $$\sqrt{16}$$的算术平方根是（） A. 4 B. $$\pm4$$ C. 2 D. $$\pm2$$ 4. 若一个数的算术平方根是6，则这个数是（） A. 36 B. $$\pm36$$ C. 6 D. <pm6 5. 下列各式有意义的是（） A. $$\sqrt{-5}$$ B. $$\sqrt{0}$$ C. $$\sqrt{-0.01}$$ D. $$\sqrt{-2^2}$$ 三、计算与解答题（共60分） 1.（20分）求出下列各数的算术平方根： （1）100 （2）0.49 （3）$$\frac{25}{64}$$ （4）0 2.（20分）计算下列各式的值： （1）$$\sqrt{121}$$ （2）$$\sqrt{\frac{9}{16}}$$ （3）$$\sqrt{0.36}$$ （4）$$\sqrt{1}$$ 3.（20分）已知一个长方形的长为9，宽为4，一个正方形的面积与该长方形面积相等，求这个正方形的边长。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 算术平方根、4 2. 5、9 3. 0和1 4. 16 5. 负数 选择题答案 1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）∵$$10^2=100$$，∴100的算术平方根为10； （2）∵$$0.7^2=0.49$$，∴0.49的算术平方根为0.7； （3）∵$$(\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}$$，∴$$\frac{25}{64}$$的算术平方根为$$\frac{5}{8}$$； （4）0的算术平方根为0。 2. 解： （1）$$\sqrt{121}=11$$；（2）$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$； （3）$$\sqrt{0.36}=0.6$$；（4）$$\sqrt{1}=1$$。 3. 解：长方形面积：$$S=9\times4=36$$。 由题意得：正方形面积为36，设正方形边长为x（x>0），则$$x^2=36$$。 根据算术平方根定义得：$$x=\sqrt{36}=6$$。 答：正方形的边长为6。 五、易错点总结 1. 易错混淆：算术平方根只有正值，区别于平方根（一正一负）； 2. 双层根号陷阱：先算内层根号结果，再求外层算术平方根，如$$\sqrt{16}=4$$，再求算术平方根得2； 3. 负数一定没有算术平方根，根号下的数必须≥0才有意义； 4. 0和1的算术平方根是本身，其余正数算术平方根均不等于自身。 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 情境导入 一级标题：黑体， 2 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/dm 1 3 4 6 活动1：计算下表中各正方形的边长： 问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？ 问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？ 正方形的边长的平方等于面积值。 面积越大，边长越大。 x2 = ， y2 = ， z2 = ， w2 = ． 活动2：(1) 结合图形完成填空： x2 = 12 + 12 2 3 4 5 y2 = x2 + 12 z2 = y2 + 12 w2 = z2 + 12 探究点一： 算术平方根的概念和性质 (2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数 ? z 是有理数， x、y、w 是无理数. O A B C D E x y z w 1 1 1 1 这些无理数又该如何表示呢？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根 算术平方根 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。 记作： 根号 被开方数 a≥0 读作：根号 a 探究点一： 算术平方根的概念和性质 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 【思考·交流】 探究点一： 算术平方根的概念和性质 探究点一： 算术平方根的概念和性质 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. 算术平方根具有双重非负性. 解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ； (2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ； (3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ； (4) 14 的算术平方根是 。 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 探究点一： 算术平方根的概念和性质 【练一练】1. 计算: 5 0 4 6 1.3 10-4 ( 4 )2 ( 10-4 )2 观察例1中得到的几个式子： (1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点? (2) 在上面的式子中， ，也就是 一般地，当 a≥0 时， 成立吗? = a 这些数都可以化成 a2 的形式。 成立。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 ( )2 = a (3) 成立吗? 这里的 a 是什么数 ? 你是怎么理解的 ? 与同伴进行交流. 成立，这里的 a 是非负数。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 想一想：a＜0 时， 还成立吗? = a 不成立。如 a＜0 时， 【要点归纳】 当 a＜0 时， = -a. 当 a≥0 时， = a， 2= a ； 想一想：如何化简 呢？ = (a≥0)； (a＜0). = | a | a -a 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任意实数 a | a | 例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0， 所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值、平方式及算术平方根. 总结 活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm² 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？ 图① 解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm. 根据边长与面积的关系得 3x · x = 75， 即 x = 25. 由边长的实际意义，得 x = 5. 因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm. 探究点二：算术平方根的简单应用 探究点二：算术平方根的简单应用 问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？ 图② 解：由正方形的面积为 75 cm² 易知，正方形的边长为 cm. 例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 h＝19.6 代入公式，得 ， 即 ， 所以 . 即铁球到达地面需要 2 秒. 1. “3的算术平方根”可用数学式子表示为( ) A A. B. 3 C. D. 2. 如果没有算术平方根，那么 可以是( ) A A. B. C. D. 3. 的算术平方根是( ) D A. B. C. D. 0.64 返回 中考考法 18 4. 下列说法中不正确的有( ) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ； ⑤算术平方根不可能是负数. C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 中考考法 19 5. 教材P32随堂练习 （1） 的算术平方根是______； （2） 的算术平方根是__； （3） 的算术平方根是____. 0.9 6.当____时，代数式 有最小值____. 返回 中考考法 20 7. 电流通过导线时会产生热量，电流 （单位：A）,导线电阻（单位：）,通电时间（单位： ） 与产生的热量（单位：）满足.若导线电阻为 ， 通电时间为，导线产生的热量为，则电流 的值是多少？ 【解】把 ，，代入 得， ，所以，所以 . 所以电流的值为 . 返回 中考考法 21 8. 若是整数，则满足条件的自然数 共有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 9. 若的算术平方根是5，则 的算术平方根是 ( ) D A. B. C. D. 2 返回 中考考法 22 10. 已知的三边长分别为，， ， 且满足，则 的值为( ) D A. 3 B. 4 C. 5 D. 或5 【点拨】因为 ，所以 ，所以 ，所 以，，所以，.当， 为直角边时，；当 为斜边时， .综上可知，的值为 或 5. 返回 中考考法 23 11. 直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长 阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7 亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时 候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长为____步. （一亩 平方步） 60 返回 中考考法 24 12.［2025杭州上城区期中］我们知道，平方数的开平方运算 可以直接求得，如：.有些数则不能直接求得，如： ， 但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在 联系，运用规律求得.请你观察下表： … 0.04 4 400 40 000 … … 2 … 中考考法 25 （1）表格中的三个值分别为：____；____； _____； （2）用公式表示这一规律：当为整数 时， ________. 0.2 20 200 返回 中考考法 26 13. 实数， 在数轴上对应点的位置 如图所示，已知，化简 . 中考考法 27 【解】由数轴可知， ， 所以， . 所以 . 返回 中考考法 28 14. 小明每次回家进入电梯时，总能看见物 业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛 物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师， 得知高空抛物下落的时间（单位：）和下落高度 （单位：）近似满足公式，其中 为重力加速 中考考法 29 度，.物体落地时产生的动能物体质量 单位： 重力加速度单位： 高度 （单位：），动能的单位名称为焦耳.例如：一个 重 的花盆从 高空坠落到地面产生的动能约为 . 中考考法 （1）一个物体从 的高空坠落到地面大约需要几秒？ 【解】把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：一个物品从的高空坠落到地面大约需要 . 中考考法 31 （2）一个的物体坠落到地面产生了 的动能，请推 算该物体坠落到地面用了几秒. 由题意得，解得 . 把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：该物品坠落到地面约用了 . 返回 中考考法 32 15.一个数值转换器的工作原理如图所示： （1）当输入的为25时，输出的 值是____； （2）若输入有效的值后，始终输不出 值，请写出所有满 足要求的 值，并说明你的理由； 【解】0，1.理由：因为0和1的算术平方根是它们本身，0和1 是有理数，所以当或1时，始终输不出 值. 中考考法 33 （3）若输出的是，请写出两个满足要求的 值：_______ ______________. 25，5（答案不唯一） 返回 中考考法 34 算术平方根 定义 表示 特征 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________ 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根 x2 = a 根号 a 被开方数 0 课堂小结 $