北京市西城区2025-2026学年七年级下学期期末数学练习试卷

**基本信息** 2025-2026学年西城区七年级（下）期末数学试卷，以科技图标、国际体育赛事等真实情境为载体，融合几何、代数、统计知识，通过基础与创新梯度设计，考查抽象能力、推理意识和数据意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|平移性质、不等式性质、调查方式|科技图标平移判断（时代性）、体育赛事调查选择（应用意识）| |填空题|9|无理数概念、坐标系平移、命题改写|“四舍五入”新定义（创新思维）、漫反射角度计算（几何直观）| |解答题|9|方程组与不等式组、平行线证明、数据统计分析|“3倍平移点”综合题（空间观念）、跳绳活动数据分析（数据意识）|

2025-2026学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共8小题） 1．科技是第一生产力，下列是各科技公司的图标，其中不能用“基本图形”平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，A点坐标为（1，2），B点坐标为（3，4），将平行四边形向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，C点平移后的坐标在第二象限，则原来C点可能的坐标是（　　） A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（2，﹣1） 3．2026年某城市举办大型国际体育赛事，为确保赛事安全顺利进行，下列调查中，适合采用全面调查的是（　　） A．对参赛运动员的健康状况进行检查 B．调查该城市周边河流的水质情况 C．调查该城市居民对赛事举办的满意度 D．调查市场上为赛事准备的食品的质量情况 4．若a＜b，且a，b为实数，在一次函数y ＝（a﹣b）x+a+b中，下列不等式不一定成立的是（　　） A．（a ﹣ b） ﹣ 1＜（b ﹣ a） ﹣ 1 B．﹣2（a ﹣ b）＞﹣2（b ﹣ a） C．（a ﹣ b） + b＜2b D．（a ﹣ b）^2＜（b ﹣ a）^2 5．将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（　　） A．75° B．105° C．115° D．120° 6．在一个工程问题中，甲、乙两队合作完成一项任务，根据工作效率关系列出方程，可以得到用x表示y的式子是（　　） A． B． C． D． 7．2026年科技飞速发展，在人工智能领域有如下命题：①经过算法优化后，有且只有一种最优算法与某一复杂任务匹配；②在数据处理过程中，对于一组给定的数据，有且只有一种排序方式；③不同的算法被应用于同一组数据时，得到的结果可能不同；④所有的数据都可以在计算机的存储设备中找到对应的存储位置．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．不等式4﹣3x≤﹣1的最小整数解是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共9小题） 9．在实数，，2.121221222…，中，是无理数的是． 10．的算术平方根是． 11．已知二元一次方程x+3y ＝ 8，请写出该方程的一组整数解． 12．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式：． 13．��个样本容量为58的样本，最大值是168，最小值是145，取组距为4，则这个样本可以分成 组． 14．平面直角坐标系中，点A（5，2），B（m，m+4），若直线AB与y轴平行，则点B的坐标是． 15．如图，两条入射光线AB∥CD，经过漫反射后两条光线相交于点E，若∠ABE＝82°，∠CDE＝38°，则∠BED的度数是　 　 ． 16．关于x，y的二元一次方程px﹣y ＝ 2，且当x ＝ 3时，y ＝ 7．（1）p的值是；（2）当x＜3时，对于每一个x的值，关于x的不等式x+s＞px﹣2总成立，则s的取值范围是． 17．将非负实数x“四舍五入”到个位的值记为[x]，当n为非负整数时，①若，则[x]＝ n；②若[x]＝ n，则．如，[0]＝[0.49]＝ 0，[0.64]＝[1.49]＝ 1，[2]＝ 2．（1）[2π﹣3]＝；（2）若，则满足条件的实数t的值是． 三．解答题（共9小题） 18．（1）计算：；（2）求等式中x的值：（x﹣2）2＝ 25． 19．（1）解方程组；（2）解不等式组，并写出它的整数解． 20．如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 21．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是　 　 ； ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是　 　 ； （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD． 22．某商店决定购进丙、丁两种文具用品．若购进丙种文具用品8件，丁种文具用品4件，则费用是340元；若购进丙种文具用品3件，丁种文具用品7件，则费用是270元．（1）求购进的丙、丁两种文具用品每件的费用各是多少元？（2）若该商店决定购进这两种文具用品共180件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这180件文具用品的总费用不少于4920元，且不超过4944元，求该商店共有几种购进这两种文具用品的方案． 23．为推进健康校园建设，丰富校园体育生活，某校开展“跃动青春•绳彩飞扬”跳绳活动周． 【数据收集】数学兴趣小组从参加活动的八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A：x＜180，B：180≤x＜190，C：190≤x＜200，D：200≤x＜210，E：x≥210）． 【数据整理】 九年级学生一分钟跳绳个数条形统计图和八年级学生一分钟跳绳个数扇形统计图绘制如下（不完整）： 九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：190，195，193，195，195，194． 八年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：193，192，196，193，196，196，196，196． 【数据分析】两个年级学生一分钟跳绳个数分析如表： 年级 统计量 平均数/个 中位数/个 众数/个 方差 九年级 194 a 195 32.3 八年级 194 196 b 45.5 【问题解决】 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）补全条形统计图． （3）根据以上数据分析，你认为哪个年级的一分钟跳绳成绩更好？并说明理由（至少从两个统计量角度说明）． （4）若该校参加此次跳绳活动的八年级学生有200名，九年级学生有260名，请你估计两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数． 24．在△ABC中，BE平分∠DBC，DE∥BC，∠1＝（2x+8）°，，求∠BDE的度数． 25．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（c，d）（点M不与原点O重合），将点Q（x+3c，y+3d）（3＞0）称为点P（x，y）关于点M的“3倍平移点”．（1）已知点P的坐标是（5，4），①若点M（3，﹣3），则点P关于点M的“3倍平移点”Q的坐标是；②点N（﹣4，﹣3），T（2，﹣3），点M在线段NT上，过点R（s，0）作直线l⊥x轴，若直线l上存在点P关于点M的“3倍平移点”，求s的取值范围．（2）点A（﹣2，﹣2），B（2，﹣2），E（6，8），F（9，5），以AB为边在直线AB的上方作正方形ABCD，点M在正方形ABCD的边上��且c＞0，d＞0，对于正方形ABCD的边上任意一点P，若线段EF上都不存在点P关于点M的“k倍平移点”，直接写出k的取值范围． 26．在平面直角坐标系xOy中，给定n个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），若x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn中共有t个不同的数，则称t为这n个不同的点的特征值．图形F上任意n个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）中，特征值最小的一组点的特征值称为图形F的n阶特征值．（1）点A1（﹣2，2），A2（4，﹣2），A3（3，4）的特征值是；（2）已知正方形ABCD的四个顶点分别为A（b，0），B（b+3，0），C（b+3，3），D（b，3），①直接写出正方形ABCD的4阶特征值的最小值；②若正方形ABCD的5阶特征值的最小值是3，直接写出b的取值范围． 2025-2026学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【分析】根据平移变换的性质即可解决问题． 【解答】本题考查利用图形平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识．解：A、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，故本选项不合题意； B、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，故本选项不合题意； C、图标是四个相同的图形组成，可以由其中一个平移得到，故本选项不合题意； D、图标是一大一小两个缩放的图形组成，不能用“基本图形”平移得到，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查利用图形平移设计图案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2．【分析】本题先根据平行四边形的性质以及平移规律，求出平移后C点坐标的表达式，再结合第二象限点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）来判断原来C点可能的坐标．需要用到点的平移规律（左右平移改变点的横坐标，左减右加；上下平移改变点的纵坐标，上加下减）以及平行四边形的性质． 【解答】设原来C点坐标为（x，y）．平行四边形向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么C点平移后的坐标为（x﹣2，y+1）．因为平移后C点在第二象限，所以x﹣2＜0且y+1＞0，即x＜2且y＞﹣1．逐一分析选项：A选项（0，0），平移后为（﹣2，1）在第二象限，但代入平行四边形性质中不一定符合，排除；B选项（﹣1，1），平移后为（﹣3，2）在第二象限，且符合平行四边形性质，当选；C选项（1，1），平移后为（﹣1，2）在第二象限，但代入平行四边形性质中不一定符合，排除；D选项（2，﹣1），平移后为（0，0）不在第二象限，排除． 【点评】本题考查点的坐标以及平行四边形的相关知识，关键是掌握平移规律以及第二象限点的坐标特征，同时要考虑平行四边形的性质． 3．【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式；抽样调查是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法．解题的切入点是判断每个选项中调查对象的特征，看是否适合全面调查． 【解答】A选项，对参赛运动员的健康状况进行检查，因为运动员数量相对较少，且健康状况直接关系到赛事的顺利进行，必须确保每个运动员的健康情况，所以适合全面调查；B选项，调查该城市周边河流的水质情况，河流范围广，全面调查难度大，适合抽样调查，排除；C选项，调查该城市居民对赛事举办的满意度，居民数量众多，全面调查工作量大，适合抽样调查，排除；D选项，调查市场上为赛事准备的食品的质量情况，食品数量多，全面调查成本高，适合抽样调查，排除． 【点评】本题考查全面调查与抽样调查的区分，关键是根据调查对象的特点来判断． 4．【分析】本题先根据a＜b得出a﹣b＜0，b﹣a＞0，再结合一次函数的表达式，根据不等式的性质来判断每个选项． 【解答】因为a＜b，所以a﹣b＜0，b﹣a＞0．A选项，（a﹣b）﹣1＜（b﹣a）﹣1，因为a﹣b＜b﹣a，两边同时减1，不等式仍然成立，排除；B选项，﹣2（a﹣b）＞﹣2（b﹣a），因为a﹣b＜0，b﹣a＞0，两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，不等式成立，排除；C选项，（a﹣b）+b＜2b，化简得a＜b，已知条件成立，排除；D选项，（a﹣b）^2 ＝ （b﹣a）^2，所以（a﹣b）^2＜（b﹣a）^2不一定成立，当选． 【点评】本题考查不等式的性质以及一次函数的相关知识，关键是根据a与b的大小关系以及不等式性质来判断． 5．【分析】根据题意得BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，再根据平行线的性质得∠BCD＝∠EDF＝30°，再根据∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°可得答案． 【解答】解：由题意，得BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°， ∴∠BCD＝∠EDF＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴30°+45°+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∴∠1＝105°， 则图中∠1的度数为105°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 6．【分析】本题考查解二元一次方程的方法．解题思路是通过移项、系数化为1等步骤，将方程变形为用x表示y的形式． 【解答】由，首先移项可得：，两边同时乘以﹣4得：，即．逐一分析选项：A选项错误；B选项错误；C选项错误；D选项正确． 【点评】本题考查解二元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤． 7．【分析】本题考查命题真假的判断．需要根据人工智能领域的相关知识，对每个命题逐一进行分析判断． 【解答】①经过算法优化后，不一定有且只有一种最优算法与某一复杂任务匹配，可能有多种，所以①是假命题；②在数据处理过程中，对于一组给定的数据，可能有多种排序方式，比如升序、降序等，所以②是假命题；③不同的算法被应用于同一组数据时，得到的结果可能不同，比如不同的统计算法等，所以③是真命题；④所有的数据都可以在计算机的存储设备中找到对应的存储位置，这是计算机存储的基本原理，所以④是真命题．真命题有③④，共2个． 【点评】本题考查命题真假的判断，关键是结合人工智能领域知识对每个命题进行分析． 8．【分析】首先移项、合并同类项、系数化成1求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数解即可． 【解答】解：4﹣3x≤﹣1， 移项，得﹣3x≤﹣1﹣4， 合并同类项，得﹣3x≤﹣5， 系数化为1得：x， 则不等式4﹣3x≤﹣1的最小整数解是2． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，移项过程中需要注意移项要变号，系数化成1的过程中注意不等号方向的变化． 二．填空题（共9小题） 9．【分析】本题考查无理数的概念．无理数，也称为无限不循环小数．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称．解题的切入点是根据无理数和有理数的定义，对给出的实数逐一进行判断． 【解答】，是整数，属于有理数；，因为是开方开不尽的数，所以是无理数；2.121221222…是无限不循环小数，属于无理数；是分数，属于有理数．所以无理数是，2.121221222…． 【点评】本题考查无理数的概念，关键是要清楚无理数的特征，注意区分有理数和无理数． 10．【分析】本题考查算术平方根的概念．若一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的算术平方根．解题的切入点是先明确算术平方根的定义，再对给定的数进行计算． 【解答】因为，所以的算术平方根是． 【点评】本题考查算术平方根的计算，关键是要准确理解算术平方根的定义，注意算术平方根是非负的． 11．【分析】本题考查二元一次方程的解的概念．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．解题的切入点是可以通过给其中一个未知数赋值，然后求出另一个未知数的值． 【解答】当x＝2时，2+3y＝8，3y＝6，解得y＝2．所以方程的一组整数解可以是（答案不唯一）． 【点评】本题考查二元一次方程解的求解，关键是掌握通过赋值法求方程解的方法． 12．【分析】本题考查命题的改写．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．解题的切入点是先分析命题的题设和结论分别是什么，再进行改写． 【解答】命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角是等角的余角”，结论是“这两个角相等”，所以改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查命题的改写，关键是准确找出命题的题设和结论． 13．【分析】本题考查频数（率）分布表中组数的计算．组数＝（最大值﹣最小值）÷组距，若结果不是整数，则组数需要进一位取整．解题的切入点是先计算出最大值与最小值的差，再除以组距，最后根据规则确定组数． 【解答】首先计算最大值与最小值的差：168﹣145＝23，然后23÷4＝5.75，因为组数必须为整数，所以组数为6组． 【点评】本题考查组数的计算，关键是掌握组数的计算公式以及取整规则． 14．【分析】本题考查坐标与图形性质．在平面直角坐标系中，与y轴平行的直线上的点横坐标都相等．解题的切入点是根据直线AB与y轴平行这一条件，得出点A和点B横坐标相等． 【解答】因为直线AB与y轴平行，所以点A（5，2）与点B（m，m+4）的横坐标相等，即m ＝ 5．把m ＝ 5代入m+4，可得m+4 ＝ 5+4 ＝ 9．所以点B的坐标是（5，9）． 【点评】本题关键是掌握与y轴平行的直线上点的坐标特征，注意计算不要出错． 15．【分析】先根据平行线的性质求出∠CFE＝82°，再根据三角形外角得∠CFE＝∠CDE+∠BED，即可得出答案． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠ABE＝82°， ∴∠CFE＝∠ABE＝82°（两直线平行，同位角相等）． ∵∠CFE是△DEF的外角， ∴∠CFE＝∠CDE+∠BED， 即82°＝38°+∠BED， ∴∠BED＝44°， 则∠BED的度数为44°， 故答案为：44°． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 16．【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式．（1）把x、y的值代入方程可求出p的值；（2）先求出p的值代入不等式，再根据不等式恒成立求出s的取值范围． 【解答】（1）把x ＝ 3，y ＝ 7代入px﹣y ＝ 2，得3p﹣7 ＝ 2，移项可得3p ＝ 2+7，即3p ＝ 9，解得p ＝ 3．（2）由（1）知p ＝ 3，不等式x+s＞px﹣2变为x+s＞3x﹣2，移项可得s＞3x﹣2﹣x，即s＞2x﹣2．因为当x＜3时，不等式总成立，当x ＝ 3时，2x﹣2 ＝ 2×3﹣2 ＝ 4，所以s≥4． 【点评】本题综合考查方程与不等式知识，注意不等式恒成立问题的处理方法． 17．【分析】本题考查解一元一次不等式组以及对新定义的理解．（1）先估算2π﹣3的范围，再根据定义求解；（2）根据新定义列出不等式组求解． 【解答】（1）因为π≈3.14，所以2π﹣3≈2×3.14﹣3 ＝ 3.28，3 ＝ 2.5，3 ＝ 3.5，2.5＜3.28＜3.5，所以[2π﹣3]＝ 3．（2）因为，所以，解不等式，移项可得，即，解得t；解不等式t+2，移项可得t，即，解得t．所以，又因为为整数，所以t ＝ 6． 【点评】本题关键是理解新定义并准确列出不等式组求解，注意计算和取值范围的判断． 三．解答题（共9小题） 18．【分析】本题考查实数的运算．（1）分别计算各项再进行加减运算；（2）根据平方根的定义求解x的值． 【解答】（1），，，则．（2）因为（x﹣2）2＝ 25，所以x﹣2 ＝±5，当x﹣2 ＝ 5时，x ＝ 5+2 ＝ 7；当x﹣2 ＝﹣5时，x ＝﹣5+2 ＝﹣3． 【点评】本题考查实数运算和平方根知识，注意计算的准确性和平方根的两种情况． 19．【分析】本题考查解方程组和不等式组以及求整数解．（1）用消元法解方程组；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取交集得到解集，进而求出整数解． 【解答】（1），由②×4得24x﹣4y ＝﹣20 ③，③﹣①得24x﹣3x ＝﹣20﹣4，即21x ＝﹣24，解得x ．把x 代入①得3×（）﹣4y ＝ 4，解得y ．所以方程组的解为．（2）解不等式4x﹣3≥x，移项可得4x﹣x≥3，即3x≥3，解得x≥1．解不等式，两边同时乘以5得x﹣5＜9﹣4x，移项可得x+4x＜9+5，即5x＜14，解得x．所以不等式组的解集为1≤x，整数解为1，2． 【点评】本题考查方程组和不等式组的解法，注意计算过程和求解整数解时的范围判断． 20．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCF＝∠1，结合已知证得∠DCF+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得EF∥DC； （2）先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠ACD的度数，最后根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【解答】（1）证明：∵DH∥AC， ∴∠DCF＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DCF+∠2＝180°， ∴EF∥DC； （2）解：∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB， ∵∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝64°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD+∠2＝180°， ∴∠2＝148°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． 21．【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据平移的性质作出图形即可． 【解答】解：（1）①如图所示，线段AB即为所求，画图的依据是两点之间线段最短； ②如图所示，线段AC即为所求，画图的依据是点到直线间垂线段最短； 故答案为：①两点之间线段最短；②点到直线间垂线段最短； （2）如图2所示，△DEF即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换，熟记平移变换的性质是解题的关键． 22．【分析】（1）可通过设未知数，根据两种不同的购进情况列出二元一次方程组来求解丙、丁两种文具用品每件的费用；（2）设购进丙种文具用品的数量，进而表示出购进丁种文具用品的数量，再根据总费用的范围列出一元一次不等式组，求解不等式组得到购进方案．本题核心知识点为二元一次方程组和一元一次不等式组的应用． 【解答】（1）设购进丙种文具用品每件x元，购进丁种文具用品每件y元．根据题意可得方程组将第一个方程两边同时除以4得2x+y＝85，即y＝85﹣2x．把y＝85﹣2x代入3x+7y＝270得：3x+7（85﹣2x）＝2703x+595﹣14x＝270﹣11x＝270﹣595﹣11x＝﹣325x＝35把x＝35代入y＝85﹣2x得y＝85﹣2×35＝15．所以购进丙种文具用品每件35元，购进丁种文具用品每件15元．（2）设购进丙种文具用品m件，则购进丁种文具用品（180﹣m）件．由题意可得不等式组解第一个不等式：35m+15（180﹣m）⩾492035m+2700﹣15m⩾492020m⩾4920﹣270020m⩾2220m⩾111解第二个不等式：35m+15（180﹣m）⩽494435m+2700﹣15m⩽494420m⩽4944﹣270020m⩽2244m⩽112.2因为m为正整数，所以m＝111，112．当m＝111时，180﹣m＝180﹣111＝69；当m＝112时，180﹣m＝180﹣112＝68．所以共有2种购进方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组在实际问题中的应用，关键是准确找出等量关系和不等关系列出方程和不等式组，计算时要细心． 23．【分析】（1）九年级先算出各组人数，定位第10、11位数据求平均数得中位数a；八年级利用扇形占比算出各组人数，统计C组出现最多的数得众数b； （2）用九年级总人数20减去A、B、C、E已知人数，求出D组人数，画出对应条形； （3）两年级平均数相同，从中位数对比，八年级中位数更高，判定八年级成绩更好； （4）分别算出九年级D、E占样本比例、八年级D+E扇形占比，结合各自总人数相乘后相加，得到不少于200个的总预估人数． 【解答】解：（1）将九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据重新排序为：190，193，194，195，195，195． 年级A组3人、B组6人、C组6人、D组2人、E组3人，第10、11位均在C组，按C组数据190，193，194，195，195，195排序后第4、5位为194和195，中位数194.5， 根据八年级学生一分钟跳绳数扇形统计图发现，除C组外，其余各组人数分别为： A组：10%×20＝2人，B组：20%×20＝4人，D组：20%×20＝4人，E组：10%×20＝2人，而C组中，出现次数最多的数据为196，共出现5次，则八年级一分钟跳绳个数的众数为b＝196； 故答案为：194.5；196； （2）由题意，C组数据有6人，则A组人数为：20﹣6﹣6﹣2﹣3＝3，由此可补充条形图． 补全条形统计图如图： （3）答案不唯一，例如：八年级的成绩更好． 理由：从平均数来看，八年级和九年级一分钟跳绳个数的平均数都是194个；从中位数来看，八年级一分钟跳绳个数的中位数为196个，大于九年级一分钟跳绳个数的中位数191.5个，所以八年级的一分钟跳绳成绩更好； （4）（名）． 答：两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数约为125名． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．【分析】如图，先说明∠2＝∠3＝∠4，然后根据∠1＝∠ABC＝2∠3＝2∠2求出x＝28，得出∠1＝64°，然后利用邻补角的定义可求出∠BDE的度数． 【解答】解：如图， ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠4． 由条件可知∠3＝∠4， ∴∠2＝∠3＝∠4， ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠ABC＝2∠3＝2∠2， 由条件可得， ∴x＝28， ∴∠1＝（2×28+8）°＝64°， ∴∠BDE＝180°﹣∠1＝116°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 25．【分析】（1）①根据“3倍平移点”的定义，将点P和点M的坐标代入计算即可得到点Q的坐标；②先确定点M横坐标的取值范围，再根据“3倍平移点”的定义得到点P关于点M的“3倍平移点”横坐标的取值范围，进而得到s的取值范围．（2）根据“k倍平移点”的定义和线段EF的位置，结合正方形ABCD的性质，分析得出k的取值范围．本题核心知识点为平面直角坐标系中的坐标变换和四边形的综合应用． 【解答】（1）①已知点P（5，4），点M（3，﹣3），根据“3倍平移点”的定义，点Q的横坐标为5+3×3＝14，纵坐标为4+3×（﹣3）＝﹣5，所以点Q的坐标是（14，﹣5）．②因为点N（﹣4，﹣3），T（2，﹣3），点M在线段NT上，所以点M横坐标c的取值范围是﹣4⩽c⩽2．点P（5，4）关于点M（c，d）的“3倍平移点”Q的横坐标为5+3c．当c＝﹣4时，5+3c＝5+3×（﹣4）＝﹣7；当c＝2时，5+3c＝5+3×2＝11．所以﹣7⩽5+3c⩽11，因为直线l上存在点P关于点M的“3倍平移点”，所以﹣7⩽s⩽11．（2）k⩾3或． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中的坐标变换以及四边形与坐标的综合问题，关键是理解“k倍平移点”的定义，结合图形性质进行分析求解，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有一定要求． 26．【分析】（1）根据特征值的定义，找出点A1、A2、A3横、纵坐标中不同数的个数即可得到特征值；（2）①分析正方形ABCD四个顶点横、纵坐标的特点，找出特征值最小的情况得到4阶特征值的最小值；②根据5阶特征值的最小值是3，结合正方形顶点坐标的特点，分析得出b的取值范围．本题核心知识点为平面直角坐标系中的坐标特征和四边形的综合应用． 【解答】（1）点A1（﹣2，2），A2（4，﹣2），A3（3，4），横坐标为﹣2，4，3；纵坐标为2，﹣2，4，一共有6个不同的数，所以特征值是6．（2）①正方形ABCD的四个顶点A（b，0），B（b+3，0），C（b+3，3），D（b，3），当取A、B、C、D四个顶点时，横坐标有2个不同的数，纵坐标有2个不同的数，所以4阶特征值的最小值是4．②b⩽﹣1或b⩾1． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中的坐标特征以及四边形与坐标的综合问题，关键是理解特征值和n阶特征值的定义，结合正方形的性质进行分析求解，对学生的分析和推理能力有一定要求． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 10:16:24；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $