精品解析：2026年四川省宜宾市中考数学试题

宜宾市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试 数 学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 梯形 C. 正方形 D. 正五边形 4. 某校位同学参加志愿服务，服务时长（单位：小时）如下：，，，，，，，．则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 11. 如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 12. 点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式： _______． 14. 不等式的解集是________． 15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 16. 如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 17. 某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 18. 如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，中，、分别垂直对角线于点、．求证：． 21. 某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）________，补全条形统计图； （2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数； （3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． （1）求的长； （2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 23. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 24. 如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． （1）求的度数； （2）求证：与的外接圆相切； （3）为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； （3）如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市2026年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试 数 学 （考试时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 梯形 C. 正方形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、梯形不一定是轴对称图形，且所有的梯形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4. 某校位同学参加志愿服务，服务时长（单位：小时）如下：，，，，，，，．则这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此可得答案． 【详解】解：∵在这组数据中，出现次，出现次，出现次，出现次， ∴是这组数据中出现次数最多的数， ∴这组数据的众数为． 5. 如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6. 已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 7. 我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设买甜果个，买苦果个，根据甜果和苦果共个，可得方程，求出单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文，根据总花费一共是文，可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设买甜果个，买苦果个， ∵甜果和苦果共个， ∴， ∵文钱可以买个甜果，文钱可以买个苦果， ∴单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文， ∵总花费一共是文， ∴， ∴可得方程组． 8. 如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 9. 如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 10. 如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码：  ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 11. 如图，，，点、分别是上的点，连接、交于点．若，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，利用相似三角形的性质求出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ∴， ，， ，， ，  设， ∵ ∴，即，  ， ∵， ∴，即， ，   ， 解得  ，， ∴， ， 在中， ． 12. 点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键． 14. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ． 15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 16. 如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 17. 某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 【答案】 【解析】 【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算到中完全平方数的个数即可． 【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为（，为正整数）的桌子，当指令数字是的因数时，是的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号的扑克牌被翻动次数等于的正因数个数； 若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次， ∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数， ∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数． ∵在到中，完全平方数为，共个， ∴正面向上的张数是10． 18. 如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，中，、分别垂直对角线于点、．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明． 【详解】略 21. 某校组织全校1000名学生进行“爱祖国，爱家乡”知识竞赛．从中随机抽取了m名学生，并按竞赛成绩分成A、B、C、D四组，绘制出以下不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）________，补全条形统计图； （2）根据竞赛成绩，C、D组的学生被评为优秀，估算全校优秀的人数； （3）竞赛中有2名女生和1名男生获得满分，从这三名学生中随机抽取2名学生代表学校参加下一轮竞赛．请用列表或画树状图的方法，求抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据B组的人数除以占比求得的值，进而求得C组的人数，并补全统计图； （2）根据样本估计总体，用乘以C、D组的占比，即可求解； （3）用A表示女生，用B表示男生，根据题意画出树状图，根据树状图求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：，C组的人数为： 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：， 答：全校优秀的人数为680人； 【小问3详解】 解：用A表示女生，用B表示男生，根据题意画树状图为： 由树状图可知：共有6种等可能的结果数，其中1名男生和1名女生的结果数为， ∴抽到1名男生和1名女生的概率为． 22. 宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． （1）求的长； （2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； 【小问2详解】 解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 23. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】（1）一次函数和反比例函数的表达式分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 24. 如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点． （1）求的度数； （2）求证：与的外接圆相切； （3）为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， ∴是的外接圆的直径，设圆心为点，连接， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵为半径， ∴与的外接圆相切； （3）解：，理由如下： 连接，设， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵，点是中点， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可； （2）可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明； （3）连接，设，导角证明即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，点是中点， ∴ ∵平分 ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； （3）如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线，对称轴为直线， 设直线，代入点、 ∴ 解得 ∴直线 将代入，得 ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； （3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得 ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，， ∵点、 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接， 则， ∵ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当点三点共线，且点重合时，取得最小值为 ∵， ∴此时取得最小值为， 而高为定值， ∴的面积最小值为， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $