精品解析：2025年四川省宜宾市中考数学试题

宜宾市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试 数学 （时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黒． 2、答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4、所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列立体图形是圆柱的是（　　） A. B. C. D. 3. 一组数据：， ， ，，的平均数为6，则的值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 6. 采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 7. 如图， 是的弦，半径于点．若 ，．则 的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线 与轴交于点．连结 ．若，则 的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边 、上， ，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在中，， ， ，过点A作直线，点是直线上一动点，连结 ，过点作 ，连结 使．当 最短时，则的长度为（　　） A. B. 4 C. D. 12. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：① ；②；③ 是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式=____________． 14. 分式方程的解为_______． 15. 如图，已知是的圆周角，，则________ ． 16. 如图，在矩形中，点、分别在上，且，把 沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 17. 已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 18. 如图，在中， ，．将射线 绕点C顺时针旋转到，在射线 1上取一点D，连结，使得 面积为24，连结，则的最大值是________． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）计算：． 20. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 21. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求 的长． 22. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 23. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． （1）求一次函数的表达式，并求的面积． （2）连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作 于点，连结、，且 ． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求与的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线 上方，连结 ．当四边形 面积最大时，求的长度． 25. 如图，是坐标原点，已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线 交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试 数学 （时间：120分钟；全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黒． 2、答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米，黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4、所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解： 的相反数为， 故选：A． 2. 下列立体图形是圆柱的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的识别，熟悉掌握图形的识别是解题的关键． 根据立体图形的特点逐一识别即可． 【详解】解：A：此图为球，故不正确； B：此图为圆锥，故不正确； C：此图为圆台，故不正确； D：此图为圆柱，故正确； 故选：D． 3. 一组数据：， ， ，，的平均数为6，则的值是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数的概念：若有n个数据，，…，，那么这组数据的平均数． 根据平均数的定义，所有数据之和等于平均数乘以数据个数，建立方程求解即可． 【详解】解：已知数据4、5、5、6、a的平均数为6，数据共有5个． 根据平均数的计算公式：， 两边同时乘以5，得：， 计算左边已知数的和：， 代入方程得：， 解得：， 因此，a的值为10， 故选：D． 4. 满足不等式组的解是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法分别进行各选项的判断即可． 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法法则． 【详解】A.根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即，计算正确． B.根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故．选项B中结果为，符号和指数均错误，计算错误． C.合并同类项时，系数相减，即，选项C中结果为常数2，未保留项，计算错误． D.根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即，选项D中指数错误，计算错误． 故选：A． 6. 采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 【答案】C 【解析】 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 7. 如图，是 的弦，半径于点．若，．则 的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 9. 如图， 是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点 ．连结 ．若，则 的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作 轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作 轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上， ，沿将 剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点F，证明出，得到，，设，，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将 剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图，在中，， ， ，过点A作直线，点是直线上一动点，连结 ，过点作 ，连结使．当最短时，则的长度为（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长， 相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键． 12. 如图， 是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：① ；②；③ 是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到 ，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到 ，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和 代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴ ，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当 时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 分解因式=____________． 【答案】． 【解析】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 14. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原分式方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，已知是 的圆周角，，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是 的圆周角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形 中，点、分别在上，且，把 沿翻折，点 恰好落在矩形对角线 上的点M处．若A、、三点共线，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到，再根据等角对等边推出，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由翻折得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为． 17. 已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 【答案】58 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 18. 如图，在中， ，．将射线 绕点C顺时针旋转到，在射线 1上取一点D，连结，使得 面积为24，连结 ，则 的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先整理得，过点C向上作线段 ，使得 ，则，结合整理得 ，证明，即 ，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接 ，并延长与 交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线 绕点C顺时针旋转到，在射线 1上取一点D，连结， ∴ ∵ 面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段 ，使得 ， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 故点D在以为直径的圆上， ∵ ， 记圆心为直径的中点 ， 即 的半径 连接 ，并延长与 交于一点，即为， 此时为 的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先计算括号内分式的减法，再进行乘法计算，直至化为最简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 20. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）．根据调查结果，制成了如下的统计图． 请结合图中信息解答下列问题． （1）本次共调查了_______名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是_______，并补全条形统计图； （2）若七年级新生共有600人，估计有_______人喜欢乒乓球运动； （3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动．学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率． 【答案】（1）100，10， 补全条形统计图如图： （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，读懂统计图，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）先由演讲与口才人数除以占比求出调查的人数，再由调查的人数减去其余的人数即可求解喜爱舞蹈的学生人数，即可补全条形统计图； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：调查的学生数： （人）， 喜爱舞蹈的人数： （人）， 【小问2详解】 解： （人）， ∴估计有150人喜欢乒乓球运动， 故答案为：150； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中同时选中甲乙两人的结果数有2种， ∴同时选中甲乙两人的概率是． 21. 如图，点是平行四边形 边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形 边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 22. 如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在 相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在 相切于点 ，此时测得．（参考数据：） （1）求圆心角的度数； （2）求的弧长（结果精确到米）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解； （2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与所在 相切于点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线与所在 相切于点 ， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的弧长为：， 答：的弧长为． 23. 如图，过原点 的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点 ，与轴交于点，其中，． （1）求一次函数的表达式，并求的面积． （2）连接，在直线上是否存在点，使以 、、为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当 时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为 ， 在 中，当时， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为， ， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵ 与 相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴ ， ， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 24. 如图，已知是 的直径，是 上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作 于 点，连结、，且 ． （1）求证：直线是 的切线； （2）若，，求与 的长度； （3）在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结 ．当四边形 面积最大时，求的长度． 【答案】（1） 解：连接 ， 则， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵是 的直径， ∴， ∴ ， ∴直线是 的切线； （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ， 可得 ， ，由直径性质，得，可得，即得直线是 的切线； （2）证明 ，得，得，可得 ，证明 ，得, ，由,得； （3）过点E作 于点G，则 ，当四边形 面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得 ，∴ ，得，由，得,即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 解得 （舍去）或； 【小问3详解】 过点E作 于点G， 则 ， 当四边形 面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 25. 如图， 是坐标原点，已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于 点，其中． （1）求b、c的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结 ，与直线交于点，若，求点D的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）存在，这两个交点之间的距离为 【解析】 【分析】（1）理解题意，分别把代入 ，进行计算，即可作答． （2）先得，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为 ，再分别求出的解析式为 ，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线解析式为，求出，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，分别把代入 ， 得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， 则 ， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为 ， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为 ， 把代入 ， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把 代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且 ， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当 时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 由（2）得 ， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴ （舍去）或 ， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $