第九章 课时2 二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理”专题，依据课标要求梳理了定理证明、展开式应用两大核心考查维度，结合2025年天津、江苏等地高考真题，明确特定项系数、二项式系数性质、系数和等高频考点分布，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+规律方法+素养培养”，如通过通项公式求特定项（例1求含x²项系数）、赋值法求系数和（例2令x=1得各项系数和），培养数学思维与表达能力。针对易错点设专题辨析，提供“三步解题法”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

课时 2二项式定理 一、 课标要求 1.能用多项式运算法则 2.会用二项式定理解决 和计数原理证明二项式定理. 与二项展开式有关的简单问题. 二、知识梳理 1.二项式定理及相关概念 名称 含义 二项式定理 (a+b)”= 0 1 k n C.d'b+C.db+…+C,d+…+Cd(n∈N) 二项展开式 二1 项式定理右边的多项式叫作(a十b)”的二项展开式 二项展开式的 k 通项 T+1= C,db,是二项展开式的第士1项 二项式系数 C。,其中r=0,1,2,,n 2.二项展开式的形式特点及注意点 (1)项数：展开式共有n+1项； (2)顺序：字母a,b顺序不能改变，(a十b)”与(b十a)”的展开式是不同的； (3)指数：各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n; 字母α按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0； 字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到. 3.二项式系数的性质 性质 内容 对称性 m n m C C 1 双肩和 m m1 m C.十C =C n+1 增减性 n-l k k+1 k1 k 当k<2时，C<C。:当k>”时，C<C 2 最大值 n 若n为偶数，当k= 2 时，二项式系数C,最大；若n n+1 n-1 为奇数，当k=2 或2时，二项式系数C最大 0 和 123 二项式系数和C十C十C十C.十.十C=2”; 02 奇数项二项式系数和C,十C,十=2”1 13 偶数项二项式系数和C十C十..=2”1· 【拓展知识】 1.二项式系数与项的系数的区别 k k 在Tk+1=C”b中，C就是该项的二项式系数， 的值无关； 而T+1项的系数是指该项中除变量外的常数部分， 的值有关. 它与各项的项数有关，与4，b 它不仅与项数有关，也与a,b 若a,b为常数，在(a十bx)"的二项展开式中，第(k十1)项的二项式系数是Cn, 系数是Cab. 2.三项展开式中的项 对于任意正整数n,某个kk∈{0,1,2，.，n),l(l∈{0,1,2，.，n-k), k 1 在(a十b+c)的展开式中，含adhc"'项的系数为C,Cn- 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V,错误的打“×”) (1)乘积(41十2十a3)b1+b2十b3)(c1十c2十c3十c4十c5)展开后共有11项. ×【解析】(a1十a2十a)b1十b2十b3)c1+c2十c3十c4十c)展开有多少项，分三步， 先在第一个括中取一项，有3种，然后在第二个括中取一项，也有3种，最后在 第三个括号中取一项，有5种，所以共有45项.所以错误： (2)(a十b)”的二项展开式中，第k项的二项式系数是 k-1 X【解析】第k项的二项式系数是C·所以错误. k C o) (3)(a十b)”的二项展开式中， √【解析】正确. 若有两项的二项式系数最 大，则n为奇数.( ) (4)已知(1十x)”的展开式中第4项和第8项的二 10.( √【解析】因为第4项和第8项的二项式系数相等， 以正确. 项式系数相等，则n的值为 3 7 所以C,=C,.解得n=10.所 2.c+1)”的展开式中，含x项的系数为15，则n A.7 B.6 C.5 k B【解析】(x+1y的展开式的通项为T+1=C,x”化 k 2 时，C=15,所以C=15.解得n=6.故选B. 二 D.4 =0,1,…,m),当n-k=2 3.(多选题)关于(-19的二项展开式， A.存在常数项 B.二项式系数最大的项是第5项和第 C.系数最大的项是第5项 D.系数最小的项是第6项 下列说法正确的有 ) 6项 s) BCD【解们】项及开式的谁项是-C =0,1,…,9).不存在整数r,使得9-2k=0,所以A 9 4 5 C,C,…,C,中，C,=C最大，所以BCD正确.故选 k =(-1'C,9k 错误.在二项式系数 BCD 4.已知(1+x)”二项展开式中的系数之和为32，则n=,(1+x)十(1+x)2十 (1十x)3+..十+(1+x)”的展开式中，含x2项的系数是 5:20【解析】由(1十x”展开式中二项式系数之和为32，有2”=32，所以n=5.(1 2 2 2 2 +)十(1+x)2+(1十x)3+…+(1+x)y展开式中含x项的系数为C,+C3+C4+C 32223 =C3十C3+C4+C,=C6=20. 四、考点扫描 考点一 二项展开式中的特定项 例1(1) (2025·天津高考) 字作答) 【解析】根据二项式的展开式 当 时，展开式中 的系数为 的展开式中，含 项的系数为一（用数 ,1,2,3,4,5, (2)(2025·江苏镇江市阶段练习 为20，则c=() 3 1 A. B. 4 4 ij的展 若( 1 C. 2 开式中，含x项的系数 D. 2 s) B【解析】( 3j 依题意，得之，得a j 令差与、得 故选B 4 2 的通项公式为 舍)，令s,得4 (3)(2025·云南昆明市模拟) A.10 B.30 C【解析】由多项式(a 可得 系数为 2还故选C 〔a3的展开式中，含x☑项的系数为() C.60 D 60 展开式的通项为 ，令2， 又由3 展开式的通项为 当k时，可得是，所以展开式中x项 规律方法 ()求二项展开式中特定项，根据通项公式，令字母的指数符合要求（求常数项时， 指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数十1，代回通项即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的问题，根据因式连乘法则，结合二项式展开 定理求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏· 对点训练(1)(2025·上海高考)二项式 为 80【解析】二项式 的展开式的通项为 得， 所以 的展开式中 项的系数 的展开式中，含 项的系数 ，令 ,求 是 (2)（2025安徽芜湖一中月考)(1一x2)(1 12,则a= 一2【解析】由(1+x)4的展开式通项为T,+1 ax2)Clx=(Ci-aC))x,C-aCl=4-4a= +x)4的展开式中，含x3项的系数为 =Cx,所以含x3的项为C3+(一 12,可得a=-2. (3)(2025·北京大兴区模拟) A.9 B.15 a 的展开式中，含x的系数为() C.18 D.45 A【解析】 易知(3e的展开式中没有x项：因为3 的展开式的通项为： ,令3人，即k2,所以3刊 展开式中，x的系数为 ;又因为 的展开式的通项为： ,令1=，即(，所以 3是 展开式中，x 的系数为 综上， 3f 的展开式中，含x顶的系数为 故选A. 考点二二项式系数与展开式的项的系数 考向1系数和 例2设(-1+x)7=a0十a1x十a2x2+..十a7x(x∈R) (1)各项二项式系数的和； (2)1十ag+a5+a的值； (3)lao+la+..+la的值. 求： 美 0 【解】()各项二项式系数的和为C,+C,十.+C,=2 (2)令x=1,得40十a1+a2+..+a=0①； 令x=-1,得a-4十a-..-a=(-2)7=-128② ①-②得2(a1十as十a5+a)=128,所以a41+a3+a5十a7 k (3)因为T+1=C,(-1)7kx=(-)C7x(k=0,1,…, a4<0,a6<0,a41>0,as>0,a5>0,>0.所以laol+ -a2十..-a7=128. =128. =64. 7),所以a4<0,42<0, la1+..+la=-ao十a 规律方法： 一般地，对于多项式(a十bx)"=a0十a1x十a2x2+…十anx”,令gx)=(a十bx)”，,则(a 十bx)"的展开式中各项的系数和为g(I),(a十bx"的展开式中奇数项的系数和为 21+g一1小，a十x的层开式中得数项的系数和为g)一8-1以. 对点训练(1)(2025·北京高考)已知 则 家3客绿 1:15【解析】令x(,则6=，又( 故（七 兰毛，令2，则 多爱，令t山，则产，故 7写安穿 (2)(2025·江苏淮安市阶段练习)若（冬学牛，且 运，则三（) A.650 B.405 C.810 D.1620 C【解析】令与1，则一三， 解得？5.所以 (球空去，所以球， 一之令1，则 故选C. (3)己知(1+x)4+(1+x)5+…+(1十 x)1,则ao十a2十a4十…十a1o的值是( A.680 C.1360 x)11=ao十a41(2+x)+a2(2+x)2+…+a1(2+ ) B.-680 D.-1360 B【解析】令x=一1，得0=a十a1十a2十…十a11,即 令x=-3,得(-2)4+(-2)5+…+(-2)1=40-41十 +4-4s+.-4m=（-2)'1-（-21--1360@ 1-(-2) ①②两式相加可得m十a2十4十…十o=- 1360 2 40十a1+42十…+411=0①， a2-a3+-411,即a40-a1 680.故选B. 考向21 最值 例3(1)设n为正整数， 开式的二项式系数的最 (c2展开式的 大值为y.若§， 二项式系数的最大值为x,(吟展 则n 4【解析】由(a 展开式的二项式系数的最大值为，则有C,由（码 展开式的二项式系数的最大值为”，则有S,由奇，故有， ©/￥s〔2a中 即 州，即>受，解得一故答案 为：4. 已 的展开式中仅第4项的 大的项是第() A.2项 B.3项 C. 二项式系数最大，则展开式中系数最 4项 D.5项 B【解析】由题意，二项式系数仅C最大，故毛，所以 其通项公式为 3 → 4 (H)项的系数最大，则有 经经验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项.故 戒6r。 设二项式展开式中第 故2， 选B. 规律方法： 如求(a十bx)(a,b∈R)的展 式各项系数分别为A1,A2, 而解得r. 开式系数最大的项， …,An+1,且第r项号 般是采用待定系数法，设展开 [A≥Ar-1, 系数最大，应用 4,≥A4, 从 对点训练 1卫蜘2x=项折式-度 正确的是( A.二项展开式中各项系数之和为37 3 B.二项展开式中的二项式系数最大的项为90x2 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中的系数最大的项为240x 式系数和为64，则下列结论 D【解1因为2成 的二项展开式中二项式系数和为64，所以2”=64，则 ”-6,所以二项武为2+司 则二项展开式的通项为T+1=C6(2x) C三，令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为30，故A错误； 3 第4项的二项式系数最大，此时r=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为 3 14=之x号-160w,故B错误： 3 令63 =0,则r=4,所以二项展开式中的常数项为C。之之=60，故C错误： 3 令第(r+1)项的系数最大，则 解得 因为r∈N,所 以r=2.所以二项展开式中系数最大的项为T3=C2x3=240x3,故D正确.故选D (2)（多选题)若(3x-2)2025=a0十a1x十a2x2- A.☑0=22025 B.十a十a4十.十am024= 1-52025 2 C.41十a3十a45+..十2025= -52025-1 2 D. a1+ 2025 =22025-1 31 asx3+..十a2025x2025(c∈R),则有 s) BD【解析】对于选项A,当x=0时，ao=(-2)225=-2225,A错误； 对于选项B,C,当x=1时，a0十a1十a2十a3十..十a2025=1225=1,当x=一1 时，a0-a41十a2-Q3十..十a2024-a2025=-52025,所以a0十42十a4十…十a2024 a十a十as十.十hs=52+1, 1-52025 所以B正确，C错误； 2 2 对打远当(}习+片+ 20 332 32025 所以41+44a 33233 十十9-（一12-w=2-1,D正痛.牧选BD 考点三二项式定理的简单应用 例4(1)设a∈Z,且0<a<8.若5555+a能被8 A.0 B.1 C.6 整除，则a= ( D.7 0 B【解析】因为55=56-1，所以555=C565 +α能被8整除，且56能被8整除，所以只需 且0<a<8,所以a=1.故选B. 1 54 C55564+..+Cs56-1.因为555 1十a能被8整除.又因为a∈Z, (2)(2025·福建三明市高三期末 率为3%，某人存入大额存款a,元， 列各数与L最接近的是() A.1.31 B.1.32 )某银行在2025年初给出的大额存款的年利 按照复利计算10年后得到的本利和为a1o.下 C.1.33 D.1.34 D【解析】存入大额存款。元，按照复利计算，可得每年末本利和是以为。首项， 为公比的等比数列，所以置， 可得 故选 D 规律方法： 在证明整除问题或求余数问题时， 一项都含有除式的因式；在利用二 x比较小时，(1+x)≈1+x, 要进行合理的变形， 项式定理求指数的近 使被除式（数）展开后的每 似值时：当n不是很大， 对点训练(1)(2025·山西晋中市模拟预测)中国南北朝时期的著作《孙子算经》 中，对同余除法有较深的研究.设均为整数，若a和b被m除得的余数 相同，则称a和b对模m同余，记为毛。，如8和23被5除得的余数都是3， 则记电。年若。，且 兰号，则的值可以 是() A.4021 B.4022 C.4023 D.4024 A【解析】 即a被10除得的余数为1 结合选项可知只有4被10除得的余数为1.故选A (2)用二项式定理估算1P.(精确到0.001) 1.105【解析】 、乡 米 感谢观看 THANKS