第九章 课时作业2 二项式定理-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二项式定理核心题型，通过通项公式应用、赋值法等系统方法，构建从概念到综合应用的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|8题|通项公式求特定项/常数项、方程思想求n|从二项式定理概念到通项公式推导，落实基本运算| |综合拓展|5题|赋值法/导数法求系数和、比较法求最大项|二项式系数与系数辨析，强化逻辑推理| |真题实践|2题|高考真题解法迁移|结合真实命题情境，提升模型观念与应用意识|

课时2 二项式定理 一、单选题 1．的二项展开式中，常数项为 （ ） A． B． C． D． 2、(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　 　) A．－C B．C C．－C D．C 3、（2024·北京卷）的二项展开式中，含项的系数为（ ） A. 15 B. 6 C. D. 4、若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 5.的展开式中，含的系数为（    ） A． B． C．7168 D． 6．已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 二、多选题 7．(2026·江苏南通市如皋市模拟)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的有(　　) A．n＝10 B．展开式中的常数项为45 C．含x5的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项 8、（2026·天津武清区练习）已知的展开式中，第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则有(　　) A．n＝4 B．展开式中所有项的系数和为1 C．展开式中二项式系数和为24 D．展开式中不含常数项 9.若(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则下列结论正确的有(　 　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 026＝ C．＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝4 052 三、填空题 10、（2025·天津卷）的展开式中，常数项为______． 11．已知的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 12. 设是正整数，化简 . 四、解答题 13、求证： 14.已知，二项式. (1)若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中含项的系数； (2)若展开式的前三项的系数依次成等差数列，求展开式中系数最大的项. 课时2 二项式定理参考答案 1．D【解析】展开式第()项，，.故选D. 2、C【解析】由题得Tr＋1＝Cx10-r(－1)r(r＝0，1，2，…，10)，令r＝5，得T6＝Cx5(－1)5＝－Cx5，所以(x－1)10的展开式的第6项的系数是－C．故选C. 3、B【解析】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选B. 4、B【解析】二项式(x＋1)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－r，令n－r＝2，得r＝n－2，故x2的系数是C＝C．因为x2的系数为15，所以C＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5．因为n∈N*，所以n＝6．故选B. 5.A【解析】由题意可得 ，令，解得，令，解得，含项为，即，所以的系数为，故A正确.故选A. 6．C【解析】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，.故最大，因此第七项的系数最大.故选C． 7．ABC【解析】二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx2n－2r＝，由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，则＝，故＝，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确； 因为Tr＋1＝，令20－＝0，解得r＝8，则展开式中的常数项为(－1)8C＝45，故B正确； 令20－＝5，解得r＝6，则含x5的项的系数为(－1)6C＝210，故C正确； 令20－∈Z，则r为偶数，此时r＝0,2,4,6,8,10，故有6项有理项，故D错误．故选ABC. 8、AD【解析】由题意，得＝，则＝，解得n＝4，故A正确； 所以＝，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误； 所以的二项式系数和为29，故C错误； 的通项公式为Tr＋1＝C·(－2x)r＝C(－2)r，若Tr＋1为常数项，则有2r－9＝0，解得r＝N，所以不存在常数项，故D正确．故选AD. 9.ABD【解析】令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝(－1)2 026＝1①，故A正确； 令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 026＝32 026②， ①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 026)＝1＋32 026，故a0＋a2＋a4＋…＋a2 026＝，故B正确； 令x＝0可得a0＝12 026＝1③， 令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0④， 把③代入④即可得出＋＋…＋＝－1，故C错误； 两边对x求导得－4 052(1－2x)2 025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 026a2 026x2 025，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝4 052，故D正确．故选ABD. 10、20【解析】因为的展开式的通项为 ，令，可得，所以常数项为. 11．280或560【解析】由二项式的展开式的通项公式. 由题知，，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项或第5项，则展开式中二项式系数最大的项的系数为或，即展开式中二项式系数最大的项的系数为280或560. 12. 【解析】设，，所以有. 13、【证明】由基本恒等式，即得 .因为，所以，即 14.【解】（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得.则展开式的通项公式为，令，解得，代入通项公式有：，所以的系数为. （2）二项式通项公式为，所以第一项的系数为，第二项的系数为，第三项的系数为.由于前三 项的系数成等差数列，所以，解得，或.因为至少有前三项，所以（舍），故.二项式通项公式为.设第项的系数最大，故 ，即，即，解得，因为，所以或.故系数最大的项为或. . 学科网（北京）股份有限公司 $