河南焦作市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试卷

2025级高一下学期6月月考 数学试卷 一、选择愿（本大题共8小题，每小题5分 方小，在母不总给出时四个选项 项是符合题目要求的、) 1.复数3-6i的虚部为() A.6 B.6 C.3 D.-6i 2.如图，△AB'C是△MBC用斜二测画法得到的直观图，其中0A=0B=√2,0C=1,则 是的值为() A.25 B. C.v10 3 D.2 3 3. 3.设m,n表示两条不重合的直线，a,B表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( A.若m/la,nCac,则m/lm B.若mca,Mca,m/lB,lIB;则a/Ap C.若m/lm,nca,则m/la D.若m/1a,m/IB,aB=n,.则ml/m 4.已知函数f()=√5 sinx+osg(w>0）在[0上有两个零点，则0的取值范围为n(.） A(g)居) c( 5.南开中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开 人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.如图的多边形， 由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而 成.已知向量，k,则向量ā=（) A.3玩+2n B.3张+2+方 c.2+2或+k+2或D.+2k+l+2 -cos48。-'2tanl30 2c= -an13。'则有（) A.b<c<a B.b<a<c C.e<b<a D.a<c<b 试卷第1页，共4页 7.函数f()=sin(awr+p)(ow>0,0<p<)的部分图像如图所示，VABC是等腰直角三角形， 其中4，B两点为图像与x轴的交点，C为图像的最高点，且 10B=30A,则f(0)+f(0)+f(2)++f(2024)=（) 。A9B 2c5D.0 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=14=2C,则△ABC周长 的取值范围为() A.（1+V2,3+2) B.（1+5,3+W5) C.(2+2,3+5) D.（1+V2,3+ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体.那么在下列 各线段中，线段所在直线是异面直线的是() A.直线EF和直线AH B.直线AB和直线CD C.直线EF和直线GH D.直线AB和直线EF 10.在半径为r的圆中，扇形AOB的孤长1，面积为S,圆心角a=2,弦AB=2,则下列结论 中正确的是() A.r=1 B.1~品C,SD.AM0B的面积为 sinl s1 11.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆， 点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() A.8O-1B4+BC B.BA-BO=3 C.BP.BC的最大值为5 D.若丽=x+)y8C,则x+y的最大值为3+5 3 试卷第2页，共4页 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.在△4BC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=1,b=√5，A=30, 则B=· 13.如图，在棱长为1的正方体ABCD-4B,CD,中，M,N分别是4D,48的中点，过点B的 平面aW平面AMN,则平面a截该正方体所得截面的面积为 第13题图 第14题图 14.某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图 中阴影都分所示：已知∠A8C-子，ACD-号，路宽D=24米.设∠B4C=0合≤0s引， 则制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知复数z满足z-2=-3W5-3i. (1)求z; (2)已知z是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，分别求b,c的值 16.已知向量ā=（值，2），6=(2，-1)，c=(m,2),m∈R. ()当(a+j1(a-)时，求实数的值： (2)当B∥(a+)时，求向量ā与的夹角的余弦值： (3)当（亿，©）为钝角时，求m的取值范围. 试卷第3页，共4页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M, N,2分别为BC,PA,PB的中点. (I)求证：点，N,C,D四点共面 (2)求证：平面MW2/I平面PCD, (3)在线段PD上是否存在一点E,使得MN/I平面ACE?若存在，求 出三的值，若不存在，请说明理由 PD 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2+c2-b2=√5ac. (I)求∠B: (2)若a=4W5,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△4BC存 在，求AC边上的高. 条件①：b=√5；条件②：sin(A-C)=1;条件③：BABC=24. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分 19.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA= sin2B 1-sinA 1-cos2B ()诺c2 ，AB=3. ①求B; ②角A的内角平分线交BC于D,求线段AD的长： (2)求2a2-b c2之的取值范围. 试卷第4页，共4页2025级高一下学期6月月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B 0 B A C 题号 9 10 11 答案 ABC BC ACD 12.60°或120°. 13. 98 14.85+8 要使 在同上有两个零点，民2x+号，吕0号煎给家值高用为刻侣号引 6 6 5.根据题意可得风=风， 已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与 原正方形组合而成，如图，由对称性可得AB到=BC=CDl=DE=|Eg=2F, CE=EF=FG=V2A8到=V2园.由图可知点B,C,E,2共线，点2， F,G共线，所以B0=BC+C远+0=(2+V2), 2G=F+FG=(1+2)i,所以a=BG=0+2G=(2+2)k+1+2)元 6.a=cos50- 1 2 sin5°=sin30°cos5°-cos30°sin5°=sin(30°-5)=sin25°， /1-cos48° 1-cos(2×24° 1-（1-2sin224° b= 2 2 =√5in224°=sin24°， 2tanl3° c= 1-tan213 =tan(2×13)=tan26°，因为y=sinx在(0,90)上单调递增，所以a>b,又因为 0<cos26°<1，所以tan26°=sin269 c0s26 >sin26°>sin25°即c>a,综上b<a<c. 7.过C作CDLx轴于点D,则CD=1,因为VABC是等腰直角三角形，所 以4=2，故T=4,则a=牙-子，且@>0，则@=于，因为o8=30, 所以o=043所以4(，2.0，c行所以 誉经+9分2cke2,解箱0-导+2狐，ke2,因为0<9<，所以0-子 ,则 答案第1页，共7页 网-如经x引则r0+++1网=9999=0， 2222 故fo+f0+1Q)++/224=f0+506x0=f0)=2 2 8.因为Vc是锐角三角形，所以4B,Ce0引，又4=2℃，所以2C<受，所以C<至 由4B+C=,得a+C=,所似B=x-3C,所以-3C<分，解得C>君，所以爱cC<子 6 sininCinsin2c2c0sC, 由、 b sinC sinC b=9:sinB_sin(r-3C_sin3C-sinCcos2C+oCsin2C=4cos2c-1,所以VABC的周长为 sinC sinC sinC sinC a+c=2c03C+4c0sC-+1=4c0C+2c0sC c0sC 则a+6c=oc42ac=+2-〔-子喝数0-4-在99上 单调递增，当=5时，间=2+反：当1=5时，f0=3+5,所以 0)=4+2+E3+),所以VABc周长的取值范围为2+53+同). 9.还原为正方体，如下： GC©) A选项，直线EF和直线AH是异面直线，A正确； B选项，直线AB和直线CD是异面直线，B正确； C选项，直线EF和直线GH是异面直线，C正确： D选项，直线AB和直线EF是相交直线，不是异面直线，D错误 10.设扇形半径为，作0C1AB,在直角△A0C中， inI"sint'A选项错误，结合弧长公式1=2= r=0OA=4C=1 in7,B选 项正确：根据扇形的面积公式，了=1=X1x2 1 2 2si加'sin1sin7,C选 项正确：及m号创&0c-如ra1-,D选项错误 2 2 答案第2页，共7页 1.对于A,o=c+co-c+0=c+aA-C)号A+c,故A正确 对于B,由A知而-+c,所以6=+C-+ac 一号石+兮C-方4+分×2x2o60=2+13,散B错误：对于C以8为坐标限点 2 建立如玉所示的平面直角座振系，B0,o.c收0叭.4、可，o侵》，设 当0=0°时，B即.BC的最大值为5，故C正确：对子D 由c知-侵wa9mo BA=(,5),BC=(2,0),则xBA+yBC=(x+2y,V3x),又B乎=xBA+yBC， 则 x+2y=+cos0 [1, = sine V3x=+sine 整理得到 23 2 -+as-5。 11 6 所以x+y=1+c0s8+兽sin0=1+9sin(0+引当0=号e(-)时，x+y取到最大值， 最大值为3+ 3 ,故D正确。 13.取C,D、BC的中点分别为P,2,易知MN1IB,D,/P2,MNx平面BDP2,P2c平面 BDP2,所以MNII平面BDP2,因为ADIINP,AD=NP,所以四边形ANPD为平行四边 形，所以ANIIPD,AN￠平面BDP2,PDC平面BDP2,所以ANII平面BDP2, 又因为MNI AN=N,MN,ANc平面AMN,所以平面AMNI/平面BDP2,所以平面a截该 正方体所得截面的面积为四边形P2BD的面积，P2 IBD IIBD,所以四边 形P0为梯形，2-00=-，所以形的离为 5 答案第3页，共7页 所以平面α截该正方体所得截面的面积为 8 4因为与地面垂直，∠B1C=0,所以∠CMD-受-9，在4CD中，因∠4CD-号，则 ∠c04=--0-骨9+名由正弦定理，得2 =AC AD.sin∠CD4=16N5sin9+ sin∠ACDsinCDA'得 AC= sinLACD +6在VABC中，∠4CB=R-0-20=-0, 33 由正弦定理，得 n乙ac8m2ac,得AB,4CCB-32sna+ AB sin/ABC 6 又由正弦定理，可得，BC: inBAC"iC4C 、AC nZABC 6 sine, 所以8+8c=2n(o+引n[居-小2mor0 wo.w5wo.jo5co.m =n6cas0r0+9om0+n9cag〉 4 6 则当29-君即0=受时，MB+8C取得最小值8W5+8, 15.(1)设复数z=a+bi(a,beR),所以z-2a=a+bi-2Na2+b=(a-2层+b+bi, 又：-2-5-，所826e5,s0听-5-3 b=-3 (2)由题意得：z是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，所以2=V3+3i 也是类系费-元二次方程4+6=0商男-个发所以色2， b=-2W5 c=z-3=12 c=12 16.(1)(a+)1(a-)(a+)a-)=0,因为(a+6)=0+22-l)=3,), (a-)=(2-2,22+1),所以3(2-2)+(2+)=0÷元=1. 答案第4页，共7页 (2)(a+)=(1+m,2+2）=(1+m,4),因为5川(a+),所以(1+m(-1)-8=0→m=-9, ac -5 所以c=(-9,2),cosa,c= 阿5V8丽=-17， (3)角6，c为钝角，即cosb,G<0→ B.8 2m-2 <0,且6与c不能反向共线，所以5m+4 <0, 因为√5√m2+4>0,可得2(m-1)<0→m<1,且m≠-4，综上m∈(oo4)U(4,1). I7.(1)证明：N,2分别为PA,PB的中点，N2∥AB,底面ABCD是平行四边形， AB∥CD.N∥CD,所以点2，N,C,D四点共面 (2)由(1)知Ng∥AB,因为NQx平面PCD,CDc平面PCD,.N2∥平面PCD M,分别为BC,PB的中点，∴Mg∥CP,因为MQa平面PCD,CPc平面PCD,MgII 平面PCD.又N2nMg=2,N2,Mgi平面N2,所以平面MNQ//平面PCD, (3)线段PD上存在一点E,使得N11平面ACB,且E=号 证明如下：取PD的中点E,连接NE,CE,AE,因为N,E,M分 别是PA,PD,BC的中点，BC∥AD,BC=AD,所以NE MC, NE=MC,所以四边形MCEN是平行四边形，所以W∥CE,因为MN文平面ACE,CEC平 面ACE,所以W1/平面ACE,此时PE= PD 2 18.(1)解：因为a2+c2-bB2=5c,由余弦定理得cosB=+c2-b-V3ac=5 2ac 2ac 2 因为Be0利，可得B-云 (2》解：选择条件①：6=5，且B=若由正弦定理”=b sinA sinB’可得 sinA=asin B 43.sin 6=2,因为sinA=2>l,所以这样的VABC不存在； b 选择条件®，因为4+B+C=不，且B,所以4+C=石若则A二答C 由sin(A-C)=l,可得sin 答-2c-1,因为4e0,ce@,所以g-2c-受解得C 6 6 答案第5页，共7页 sin4sin,可得b=asin」 3xsin 所以A=经由正弦定理a三6 6 24 3 sinA in2元 3 3 设4C边上的高为h,可得VBC的面积为S=4csnB=所，所以cgn，因为 b 4-字-6爱可6e,义为-4，写4原 6=25 4 选择条件③：由BA.BC=24,根据向量的数量积的公式，可得BA,BC=BABCcos B,所以 accs=24,因为B=2且a=45,所以4W5cx5 =24,解得c=4,由余弦定理 2 b2=a2+e2-2 acs,可得82=(4>+4-2×4N5x4x5=16,所以6=4 2 设AC边上的高为h,可得VABC的面积为S= asinB=bh,所以in8， 2 b 所以h= 3x4sin 6=25 4 sin2B 2sinBcosB cosB 19.(1)oc22sin B sing .cos Asin=cos-sindcos nA+B)=cosB,又A+B=-C,所以sin(A+B)=sinC,所以sinC=cosB=sin2B 所以c=受-B或C+子B=元即C+B=或C-B=受，因为1-sn40,所以A*登即 2 C+B*号，故C-B=受因为C行，所以8=若@由@得4=-任-若君 3 6 Γ3“66 (6=si咖cos 4 osco子sngx52x是6-互 X 4 622224 里sincsim,每4C=B-sin83xsin3x 1 在VABC中，由正弦定理2=AC, sinC 6 =5, sin 23 3 2 因为SAc=S.Mo+SMc,所以AB·ACsinA=AB·ADsin2+iAC·ADsin 所以5×3x5×5=x3-4D.6-巨+×5AD.6-巨， 2 22 4 4 答案第6页，共7页 4D=3 (2)~C-B=亚 C=B+受4=x-B-C=号-2B :4、A、c为vABc的内角，B0引 由正弦定理得2a2-b_2sin2A-sin2B-2cos22B-sin2B sin2C cos2B 2(2cosB-1)-(-cosB)8co cos2B cos2B 令1=os8合f0=8+7, r0=8->0,0=0+7在行到 单调递增， 所以2a（12) 02 答案第7页，共7页