重难点02 绝对值的化简与绝对值方程-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点02 绝对值的化简与绝对值方程 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、绝对值的化简——数轴上点的位置已知 2 题型2、绝对值的化简——字母的取值范围或值已知 3 题型3、绝对值的化简——字母的取值范围或值可求 4 题型4、绝对值的化简——型 5 题型5、绝对值的化简——零点分段法 6 题型6、绝对值方程 8 题型7、含绝对值的不定方程 12 基础通关 13 拓展提优 18 1．掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤； 2．能利用绝对值的性质解方程； 3．回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题． 1．绝对值的性质 ①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即； ③负数的绝对值是它的相反数，即； ④绝对值具有非负性，即. 2．已知范围的绝对值化简步骤 1）判断绝对值符号里式子的正负： ①：大数-小数>0，转化到数轴上：右-左>0； 小数-大数＜0，转化到数轴上：左-右＜0． ②：正数＋正数>0，化到数轴上：原点右侧两数相加>0； 负数＋负数＜0，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号． 2）根据绝对值符号里式子的正负去绝对值符号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）． 3）去括号： 括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号． 4）化简（合并同类项）. 3．型的绝对值化简 当时，；当时，； 4．零点分段法一般步骤 ①求零点； ②分段； ③在各段内分别进行化简； ④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案． 题型1、绝对值的化简——数轴上点的位置已知 【解题技巧】数轴上点的位置已知的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）． 例1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 例2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 变式2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 试化简：； 变式4．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简． 题型2、绝对值的化简——字母的取值范围或值已知 【解题技巧】字母范围或值已知的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）． 例1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 例3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，则的值为 ． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知 ． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数，且．化简：． 题型3、绝对值的化简——字母的取值范围或值可求 【解题技巧】根据已知条件求出字母的取值或范围，再用题型2的方法进行化简即可。 例1．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 例2．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 例3．（22-23七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 例4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 例5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 变式2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果，那么式子的值为 ． 变式3．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 变式5．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知，且，化简． 题型4、绝对值的化简——型 【解题技巧】当时，；当时，； 例1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 例3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 变式1．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 变式2．（23-24七年级上·河南新乡·期中）如果，那么（　　） A． B．1 C． D．不确定 变式3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，，则代数式的值为 变式4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 题型5、绝对值的化简——零点分段法 【解题技巧】零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案． 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 例2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的最小值为 ． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 变式2．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 变式3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 题型6、绝对值方程 【解题技巧】代数法：方法同题型5零点分段法；几何法：利用绝对值的几何意义求解． 例1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 例2．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 例3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 例4．（23-24七年级上·广西河池·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 例6．（24-25六年级下·上海·期末）不等式的解集为 ． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）方程的解为 ． 变式2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础和载体．例如，表示3与1之差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；再如，表示3与之差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．    (1)数轴上表示与3的两点之间的距离是______，数轴上表示数x与的两点之间的距离可以表示为_______． (2)若数轴上某点对应的整数x满足，请直接写出所有整数x的值． (3)已知数轴上某点对应的数x满足，借助数轴求出x的值． 变式4．（24-25七年级上·内蒙古包头·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 变式5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 变式6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 题型7、含绝对值的不定方程 【解题技巧】根据绝对值的几何意义求解. 例1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和． （1）式子的最小值为 ． （2）已知，则的最大值是 ． 例2．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． 变式1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 变式2．（22-23七年级上·陕西西安·期末）实数a，b满足，则的最小值为 ． 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 2．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，，化简 ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 5．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，，则 ． 7．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 9．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）若，，则 ． 10．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若且，则值为 ． 11．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的［探究］． ［提出问题］ 两个不为0的有理数满足同号，求的值． ［解决问题］ 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数； ②都是负数． ①若都是正数，即，，有，，则； ②若都是负数，即，，有，， 则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 13．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 16．（2025·广东佛山·一模）方程满足的解的个数为（   ） A．5 B．3 C．6 D．0 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 18．（24-25七年级上·云南昆明·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离可表示为． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题 【初步运用】 （1）①数轴上表示和两点之间的距离是 ； ②数轴上表示与两点间的距离是 ； （2）下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ． ③使，数轴上表示的数 ． 【深入探究】 （3）利用数轴解决问题： ①找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ． ②利用数轴解决问题：当 时，的值最小，最小值是 ． 19．（24-25七年级下·广西桂林·期中）阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差 ． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 2．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的方程有三个解，则a的值为 ． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ① ，②若，则有 种可能的值． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题． 材料一：我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，的几何意义是数轴上两数对应点之间的距离．例如，，的几何意义是：在数轴上表示的点和表示5的点之间的距离为11． 材料二：我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过以上阅读材料，请你解决下面问题： (1)代数式的零点值是______；的最小值为______； (2)根据材料信息，化简代数式：； (3)设，当取何值时取最小值是多少？ 7．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 8．（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于，，进行“绝对运算”，得到：． ①对进行“绝对运算”的结果是； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是； ③对，，，进行“绝对运算”，化简的结果可能存在种不同的表达式；以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级上·重庆·期中）现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（   ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A．个 B．个 C．个 D．个 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 12．（23-24七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 绝对值的化简与绝对值方程 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、绝对值的化简——数轴上点的位置已知 2 题型2、绝对值的化简——字母的取值范围或值已知 6 题型3、绝对值的化简——字母的取值范围或值可求 9 题型4、绝对值的化简——型 15 题型5、绝对值的化简——零点分段法 20 题型6、绝对值方程 27 题型7、含绝对值的不定方程 38 基础通关 42 拓展提优 60 1．掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤； 2．能利用绝对值的性质解方程； 3．回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题． 1．绝对值的性质 ①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即； ③负数的绝对值是它的相反数，即； ④绝对值具有非负性，即. 2．已知范围的绝对值化简步骤 1）判断绝对值符号里式子的正负： ①：大数-小数>0，转化到数轴上：右-左>0； 小数-大数＜0，转化到数轴上：左-右＜0． ②：正数＋正数>0，化到数轴上：原点右侧两数相加>0； 负数＋负数＜0，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号． 2）根据绝对值符号里式子的正负去绝对值符号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）． 3）去括号： 括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“-”，去括号，括号内各项要变号． 4）化简（合并同类项）. 3．型的绝对值化简 当时，；当时，； 4．零点分段法一般步骤 ①求零点； ②分段； ③在各段内分别进行化简； ④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案． 题型1、绝对值的化简——数轴上点的位置已知 【解题技巧】数轴上点的位置已知的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）． 例1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 例2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：________，________，________； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据数轴可得，，然后根据有理数的加减法法则即可解答； （）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 变式2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴及绝对值，整式的加减运算；由数轴上，，对应的点可得，，，即可得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ，， 则，， ． 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 试化简：； 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，数轴上的点表示有理数，有理数的加减法， 先根据数轴上的点的位置可知，且，进而得出，再去绝对值合并即可. 【详解】解：根据题意，得，且， ∴， ∴ ． 变式4．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图所示，其中．化简． 【答案】 【分析】本题考查数轴上表示有理数、化简绝对值，整式的加减，根据数轴得出，，，，再根据整式的加减运算化简即可． 【详解】解：由题意可得： ，，，， 所以原式． 题型2、绝对值的化简——字母的取值范围或值已知 【解题技巧】字母范围或值已知的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）． 例1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，，化简应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的性质和已知条件，去掉绝对值即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 例2．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．直接利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】， ， 故选：B 例3．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，整式的加减，能根据a、b、c的符号确定与的符号，然后去绝对值合并是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故选D． 例4．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的符号问题、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握各运算法则是解题关键．先确定和的符号，从而可得到和的符号，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得． 【详解】解：， ， ， 则， ， ． 故答案为： 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值、代数式的值，属于基础题．把字母代入进行化简计算即可． 【详解】∵，，， ， 故选择：A 变式2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值化简．根据题意利用绝对值化简知识点即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，判断，，化简计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， ， 故选：A． 变式4．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数，且．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的化简，根据题意，可得，由此化简绝对值，再计算即可． 【详解】解：根据题意，可得， ∴． 题型3、绝对值的化简——字母的取值范围或值可求 【解题技巧】根据已知条件求出字母的取值或范围，再用题型2的方法进行化简即可。 例1．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 例2．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义．根据题意，得到，或，，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、、都为整数，且满足， ∴，或，； 当，时，； 当，时，； 综上：的值为1， 故选：B． 例3．（22-23七年级上·四川南充·期中）有理数，，在数轴上所表示的点的位置如图所示，且，，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，整式的加减，有理数的乘法，数轴，熟练根据题意判断出数轴原点的位置是解题的关键．由图可知，由，得，再结合，则可知原点的大致位置，则可知，，，再化简绝对值，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴， 又∵， 则可知原点的位置大致为： 则可知，，， ∴ ， 故答案为：． 例4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； （2）解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 例5．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 变式1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 变式2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示．如果，那么式子的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了有理数与数轴、化简绝对值，整式加减．根据数轴得到，，得出，，根据绝对值的性质去掉绝对值，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ∵， ． 故答案为：0． 变式3．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 变式4．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据整除的知识将25分解，从而利用、、、的大小关系确定出各字母的值，继而将各值代入即可得出答案． 【详解】解：∵整数，，，满足，且， ， ∴、、、， ∴ ． 故答案为：． 变式5．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知，且，化简． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，解一元一次不等式，化简绝对值即整式的加减运算，先根据非负数的性质求得m、n的值，再求解一元一次不等式，得到的范围，进而化简绝对值，再根据整式加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意， 解得：，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型4、绝对值的化简——型 【解题技巧】当时，；当时，； 例1．（23-24七年级上·陕西安康·期中）若，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设为正数，为负数， 则原式； ④一个负数，两个正数，假设为负数，为正数， 则原式； 综上，的值为或， 故选：． 例2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，化简绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个，再讨论奇数的个数，结合去绝对值的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个， 当负数的个数为1个时，不妨设a是负数，b、c是正数， ∴， 当负数的个数为3个时， ∴； 综上所述，的值为， 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 变式1．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 变式2．（23-24七年级上·河南新乡·期中）如果，那么（　　） A． B．1 C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴其中必有两个1和一个，即a，b，c中必有两个正数，一个负数， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 变式3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，，，则代数式的值为 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 由已知条件得出，，，再化简式子，再分四种情况讨论：当，，时，当、、中有一正两负时，当、、中有两正一负时，当，，时，分别化简即可． 【详解】解：，， ，，， 当，，时，原式 当、、中有一正两负时，不妨设，，， 原式 当、、中有两正一负时，不妨设，，， 原式 当，，时， 原式 综上，原式的值是或， 故答案为：或． 变式4．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 题型5、绝对值的化简——零点分段法 【解题技巧】零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案． 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 例2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，整式加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别去掉绝对值，求出其范围，然后进行判断即可． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 当时， ， 此时； 综上分析可知：的最小值为8． 故答案为：8． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚． 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： 已知点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，例如表示到的距离，而则表示到的距离； 我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：①；②；③．从而化简可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式= 结合以上材料，回答以下问题： (1)化简代数式； (2)化简代数式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目中的范例解得即可求解； （）根据题目中的范例解得即可求解； 本题考查了化简绝对值，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式， ∴． 变式2．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件 时，取得最大值，最大值为 ； 当x满足条件 时，取得最小值，最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 变式3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和； （2）解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； （3）解：当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去． 所以，原方程分解为或 题型6、绝对值方程 【解题技巧】代数法：方法同题型5零点分段法；几何法：利用绝对值的几何意义求解． 例1．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 例2．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 例3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的方程，求所有整数解的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是掌握绝对值的性质和解一元一次方程的能力． 分、和三种情况分别求解可得． 【详解】解：当时，，解得，不符合条件，舍去； 当时，， 解得，此范围恒成立， 符合条件的整数为、、、0； 当时，， 解得， 方程的所有整数解的和为：， 故答案为：． 例4．（23-24七年级上·广西河池·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1) ； (2)在数轴上，有理数2与所对应的两点之间的距离为 ； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则 ； (4)利用数轴分析，若x是整数，且满足，求出满足条件的所有x的值的和是多少？ 【答案】(1)5； (2)5； (3)4或； (4)4． 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． （1）根据两点间距离公式求解即可； （2）根据两点间距离公式求解即可； （3）把求的x，转化为x对应的点到1所对应的点的距离是3，再求出x值即可； （4）把求的x，转化为求x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7，再分别求出满足条件的整数x，再求和即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）解：有理数2与所对应的两点之间的距离为， 故答案为：5； （3）解：由题意得表示x对应的点到所对应的点的距离是3， 当x对应的点在1所对应的点的左侧时，， 当x对应的点在所对应的点的右侧时，， 综上所述，或4， 故答案为：4或； （4）解：表示在数轴上，x对应的点到所对应的点的距离和到4所对应的点的距离之和为7， ∵， ∴所对应的点到4所对应的点的距离为7， ∴观察数轴可知，所有符合条件的整数是， ∴满足条件的所有x的值的和为：． 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查新定义下的运算，有理数混合运算，绝对值的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握知识点的应用以及分类讨论思想． （）根据新定义即可求解； （）分当为偶数时，则为奇数和当为奇数时，则为偶数两种情况分析，然后根据新定义列出方程，再进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（）当，时，为偶数， ∴ ， 故答案为：； （）当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或， 故答案为：或． 例6．（24-25六年级下·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含绝对值的不等式解法，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原不等式化简为， 解得， ∴， 当时，原不等式化简为， 即，符合题意， 当时，原不等式化简为， 解得， ∴， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值、解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程化简为或，再分别解方程求出的值即可． 【详解】解：， 或， 或． 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：， ，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，将含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 解方程． 解法一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，得或， 解得：或． 解法二：当时；原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，即，解得， 所以原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)若关于的方程只有1个解，求方程的解及的值． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和绝对值的意义，熟知解一元一次方程的方法和绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得到或，再根据方程只有1个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∵原方程只有1个解， ∴， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础和载体．例如，表示3与1之差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；再如，表示3与之差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．    (1)数轴上表示与3的两点之间的距离是______，数轴上表示数x与的两点之间的距离可以表示为_______． (2)若数轴上某点对应的整数x满足，请直接写出所有整数x的值． (3)已知数轴上某点对应的数x满足，借助数轴求出x的值． 【答案】(1)8， (2)所有整数x的值为，0，1，2 (3)x的值为9或 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答． （1）根据题目中的式子和绝对值的定义可以解答本题； （2）根据绝对值的定义可以解答本题； （3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题； 【详解】（1）解：数轴上表示与3的两点之间的距离是， 数轴上表示数x与的两点之间的距离可以表示为． 故答案为：8，； （2）解：， 当时，，得，（舍去）； 当时，； 当时，，得（舍去）． 由上可得，符合要求的整数x是，0，1，2． 故答案为：，0，1，2． （3）解：， 当时，，解得：； 当时，，得，矛盾，不符合题意，舍去； 当时，，得． 综上所述，x的值为9或． 变式4．（24-25七年级上·内蒙古包头·期末）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)若，写出整数n的值； (4)若代数式的最小值是4，请直接写出a的值． 【答案】(1)7， (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值方程是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离可直接进行求解； （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据绝对值几何意义得出n的取舍范围，进而得出结果； （4）由（3）及绝对值的几何意义可进行求解 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离是；数轴上表示x与2的两点之间的距离是， 故答案为：7；； （2）解： ， ∴或， ∴或； （3）解：由可知：数轴上表示n的数与2和的距离为5， ∴当时，则有，不符合题意； 当时，则有，符合题意； 当时，则有，不符合题意； ∴整数的n的值为； （4）解：由（3）及绝对值的几何意义可知：的最小值是4，即当x在1和之间时，且1和的距离为4，即， ∴或， ∴或． 变式5．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是绝对值方程的解法，一元一次方程的解法，由可得或，再分情况讨论即可. 【详解】解：∵， ∴或， 当时， ∴， ∴或， 解得：（不符合题意舍去）或（不符合题意舍去）； 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 经检验或是原方程的解， 故答案为：或． 变式6．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为______，不等式的解集为______； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或，或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值，不等式，数轴上两点间的距离公式，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）参照题目中的方法，找出在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数，即可求解； （2）在数轴上找出的解，进而可得不等式的解集； （3）由绝对值的几何意义知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值，可得满足方程的x对应的点在4的右边或的左边，求出方程的解，即可得出不等式的解． 【详解】（1）解：在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， 所以方程的解为或， 因此不等式的解集为或． 故答案为：或，或； （2）解：在数轴上找出的解，如图： ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 题型7、含绝对值的不定方程 【解题技巧】根据绝对值的几何意义求解. 例1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知指数轴上表示的点到表示点的距离，指数轴上表示的点到表示和6两个点的距离之和． （1）式子的最小值为 ． （2）已知，则的最大值是 ． 【答案】 9 7 【分析】本题考查了整式的加减，数轴与绝对值，熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． （1）分类讨论，分这三种情况进行讨论，取它们的最小值即可作答； （2）由的最小值，的最小值，确定x，y的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：（1）依题意， 当时， 则， 当时， 当时， 则； 综上，的最小值为9； 故答案为：9． （2） 又∵， ， 即的最大值是7， 故答案为：7． 例2．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可得当时，有最小值3，当时，有最小值7，再结合已知，当，时有最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题可得绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若，则能取到的最小值是__________，最大值是__________． (2)的最小值为__________． (3)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，3 (2) (3)10， 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，求代数式的值， 将化简为，根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4，结合3到的距离判定x的范围，即可求得最大值和最小值； 可表示为x到的距离与x到的距离和，当时，最小值为2，结合各自占比即可知x的取值和取最大值； 根据题意得，当，时，符合题意，此时，的最小值为3，的最小值为9，即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：将化简为， 根据绝对值的几何意义可得，x到3的距离与x到的距离的和为4， ∵3到的距离为4， ∴x位于3到， 则能取到的最小值是，最大值是3； （2）解：可表示为x到的距离与x到的距离和， 则当时，最小值为2， ∵的占比为，的占比为， ∴当越大时，越小． 则当时取得最大值，； （3）解：根据题意得，且， ∵， ∴当，时，符合题意， 此时，的最小值为3，的最小值为9， ∴的最大值为：， 的最小值为：． 变式2．（22-23七年级上·陕西西安·期末）实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， 表示a到，2的距离与b到的距离之和为8， ∵时， 时，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键． 1．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，则，再结合绝对值的性质化简，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 2．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）若，，化简 ． 【答案】b 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质化简是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，由已知可得，，进而根据绝对值的性质化简运算即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·河北邯郸·期中）已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 【答案】 2 13 【分析】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值．然后代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 将代入得， ， 故答案为：2，． 6．（24-25七年级上·四川成都·期末）若，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值，数轴上两点之间的距离等知识点，利用数轴上两点之间的距离来化简绝对值是解题的关键． 表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为，表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为，则表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离，画出图形，即可形象直观地得出答案． 【详解】解：表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为， 表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为， 如图所示： 则表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离， 或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可． （2）根据三角形三边关系，化简解答即可． 本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 的周长为． （2）解：∵，，是三角形的三边长， 故， ∴，， ∴ ． 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）a、b、c是有理数且，则的值是（   ）． A． B．3或 C．或1 D．或 【答案】C 【分析】首先根据题意可知、、均不为0，再分两种情况即可分别求得、、的值，再分两种情况即可求得其值．本题考查了去绝对值符号法则，代数式求值问题，分类讨论是解决本题的关键． 【详解】解：、、是有理数且， 、、均不为0， 当时，，当时，，、同理， ， 、、中，一负两正或都是负数， 当、、三个数中一负两正时，原式， 当、、三个数都是负数时，原式， 故选：C． 9．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，代数式的知识，解题的关键是根据，可得，异号，分类讨论，再根据绝对值的性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，异号， 当，时，，， ∴； 当，时，，， ∴； 综上，的值为1， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·山东临沂·期末）若且，则值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． 当a，b，c为两正一负时， 当a，b，c为两负一正时，， 故答案为：1或 11．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的［探究］． ［提出问题］ 两个不为0的有理数满足同号，求的值． ［解决问题］ 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数； ②都是负数． ①若都是正数，即，，有，，则； ②若都是负数，即，，有，， 则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)3或； (3)． 【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数都其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）解：∵， ∴可得a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①当，，时， 则：； ②当，，时， 则：， 当，，时， 则：， 当，，时， 则：， ∴的值为3或． （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴可得a，b，c三个有理数一个为负数，另两个为正数． ①当，，时， 则：， 当，，时， 则：， 当，，时， 则：， ∴的值为． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 13．（2024七年级上·北京·专题练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 16．（2025·广东佛山·一模）方程满足的解的个数为（   ） A．5 B．3 C．6 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式，绝对值方程，先求出，当时，，求解得出，可得出答案 【详解】解：∵， ∴， 当时，，变形为：， ∴， 解得：， ∴方程满足的解的个数为0， 故选：D 17．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 18．（24-25七年级上·云南昆明·期中）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离可表示为． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题 【初步运用】 （1）①数轴上表示和两点之间的距离是 ； ②数轴上表示与两点间的距离是 ； （2）下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与3之间移动时，的值总是一个固定的值为： ． ②如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ． ③使，数轴上表示的数 ． 【深入探究】 （3）利用数轴解决问题： ①找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ． ②利用数轴解决问题：当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】（1）①7；②；（2）①4；②3或；③5或；（3）①4；②1；7 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，一元一次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；②直接根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离公式化简绝对值，即可求解； ②根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可； ③根据题意得出数轴上表示数的点位于的左边或3的右边，分两种情况求解即可． （3）①由于所给式子表示到和4的距离之和，当在和4之间时和最小，即可求解； ②根据题意可得表示到与4的距离之和，进而可得当时，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴表示和5两点之间的距离是7， 故答案为：7． ②数轴上表示x和3的两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：①∵数轴上表示数的点位于与3之间， ， ， 故答案为：4． ②∵表示数和的两点之间的距离是4， ， ， ， 解得：或， 故答案为：3或． ③∵表示到和3的距离之和，， 又， ∴数轴上表示数的点位于的左边或3的右边， 当数轴上表示数的点位于的左边时，． 解得：， 当数轴上表示数的点位于3的右边时，， 解得：， 故答案为：5或． （3）解：①∵表示到和4的距离之和，， 又， ∴数轴上表示数的点位于和4之间， ∴整数点为：， 这些点表示的数的和是， 故答案为：4． ②∵表示到与4的距离之和， ∴当时，的值最小， 最小值为， 故答案为：7． 19．（24-25七年级下·广西桂林·期中）阅读与理解 若实数 是的一个解，则其含义是： 用代入使得．这说明在数轴上表示 的 点与原点 的距离小于或等于．由于到原点 的距离等于 的点表示的实数为，从而 ．因此的解集是，在数轴上的表示如图 所示， 若实数 是的一个解，则其含义是： 用 代入使得．这说明在数轴上表示 的点与原点 的距离大于 ，从而 或．因此 的解集是 或，在 数轴上的表示如图 所示， 于是，可以仿照上述思路来解含有绝对值的一元一次不等式． 例：解不等式：． 解由| 得，解得． 因此， 的解集是． (1)不等式 的解集为 ；不等式 的解集为 ． (2)解下列不等式：； (3)解下列不等式：； 【答案】(1)；或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了数轴，解不等式组，解含有绝对值的一元一次不等式，掌握解不等式组的解法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：不等式 的解集为，不等式 的解集为或； 故答案为：，或； （2）解：由得， 解得， 因此，的解集是； （3）解：由得或， 解得或， 因此，的解集是或． 20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差 ． 【答案】 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为15，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 2．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的方程有三个解，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是绝对值方程以及绝对值方程的解的特点.由方程时，方程有一个解，方程有两个解，从而可得答案. 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， 此时方程化为: ①，即，②，即， ∵关于的方程有三个解， ∴或， 当时，则，不合题意舍去， 当时，则， 故答案为：7． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键． 【详解】解：方程， ，即， 或， 或， 方程始终存在四个不同的实数解， ，， 且， ， 故答案为：1． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）定义：表示有理数到离它最近的整数的距离，如，，． ① ，②若，则有 种可能的值． 【答案】 / 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较，一元一次方程的应用．①根据题意得到或，即可求解；②由题意，相当于，设的小数部分为，根据表示有理数到离它最近的整数的距离，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：①或， 故答案为：； ②设，相当于，则 设的小数部分为， 当时，，此时， ∴或或或 解得：或或或或或或 当时，， ∴或或或 解得：或（舍去）或或或或或（舍去） 则或或或 综上所述，可能为，共种可能的值． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题． 材料一：我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，的几何意义是数轴上两数对应点之间的距离．例如，，的几何意义是：在数轴上表示的点和表示5的点之间的距离为11． 材料二：我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过以上阅读材料，请你解决下面问题： (1)代数式的零点值是______；的最小值为______； (2)根据材料信息，化简代数式：； (3)设，当取何值时取最小值是多少？ 【答案】(1)代数式的零点值是，；最小值为7 (2) (3)当时，原式取得最小值，最小值为239 【分析】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）令和，再解方程可得答案；根据数轴上点表示的意义求出最小值即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （4）分14种情况讨论，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 则代数式的零点值是，； 代数式表示的意义为数轴上表示x的点到表示数3和的点距离之和， 由数轴表示的意义可知，当时，该代数式值最小，最小值为； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 显然，在范围内，当时，原式取得最小值，最小值为239． 7．（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 8．（24-25九年级上·重庆酉阳·阶段练习）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于，，进行“绝对运算”，得到：． ①对进行“绝对运算”的结果是； ②对，，进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是； ③对，，，进行“绝对运算”，化简的结果可能存在种不同的表达式；以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，①根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即可判断；②根据“绝对运算”的运算方法进行运算，即判断；③首先根据“绝对运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判断，综上即可求解，理解新定义运算并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①对进行“绝对运算”得：，故①正确； ②对进行“绝对运算”得：， ∵ 表示的是数轴上点到和的距离之和， ∴的最小值为， ∴的“绝对运算”的最小值是，故②正确； ③对进行“绝对运算”得： ， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴的“绝对运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种，故③错误； 综上，正确的是①②， 故选：． 9．（24-25七年级上·山东滨州·期末）有一组非负整数：，，，．从开始，满足，，，，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当，时，；②当，时，；③当，，时，；④当，，（，m为整数）时，．其中正确的结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，数字类规律探索，解一元一次方程，正确理解题意，探究数字类规律是解题的关键． 对于①，根据题意，先求，再求即可； 对于②，根据题意，分别求，，，，，，的值，再求和即可； 对于③，根据题意列方程即可求解； 对于④，分别求，，，，，的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案． 【详解】当，时， ， ， ①错误； 当，时， ， ， ， ， ， ， ②正确； 当，，时， ， ， 解得或， ③错误； 当，，（，m为整数）时， ， ， ， ， 依次规律，可得， ④正确； 正确的结论个数有2个． 故选：B． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）现有个负整数：，，，…，对它们进行如下操作：第次操作，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，得到数列：，，，…；以此类推，第次操作，在第次操作完之后的数列上，将所有角标数字为的倍数的数变换为相反数，此时全部操作结束，以下说法正确的有（   ） 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 若，第次操作结束后，整个数列中会有个正数； 在第次操作结束后的数列中任取两个正数，，则的最小值为． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减计算，有理数的乘除法运算，化简绝对值，还涉及因数，倍数问题，难度很大，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）第四次后，，由得到这50个数中有12个4的倍数，为第个数，第个数变为负数，第个数变为正数，故正数有个，负数有个； （2）因此不难发现，当角标数的因数有奇数个且角标数为完全平方数时，第50次操作后为正，当角标数为时，第50次操作后为正，故有7个； （3）对于，当时，原式，当时，原式，当时，原式；对于，当时，原式，当时，原式，当时，原式，由于取不到最小值2，取不到最小值4，故使和尽可能小即可，即最接近5或7，最接近11或15，故当代入即可求解． 【详解】解：（1）原数列：（均为负数）， 第一次后：（均为正数）， 第二次后：，此时有25个正数，25个负数，且奇正偶负， 第三次后： ， ∵， ∴这50个数中有16个3的倍数，且为8个奇数，8个偶数，且为奇负偶正，其余各数符合不变， ∴有25个正数，25个负数 第四次后，， ∵， ∴这50个数中有12个4的倍数，为第个数， ∴第个数变为负数，第个数变为正数， ∴正数有个，负数有个， ∴（1）正确； （2）∵角标为1的因数为1，有1个， ∴当时，为正； 角标为2的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为3的因数为，有2个， ∴当时，为负； 角标为4的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为9的因数为，有3个， ∴当时，为正； 角标为的因数为，有5个， ∴当时，为正； 因此不难发现，当角标数的因数有奇数个且角标数为完全平方数时，第50次操作后为正， ∴当角标数为时，第第50次操作后为正，故有7个， ∴（2）正确； （3）对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 对于， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∵，，， ∴， 对于取不到最小值2，取不到最小值4， 故使和尽可能小即可， 即最接近5或7，最接近11或15， ∴当， ， ∴的最小值为24， ∴（3）正确， 故选： D． 11．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 12．（23-24七年级上·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$