第01讲 生活中的立体图形（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

第01讲 生活中的立体图形 预习目标 知识回顾 1.认识几何体（圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球）；并能对它们进行简单的分类； 2.熟练掌握棱柱的概念、特征（性质）、分类等； 3.进一步认识点、线、面、体，感受他们之间的关系； 4.经历从现实世界中抽象出图形的过程，会从构成图形的基本元素的角度认识常见几何体的特征。 1.了解长方体、正方体的基本特征；掌握其表面积、体积相关的运算公式； 2.了解圆柱、圆锥的基本特征；掌握其表面积、体积相关的运算公式（圆锥只掌握体积）； 3.会画出常见简单几何体的三视图。 新知导图 预习精讲 想一想 图1-1 图1-2 【思考1】 如图 1-1，在明明的书房中，哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似?这些几何体有哪些分类方法呢？ 【思考2】 如图 1-2，图中棱柱数量上的特点，请同学们完成下列表格 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 【思考3】根据【思考2】中的数据，探究棱柱的面的个数，顶点个数与棱的条数之间有何数量关系？ （欧拉公式） 知识点01 立体图形的认识 1. 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体。常见几何体有圆柱（图1）、棱柱（图2）、圆锥（图3）、棱锥（图4）、球（图5）、圆台（图6）、棱台（图7）等。 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 【即学即练】 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，表示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是平面图形，故不符合题意；B、是平面图形，故不符合题意； C、是立体图形，故符合题意；D、是平面图形，故不符合题意；故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）图中属于柱体的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】解：图中属于柱体的个数有（1）（2）（4）（6）（7）共5个．故选：B． 3．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列几何体中，是棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察可知：A是棱锥，B是正方体，C是圆柱体，D是圆锥． 4.（25-26七年级上·四川成都·校考期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 5.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________；（2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 知识点02 柱体的相关概念及特征 1、柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做棱（edge），相邻的两侧面的交线叫做侧棱。 2、棱柱的特征：（1）棱柱所有的侧棱长都相等；（2）棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；（3）侧面的形状都是平行四边形。 3、棱柱的分类：（1）根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图 1.1-2)。 （2）长方体、正方体都是棱柱；（3）棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形。 注意：本书中主要讨论直棱柱（简称棱柱）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）元旦，小颖想给妈妈一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法，不正确的是（   ） A．它有9条棱 B．它有6个面 C．它的所有侧棱长都相等 D．它有6个顶点 【答案】B 【详解】解：三棱柱有9条棱，故A选项正确，不符合题意；有5个面，故B选项错误，符合题意； 它的所有侧棱长都相等，故C选项正确，不符合题意；有6个顶点，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·广西·期中）下列选项中，说法错误的是（   ） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 【答案】D 【详解】解：∵ 直三棱柱的侧面是长方形，∴ A正确； ∵ 长方体、正方体都是四棱柱，∴ B正确； ∵ 圆锥由一个圆形平面和一个曲面围成，∴ C正确； ∵ 六棱柱有6个侧面，而不是8个侧面，∴ D错误．故选：D． 3．（25-26七年级上·天津·阶段检测）一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是___________棱柱，这个棱柱有___________个侧面，共有___________条棱． 【答案】 七 7 21 【详解】解：∵棱柱有上下两个底面，且该棱柱由9个面组成， ∴该棱柱有7个侧面，∴该棱柱是七棱柱，∴棱柱有条棱，故答案为：七；7；21． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？(2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？(4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形(2)21，14(3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点．故答案为：21，14； （3），故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 5．（25-26七年级上·广东·校考期中）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 【答案】 3n 2n 2n 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点．故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为．故答案为：． 知识点03 图形的构成及其关系 1、点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体； 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种； 线：面和面相交成线，线有直线和曲线； 点：线和线相交成点。 2、点、线、面、体的关系：点动成线；线动成面；面动成体。 注意：（1）几何图形中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有大小，没有薄厚； （2）将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴和旋转角度两个条件。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下雨时汽车雨刷的运动过程，说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】B 【详解】解：∵雨刷可看作一条线段，在运动时扫过一个平面区域， ∴体现了线动成面的原理．故选：B． 2．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 【答案】点动成线 【详解】解：由题意得，这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 3．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意．故选：C． 4．（2026·陕西咸阳·三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到圆锥，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台与圆锥的结合体，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，故符合题意． 5．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱；综上，能得到空心圆柱的是图形④． 题型速练 题型01 识别常见的立体图形 【例1】（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥． 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A是三棱柱、B是四棱柱、D是五棱柱，都是柱体，C是三棱锥，是锥体，故选：C． 必记结论 抓 “典型外形口诀”（背诵记忆，秒判断） 正方形：四方方，6 面一样强；长方形：长长方，对面一个样； 棱柱：两头平，侧面长方形，上下一般粗；棱锥：一个底，侧面三角形，头顶一个尖； 圆柱：上下圆，身子直又长；圆锥：一个圆，头顶尖尖尖；球：圆溜溜，到处滚不休。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列图形全部属于柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、左边的图形属于锥体，故本选项错误；B、上面的图形是圆锥，属于锥体，故本选项错误； C、三个图形都属于柱体，故本选项正确；D、上面的图形不属于柱体，故本选项错误．故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，下列几何体中是棱锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：几何体中是棱锥的为：故选：A． 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 【答案】C 【详解】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球，正方体，圆锥，圆柱。故选：． 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 【答案】B 【详解】解：茶叶桶可以看成圆柱．选：B． 题型02 立体图形的分类 【例1】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【详解】解：①是正方体，属于柱体；②是长方体，属于柱体；③是球，属于球体；④是圆锥，属于锥体； ⑤是六棱柱，属于柱体；⑥是五棱锥，属于锥体；⑦是三棱柱，属于柱体；⑧是圆柱，属于柱体； 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【例2】（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．选项图形只有曲面，不符合题意；B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意；D．选项图形只有平面，符合题意． 必记结论 常见的几何体分类方法（三种） （1）按形状分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球、台体（圆台、棱台）； （2）按围成几何体的面分类：有曲的面：圆柱、圆锥、球、圆台等；无曲的面：棱柱、棱锥、棱台等； （3）按有无顶点分类：有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等； 无顶点：圆柱、球、圆台等。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 【答案】①②③⑥ 【详解】解：这些几何体分别为正方体、长方体、圆柱体，圆锥、球、三棱柱， 其中是柱体的是①正方体，②长方体，③圆柱，⑥三棱柱，故答案为：①②③⑥． 2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征，故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面．图中圆锥符合锥体特征，故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱．图中球符合特征，故球有：． 故答案为：，，． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱，故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦．故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 题型03 组合型几何体的构成 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【详解】解：如图所示的陀螺是由圆柱和圆锥组成的．故选D． 必记结论 按 “位置拆分” 上下结构：分开看上层、下层分别是什么图形； 左右 / 前后结构：分开看左侧、右侧； 多层堆叠：一层一层逐层拆解。 按 “外观特征” 区分单元 有正方形/长方形平面、棱角分明 → 正方体/长方体/棱柱； 出现圆形面、曲面→ 圆柱/圆锥；全曲面、圆形轮廓 → 球。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）一个乒乓球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．材质 B．红色 C．有弹性 D．半径 【答案】D 【详解】解：∵几何性质是反映物体几何形状、大小特征的性质， A材质、B颜色、C弹性都属于物理性质，不属于几何性质， D选项半径是描述球体大小的几何量，属于几何性质，故选项D符合题意． 2.（25-26七年级上·成都·校考期中）下列对图中的几何体的构成描述正确的是（    ） A．由长方体和圆锥构成 B．由圆柱和圆锥构成 C．由长方体和圆锥构成 D．由长方体和圆柱构成 【答案】B 【详解】解：观察图形可知：该几何体由由圆柱和圆锥构成．故选B． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 【答案】B 【详解】解：观察图片可知，粮仓的上半部分是一个有尖顶，侧面为曲面且从底面逐渐收缩到顶点的形状，这符合圆锥的特征，所以粮仓上半部分是圆锥； 粮仓的下半部分是一个上下底面为等大的圆形，侧面展开是一个长方形(曲面)的形状，这符合圆柱的特征，所以粮仓下半部分是圆柱；∴一座粮仓，它可以看作是由圆锥和圆柱几何体组成的；故选：B． 题型04 棱柱（棱锥）的特征 【例1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点．(2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)，(2)(3)二十四 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点，故答案为：，； （2）解：，答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面，四棱柱有个面， 五棱柱有个面，六棱柱有个面，， ∴棱柱有个面，当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱，故答案为：二十四． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】B 【详解】解：A．三棱柱有9条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； B．若为直四棱柱，其有4个侧面为长方形，共有12条棱，符合条件； C．三棱锥有6条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； D．四棱锥有8条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件．故选：B． 【例3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 【答案】9 【详解】该几何体可分为上下两个部分，上面部分有4个面，下面部分有5个面，共有9个面．故答案：9 常见错误 1. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数； 2. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若对一个几何体的特征有如下描述：①它有4个面是三角形；②它有8条棱．则这个几何体可能( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】D 【详解】解：n棱柱有条棱，棱数8不是3的倍数， 因此不能是棱柱，故选项A与选项B不符合题意， 三棱锥有个面是三角形，有6条棱，故选项C不符合题意， 四棱锥有4个面是三角形，有8条棱，选项D符合题意，故选：D． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】B 【详解】解：∵该几何体是三棱柱，∴底面是三角形，侧面是四边形，且有3个侧面，3条侧棱， 故B说法正确，A、C、D说法错误，故选：B． 3．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 【答案】12 【详解】解：设棱柱的底面边数为n，则总面数为．由题意，，解得． 棱柱的总棱数为．故答案为：12 4．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 【答案】六 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱共有条棱，∴，解得，故它是六棱柱；答案为：六． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 【答案】12 【详解】解：由顶点数8得，解得，故棱数为．故答案为：12． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个棱锥共条棱，则这是个_________棱锥． 【答案】五 【详解】解：设棱锥的底面边数为，则总棱数为．由题意，得，解得． 因此这是个五棱锥．故答案为：五． 题型05 几何体中的顶点、棱、面（欧拉公式） 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是，故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面，∴这个棱柱是五棱柱，故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得，解得：，故该多面体的面数为10． 必记结论 1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个； 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：，∴，∴，∴．故选A． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为，故答案为：． 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8，∴．∴， ∵该多面体一共有有30条棱，∴，∴，即这个多面体的面数为12． 题型06 棱柱相关计算 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，若一个正n棱柱有8个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长为，则它的一个侧面积为_______． 【答案】60 【详解】解：该正n棱柱有8个面，有6个侧面，即有6条侧棱． 所有侧棱长的和为，每条侧棱长． 底面边长为，它的一个侧面的面积为，故答案为：60． 【例2】（25-26七年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，该棱柱的侧棱数为∴每条侧棱的长，故选：C． 常见错误/必记结论 表面积漏算/多算底面看清题目：有无盖、是否空心；常规棱柱必须加2 个底面； 混淆 “棱柱的高”直棱柱中：侧棱长 = 几何体的高，计算体积、侧面积都用这个高； 单位不统一计算前统一长度单位（cm、m、dm），面积、体积单位对应。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）底面各边都相等的直六棱柱，底面边长为，高为．这个棱柱侧面积是__________． 【答案】60 【详解】解：，∴这个棱柱侧面积是，故答案为：60． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 【答案】224 【详解】解：这个直七棱柱的每一个侧面都是长为，宽为的长方形， 所以这个直七棱柱的侧面的面积之和为，故答案为：224． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 【答案】D 【详解】解：（厘米），答：横放时液体高厘米．故选：D． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， ∴每条侧棱的长为．故选：C． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是_______，体积是_______． 【答案】 【详解】解：余下部分的体积：；表面积：； 答：余下部分的表面积是，体积是． 题型07 圆柱（圆锥）相关计算 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    【答案】/ 【详解】解：由题知，零件的体积．故答案为：． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）以长方形边为轴旋转一周，形成一个圆柱（图①），如果将圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形（图②），这个平行四边形的面积是______平方厘米． 【答案】37.68 【详解】解：（平方厘米）， 答：这个平行四边形的面积是37.68平方厘米．故答案为：37.68． 常见错误/必记结论 公式：圆柱V=πr2 h， 圆锥 V=πr2h 找对应量：确定旋转半径r与高h（旋转轴方向长度），代入公式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东·校考期末）如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为，由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 2．（24-25七年级上·山西·期末）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高，直立放置于水桶底面上，此时水桶内的水面高度为．若水桶的底面直径为，铁柱的底面直径为．现将铁柱取出，则水桶内的水面高度变为________．（不计桶的厚度及水的损失） 【答案】 【详解】铁柱取出前，水的体积为：， 铁柱取出后，水铺满整个圆桶地面，即此时水柱的底面积等于圆桶的底面积， ∴此时水面高度为：，故答案为：． 3．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：，下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：，故答案为：． 题型08 点、线、面、体之间的动态关系 【例1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【答案】点动成线，线动成面 【详解】解：枪尖可看作点，点运动形成线，因此“枪挑一条线”对应点动成线； 棍可看作线，线运动形成面，因此“棍扫一大片”对应线动成面． 【例2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 【答案】C 【详解】解：硬币是圆面（面），快速转动时该面的运动形成球体（体），这种现象反映的数学原理是面动成体，故选：C． 常见错误/必记结论 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移） 【小试牛刀】 1．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 2．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 3．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 【答案】D 【详解】解：A．流星划过夜空留下光迹，反映的是“点动成线”，本选项正确，故不符合题意； B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面，反映的是“线动成面”，本选项正确，故不符合题意； C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体，反映的是“面动成体”，本选项正确，故不符合题意；D．铅笔在纸上写字留下笔画，反映的是点动成线，本选项错误，故符合题意；故选：D． 题型09 旋转体的相关概念 【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，且顶点在上方，选项C符合题意． 必记结论 1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。 2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。 3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。 4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西渭南·二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合；D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 2．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察平面图形可知，该图形是一个三角形，且有一条边在旋转轴l上， ∵ 三角形绕其一边所在直线旋转一周，上半部分边旋转形成圆锥侧面，下半部分边旋转形成圆锥侧面， ∴ 得到的立体图形是两个底面重合的圆锥． 3．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，该几何体是一个平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体是一个圆柱，上部分有一个凹进去的圆锥，故平面图形如下：故选：D． 题型10 旋转体的相关的运算 【例1】（25-26七年级上·河南·校考期末）观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形，故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为， 圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 【例2】（25-26七年级上·陕西·期末）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    【答案】 圆柱 或 【详解】解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱； 将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为， 体积为； 将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为， 体积为；故答案为：圆柱；或． 常见错误 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）； 注意分情况讨论：不同运动方向（旋转轴）产生不同图形，画草图辅助想象。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·陕西西安·期中）铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到；(2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2) 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的，故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积：， 答：该“粮仓”的体积为． 2.（24-25·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为______．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由题意可得：大圆柱的侧面积； 小圆柱的侧面积；大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积．故答案为：． 3．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)③(2) 【详解】（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故答案为：③； （2）解：该几何体的体积为． 4．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 【答案】或 【详解】解：将直角三角形绕4cm的直角边旋转，得到底面半径为3cm，高为4cm的圆锥， ∴，∴； 将直角三角形绕3cm的直角边旋转，得到底面半径为4cm，高为3cm的圆锥， ∴，∴；故答案为：或． 基础过关 1．（25-26七年级上·广西钦州·期末）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、几何体是圆锥，不是棱柱，不符合题意；B、几何体是球体，不是棱柱，不符合题意； C、几何体是圆柱，不是棱柱，不符合题意；D、几何体是棱柱，符合题意；故选：D． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是三棱柱，不符合题意；B、是圆柱，不符合题意； C、是四棱柱，符合题意；D、是三棱锥，不符合题意；故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释．故选：B． 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线，故选：A． 5．（25-26七年级上·天津河西·期末）一个铁球的哪个性质是几何领域要研究的问题（   ） A．铁球是坚硬的 B．铁球是银色的 C．这个铁球很重 D．从上面看，是圆形 【答案】D 【详解】解：几何学主要研究空间形式，如形状、尺寸和相对位置； ∵选项A铁球是坚硬的涉及物理性质（硬度），选项B铁球是银色的涉及光学性质（颜色）， 选项C这个铁球很重涉及物理性质（重量），均不属于几何研究； ∴选项D从上面看，是圆形描述铁球的形状，是几何领域要研究的问题．故选：D． 6．（25-26七年级上·北京·期末）下列立体图形中，是圆锥的是（   ） A．底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形 B．六个面都是正方形的立体图形 C．上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形 D．四个面都是三角形的立体图形 【答案】A 【详解】解：A、底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形，故该立体图形为圆锥，符合题意； B、六个面都是正方形的立体图形，故该立体图形为立方体，不符合题意； C、上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形，故该立体图形为圆柱，不符合题意； D、四个面都是三角形的立体图形，故该立体图形为四面体，不符合题意；故选：A 7．（25-26七年级上·辽宁·校考期末）观察如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：左边的图形中的矩形有两条边与直线平行，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是中空的圆柱体．选项D符合题意． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）凤翔陶罐（如图）是陕西凤翔地区传统的民间工艺品，具有悠久的历史和独特的艺术价值．将下列平面图形绕轴旋转一周，能形成如图所示凤翔陶罐形状的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项C中的图形，绕轴旋转一周能够得到凤翔陶罐的形状． 9.（25-26七年级上·广东·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ______． 【答案】①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面（答案不唯一） 【详解】解：由图可得：该几何体有六个顶点，有九条棱，有五个面，其中两个面是三角形，三个面是四边形，故答案为：①有六个顶点；②有九条棱；③有五个面． 10．（25-26七年级上·广西防城港·期末）有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 【答案】②③④⑦ 【详解】解：①线段是平面图形；②棱柱是多面体，属于立体图形；③圆锥是旋转体，属于立体图形； ④圆柱是旋转体，属于立体图形；⑤圆是平面图形；⑥三角形是平面图形； ⑦球是曲面体，属于立体图形；综上，属于立体图形的是②③④⑦．故答案为：②③④⑦ ． 11．（25-26七年级上·重庆·期末）一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形． 【答案】九 【详解】解：设底面边数为，则，解得，∴它的底面是九边形，故答案为：九． 12．（2025七年级上·成都·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点，∴该几何体模型可能是圆锥．故答案为：圆锥． 13．（25-26七年级上·广东深圳·校考期末）如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为，故答案为：． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为．(1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和；(3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)八，10，24；(2)(3)n棱柱共有个顶点，共有条棱 【详解】（1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 能力提升 15.（2025·新疆·模拟预测）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面，所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形，所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥．故选：D． 16．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 【答案】D 【详解】解：A、圆锥：由一个平面和一个曲面围成，此项正确；B、球：由一个曲面围成，此项正确； C、图1：有1个平面；图2：没有平面；图3：有2个平面；图4：有4个平面，此项正确； D、图1：有1个顶点；图4：有4个顶点，此项错误；故选：D． 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是________平方厘米． 【答案】190 【详解】解：立体图形的表面积为（平方厘米）；故答案为：190． 18．（25-26七年级上·江西抚州·期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是________． 【答案】7 【详解】解：设棱柱的底面边数为，则顶点数为，由题意得，解得， 所以是六棱柱，有条侧棱，所有侧棱长的和为，因此每条侧棱长为，故答案为： 19．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个多面体的顶点数有10个，面数有12个，那么它的棱有___________条． 【答案】20 【详解】解：根据题意得：顶点数棱数面数． 已知，，代入得，解得．故答案为：20． 20.（25-26七年级上·山东威海·期末）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：当绕和两边中点所在直线旋转一周时， 形成的几何体的表面积为：； 当绕和两边中点所在直线旋转一周时， 形成的几何体的表面积为：； 故形成的几何体的表面积为或； （2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， 得到的几何体的体积． 挑战一刻 21．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 22．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，是一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，若不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体的是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】D 【详解】解：A、因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体，不符合题意； B、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体，不符合题意； C、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆锥体，不符合题意； D、把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状，符合题意．故选：D． 23．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10(2)11；11；20；；；(3)； 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，；故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，；故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 24.（25-26七年级上·广东·期末）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体(2)小红的说法正确，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体，故答案为：圆锥；圆柱；面动成体； （2）解：小红的说法正确，理由如下： 甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等，∴小红的说法正确． 25．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)表格见解析，(2)这个多面体的面数为14 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 ，，； （2）解：由，得，这个多面体的面数为14． 26．（25-26七年级上·广东·校考期中）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5(2)21，50(3)正四面体 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱；②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个，表面积最小是．故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体．故答案为：正四面体． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 生活中的立体图形 预习目标 知识回顾 1.认识几何体（圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球）；并能对它们进行简单的分类； 2.熟练掌握棱柱的概念、特征（性质）、分类等； 3.进一步认识点、线、面、体，感受他们之间的关系； 4.经历从现实世界中抽象出图形的过程，会从构成图形的基本元素的角度认识常见几何体的特征。 1.了解长方体、正方体的基本特征；掌握其表面积、体积相关的运算公式； 2.了解圆柱、圆锥的基本特征；掌握其表面积、体积相关的运算公式（圆锥只掌握体积）； 3.会画出常见简单几何体的三视图。 新知导图 预习精讲 想一想 图1-1 图1-2 【思考1】 如图 1-1，在明明的书房中，哪些物体的形状与你在小学学过的几何体类似?这些几何体有哪些分类方法呢？ 【思考2】 如图 1-2，图中棱柱数量上的特点，请同学们完成下列表格 棱柱 面的个数 顶点个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 【思考3】根据【思考2】中的数据，探究棱柱的面的个数，顶点个数与棱的条数之间有何数量关系？ （欧拉公式） 知识点01 立体图形的认识 1. 立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形叫作立体图形，也叫作几何体。常见几何体有圆柱（图1）、棱柱（图2）、圆锥（图3）、棱锥（图4）、球（图5）、圆台（图6）、棱台（图7）等。 图1 图2 图3 图4 图5 图6 图7 【即学即练】 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，表示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）图中属于柱体的个数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（25-26七年级上·安徽六安·期末）下列几何体中，是棱锥的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26七年级上·四川成都·校考期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 5.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________；（2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 知识点02 柱体的相关概念及特征 1、柱体的相关概念：在柱体中，相邻的两个面的交线叫做棱（edge），相邻的两侧面的交线叫做侧棱。 2、棱柱的特征：（1）棱柱所有的侧棱长都相等；（2）棱柱上，下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；（3）侧面的形状都是平行四边形。 3、棱柱的分类：（1）根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱(如图 1.1-2)。 （2）长方体、正方体都是棱柱；（3）棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面都是长方形。 注意：本书中主要讨论直棱柱（简称棱柱）。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）元旦，小颖想给妈妈一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法，不正确的是（   ） A．它有9条棱 B．它有6个面 C．它的所有侧棱长都相等 D．它有6个顶点 2．（25-26七年级上·广西·期中）下列选项中，说法错误的是（   ） A．直三棱柱的侧面是长方形 B．长方体、正方体都是四棱柱 C．圆锥由一个平面和一个曲面围成 D．六棱柱有18条棱、8个侧面、12个顶点 3．（25-26七年级上·天津·阶段检测）一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是___________棱柱，这个棱柱有___________个侧面，共有___________条棱． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？(2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？(4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 5．（25-26七年级上·广东·校考期中）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有________个面，________条棱，________个顶点；n棱锥有________个面，________条棱，________个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为________． 知识点03 图形的构成及其关系 1、点、线、面、体的概念 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体； 面：包围着体的是面，面有平面和曲面两种； 线：面和面相交成线，线有直线和曲线； 点：线和线相交成点。 2、点、线、面、体的关系：点动成线；线动成面；面动成体。 注意：（1）几何图形中的点只有位置，没有大小；线只有长短，没有粗细；面只有大小，没有薄厚； （2）将一个平面图形旋转成立体图形需要明确旋转轴和旋转角度两个条件。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）下雨时汽车雨刷的运动过程，说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 2．（25-26七年级上·河南商丘·期末）非遗传承人在展示“糖画”技艺时，会将熔化的糖汁（可视为“流动的点”）在石板上快速勾勒，糖汁冷却后形成“龙”的轮廓线条（如图）．这一过程中，“流动的糖汁”到“轮廓线条”的转化，体现的数学原理是_________． 3．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 4．（2026·陕西咸阳·三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 题型速练 题型01 识别常见的立体图形 【例1】（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【例2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 必记结论 抓 “典型外形口诀”（背诵记忆，秒判断） 正方形：四方方，6 面一样强；长方形：长长方，对面一个样； 棱柱：两头平，侧面长方形，上下一般粗；棱锥：一个底，侧面三角形，头顶一个尖； 圆柱：上下圆，身子直又长；圆锥：一个圆，头顶尖尖尖；球：圆溜溜，到处滚不休。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，下列图形全部属于柱体的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，下列几何体中是棱锥的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 题型02 立体图形的分类 【例1】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【例2】（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 必记结论 常见的几何体分类方法（三种） （1）按形状分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球、台体（圆台、棱台）； （2）按围成几何体的面分类：有曲的面：圆柱、圆锥、球、圆台等；无曲的面：棱柱、棱锥、棱台等； （3）按有无顶点分类：有顶点：圆锥、棱锥、棱柱、棱台等； 无顶点：圆柱、球、圆台等。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·福建三明·期末）如图所示的图形中，柱体为__________（填序号）． 2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 题型03 组合型几何体的构成 【例1】（25-26七年级上·重庆·期末）组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 必记结论 按 “位置拆分” 上下结构：分开看上层、下层分别是什么图形； 左右 / 前后结构：分开看左侧、右侧； 多层堆叠：一层一层逐层拆解。 按 “外观特征” 区分单元 有正方形/长方形平面、棱角分明 → 正方体/长方体/棱柱； 出现圆形面、曲面→ 圆柱/圆锥；全曲面、圆形轮廓 → 球。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东滨州·期末）一个乒乓球有以下性质，其中属于几何性质的为（   ） A．材质 B．红色 C．有弹性 D．半径 2.（25-26七年级上·成都·校考期中）下列对图中的几何体的构成描述正确的是（    ） A．由长方体和圆锥构成 B．由圆柱和圆锥构成 C．由长方体和圆锥构成 D．由长方体和圆柱构成 3．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示的是一个粮仓的外形图，其可以近似看作是由两个常见几何体组合而成，这两个几何体是（　　） A．长方体和圆锥 B．圆柱和圆锥 C．圆柱和长方体 D．球和圆柱 题型04 棱柱（棱锥）的特征 【例1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点．(2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【例3】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）图中的几何体由___________个面围成． 常见错误 1. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数； 2. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）若对一个几何体的特征有如下描述：①它有4个面是三角形；②它有8条棱．则这个几何体可能( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）对于如图所示的几何体，下列说法正确的是(    ) A．几何体是三棱锥 B．几何体有3个侧面 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有6条侧棱 3．（25-26七年级上·四川巴中·期末）已知一个棱柱共有6个面，那么这个棱柱一共有______条棱． 4．（25-26七年级上·江西吉安·期末）如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 5．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为_____． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个棱锥共条棱，则这是个_________棱锥． 题型05 几何体中的顶点、棱、面（欧拉公式） 【例1】（25-26七年级上·成都·校考期末）综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 必记结论 1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个； 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 3．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 题型06 棱柱相关计算 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，若一个正n棱柱有8个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长为，则它的一个侧面积为_______． 【例2】（25-26七年级上·山东威海·期末）一个棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 常见错误/必记结论 表面积漏算/多算底面看清题目：有无盖、是否空心；常规棱柱必须加2 个底面； 混淆 “棱柱的高”直棱柱中：侧棱长 = 几何体的高，计算体积、侧面积都用这个高； 单位不统一计算前统一长度单位（cm、m、dm），面积、体积单位对应。 【小试牛刀】 1．（24-25七年级上·山东威海·期中）底面各边都相等的直六棱柱，底面边长为，高为．这个棱柱侧面积是__________． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 3．（25-26七年级上·成都·专题练习）如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（    ）． A．1.6 B．2 C．6 D．6.4 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，一个棱长为的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长是的正方体，求出剩余部分的表面积是_______，体积是_______． 题型07 圆柱（圆锥）相关计算 【例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是______．（结果保留）    【例2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）以长方形边为轴旋转一周，形成一个圆柱（图①），如果将圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形（图②），这个平行四边形的面积是______平方厘米． 常见错误/必记结论 公式：圆柱V=πr2 h， 圆锥 V=πr2h 找对应量：确定旋转半径r与高h（旋转轴方向长度），代入公式。 【小试牛刀】 1．（25-26七年级上·山东·校考期末）如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．（24-25七年级上·山西·期末）如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高，直立放置于水桶底面上，此时水桶内的水面高度为．若水桶的底面直径为，铁柱的底面直径为．现将铁柱取出，则水桶内的水面高度变为________．（不计桶的厚度及水的损失） 3．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 题型08 点、线、面、体之间的动态关系 【例1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为______． 【例2】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）硬币在桌面上快速地转动时看上去像球，这种生活现象可以反映的数学原理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交得到线 常见错误/必记结论 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移） 【小试牛刀】 1．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 2．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 3．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列现象对应的数学原理描述错误的是（   ） A．流星划过夜空留下光迹——点动成线 B．清洁玻璃时，刮窗器在玻璃上形成一个面——线动成面 C．长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，形成一个圆柱体——面动成体 D．铅笔在纸上写字留下笔画——线动成面 题型09 旋转体的相关概念 【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 必记结论 1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。 2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。 3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。 4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。 【小试牛刀】 1．（2026·陕西渭南·二模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，该几何体是一个平面图形绕虚线l旋转一周得到的，则该旋转平面图形是（   ） A． B． C． D． 题型10 旋转体的相关的运算 【例1】（25-26七年级上·河南·校考期末）观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【例2】（25-26七年级上·陕西·期末）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    常见错误 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）； 注意分情况讨论：不同运动方向（旋转轴）产生不同图形，画草图辅助想象。 【小试牛刀】 1.（25-26七年级上·陕西西安·期中）铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图．(1)该粮仓的示意图可以由图2中的图________旋转一周后得到；(2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 2.（24-25·广东深圳·期末）如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为______．（结果保留） 3．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 4．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，直角三角形ABC三边AB、BC、AC分别长4cm、3cm、5cm，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为_____． 基础过关 1．（25-26七年级上·广西钦州·期末）下列几何体中，是棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）下列小明的积木玩具抽象图中，是四棱柱的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 5．（25-26七年级上·天津河西·期末）一个铁球的哪个性质是几何领域要研究的问题（   ） A．铁球是坚硬的 B．铁球是银色的 C．这个铁球很重 D．从上面看，是圆形 6．（25-26七年级上·北京·期末）下列立体图形中，是圆锥的是（   ） A．底面为圆形，侧面展开是扇形，有一个顶点的立体图形 B．六个面都是正方形的立体图形 C．上下底面是全等的圆形，侧面是一个曲面的立体图形 D．四个面都是三角形的立体图形 7．（25-26七年级上·辽宁·校考期末）观察如图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）凤翔陶罐（如图）是陕西凤翔地区传统的民间工艺品，具有悠久的历史和独特的艺术价值．将下列平面图形绕轴旋转一周，能形成如图所示凤翔陶罐形状的是（    ） A． B． C． D． 9.（25-26七年级上·广东·期末）如图是一个几何体，请你描述这个几何体的特点（写出三点）： ______． 10．（25-26七年级上·广西防城港·期末）有下列图形：①线段，②棱柱，③圆锥，④圆柱，⑤圆，⑥三角形，⑦球，其中属于立体图形的是____________．（填序号） 11．（25-26七年级上·重庆·期末）一个棱柱有条棱，那么它的底面是______边形． 12．（2025七年级上·成都·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 13．（25-26七年级上·广东深圳·校考期末）如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 14．（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为．(1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和；(3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 能力提升 15.（2025·新疆·模拟预测）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 16．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）关于下列几何体，说法错误的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2由一个曲面围成 C．四个几何体中，含有平面最多的是图4 D．只有一个顶点的几何体是图1和图4 17．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个棱长为5厘米的正方体，在此正方体的上表面的正中间向下挖一个棱长3厘米的正方体小洞，接着在小洞底面的正中间再向下挖一个棱长1厘米的正方体小洞，最后得到的立体图形的表面积是________平方厘米． 18．（25-26七年级上·江西抚州·期末）一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是________． 19．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个多面体的顶点数有10个，面数有12个，那么它的棱有___________条． 20.（25-26七年级上·山东威海·期末）当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 挑战一刻 21．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 22．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，是一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，若不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体的是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 23．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 24.（25-26七年级上·广东·期末）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 25．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 26．（25-26七年级上·广东·校考期中）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $