专题14 有理数的乘方与有理数的混合运算-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

专题14 有理数的乘方与有理数的混合运算 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、有理数乘方的概念 4 题型2、有理数乘方的运算 5 题型3、乘方运算的符号规律 7 题型4、有理数乘方的逆运算及简算 8 题型5、偶次幂的非负性 9 题型6、有理数乘方的实际应用 10 题型7、有理数乘方的新定义问题 13 题型8、含乘方的有理数混合运算 15 题型9、有理数混合运算——程序框图 17 题型10、有理数混合运算——24点游戏 19 基础通关 20 拓展提优 26 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【思考2】(1)边长为a的正方形的面积为___________； (2)棱长为a的正方体的体积为___________； (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；其中叫做底数，叫做指数，叫做幂。 2．整数指数幂的符号规律 1）正数的任何次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意： ①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1； ②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有，一个数可以看作是这个数本身的1次方； ③指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方)．例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”)． ④指数n是正整数，底数a可以是任意有理数． ⑤书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些．如：，. ⑥在运算时要看清楚底数和指数到底是谁； ⑦带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算； ⑧乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来。 3．偶次幂具有非负性 任何一个数的偶数次幂都是非负数． 4．有理数的混合运算 1）有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算． 2）有理数混合运算的顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 例2．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 例3．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 例4．（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·河北石家庄·模拟预测）若k为正整数，则的意义为（   ） A．7个相加 B．12个k相加 C．4个相乘 D．7个相乘 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级上·山东滨州·期中）表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 变式4．（2024·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 变式5．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例3．（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 例4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）观察下列算式：……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 变式1．（23-24六年级下·上海静安·期中）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 变式4．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是 ． 变式5．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 例3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 例4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 变式1．（2024六年级下·上海·专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 变式2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 变式4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 题型4、有理数乘方的逆运算及简算 【解题技巧】性质： 例1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 例2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 例3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 例4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（   ） A． B． C． D． 例5．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 变式1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）立方等于64的数是 ． 变式2．（23-24七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，则的值不可能等于（    ） A． B． C．0 D．2 变式4．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 变式5．（23-24七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 题型5、偶次幂的非负性 【解题技巧】1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 例2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 例5．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 变式1．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知与互为相反数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·四川内江·期中）若，则 ． 变式3．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则 ． 变式5．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 题型6、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 例2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 例3．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 例4．（23-24七年级上·广东广州·期中）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 例5．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 例6．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）趣味题 阿凡提给地主打工，地主开价每月200元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我1角，第二天付给我2角，第三天付给我4角，第四天付给我8角，以此类推到月底即可"．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到200元工钱不必做到一个月．设最多只要n天，估算n的值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 变式6．（24-25七年级上·福建福州·期末）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是 ． 题型7、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 例2．（24-25七年级下·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 例3．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 变式1．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 变式2．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 变式3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确说法的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 变式4．（23-24七年级上·四川巴中·期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4． （1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______． （2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________． （3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)． （4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1） 变式5．（24-25七年级上·全国·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． 题型8、含乘方的有理数混合运算 【解题技巧】含乘方的有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 例3．（23-24七年级上·天津和平·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 变式1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 变式2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 变式4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 题型9、有理数混合运算——程序框图 【解题技巧】程序框图解题通用步骤： （1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 例1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 例2．（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 例3．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（　　） A．123 B．321 C．231 D．无法输出结果 变式2．（24-25八年级上·重庆·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是 ． 变式3．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 变式4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入、、这三个数时，这三次输出的结果分别是_______；_______；_______． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是? (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数? 题型10、有理数混合运算——24点游戏 【解题技巧】24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合。 例1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 例3．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 变式1．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 变式2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 变式3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．小飞抽到的4张扑克牌是：红色Q、黑色Q、红色A和黑色3，将这组扑克牌面上的数字楼成24或的算式是 （写出一个即可）． 1．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 2．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）式子表示的含义是（   ） A．6个2相乘的积的相反数 B．与6相乘的积 C．6与相乘的积的相反数 D．6个相乘的积 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）若为正整数，则的意义为（   ） A．3个相乘 B．5个相加 C．3个相加 D．8个相乘 5．（2024七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 6．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·一模）观察下列算式：，…，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 13．（23-24七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 14．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）若，则 ． 15．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 16．（2025九年级下·江苏泰州·专题练习）已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）一根1米长的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们熟悉的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如，．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一，例如，将二进制数10110转化为十进制数，可以得到下面的式子：．将二进制数1100101转化为十进制数为 ． 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 20．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 21．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 22．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 23．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 24．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 25．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 27．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 1．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）设表示数的个位数字．则（    ） A．400 B．450 C．500 D．550 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 6．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）． 7．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 9．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 有理数的乘方与有理数的混合运算 预习目标 1 新课轻松学 2 新知速通 2 题型探究 4 题型1、有理数乘方的概念 4 题型2、有理数乘方的运算 7 题型3、乘方运算的符号规律 13 题型4、有理数乘方的逆运算及简算 17 题型5、偶次幂的非负性 22 题型6、有理数乘方的实际应用 27 题型7、有理数乘方的新定义问题 34 题型8、含乘方的有理数混合运算 42 题型9、有理数混合运算——程序框图 49 题型10、有理数混合运算——24点游戏 55 基础通关 58 拓展提优 76 1. 理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2. 会求有理数的正整数指数幂； 3. 熟练掌握有理数混合运算（含乘方）顺序和法则； 4. 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心。 【思考1】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细|的面条。你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【思考2】(1)边长为a的正方形的面积为___________； (2)棱长为a的正方体的体积为___________； (3)这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法） (4)这种写法读作什么呢？ 【乘方的趣事】关于国际象棋的起源，有一个传说：在古时候， 在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋。为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“第1格放1粒小麦，第2格放2粒小麦，第3格放4粒小麦，然后是8粒、16粒、32粒…，一直到第64格……即每一个次序在后的格子中放的小麦都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子放满为止”。国王哈哈大笑，慷慨地答应了大臣的要求。然而，国王最终发现，按照与大臣的约定，全印度的麦子竟然连棋盘一小半格子数目都不够。大臣索要的麦粒数目实际上是天文数字，总数将是一个十九位数，折算重量约为2000多亿吨，即使现代，全球小麦的年产量也不过是数亿吨。 1. 有理数的乘方 乘方的概念：求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂。 乘方运算本质上是乘法运算，它是同一个因数连乘的简便形式。 一般地，个相同的乘数相乘，即，记作，读作“的次方”；其中叫做底数，叫做指数，叫做幂。 2．整数指数幂的符号规律 1）正数的任何次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0。 注意： ①除0以外的任何数的“0次幂”结果为1； ②乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有，一个数可以看作是这个数本身的1次方； ③指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方)．例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”)． ④指数n是正整数，底数a可以是任意有理数． ⑤书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些．如：，. ⑥在运算时要看清楚底数和指数到底是谁； ⑦带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算； ⑧乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来。 3．偶次幂具有非负性 任何一个数的偶数次幂都是非负数． 4．有理数的混合运算 1）有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算． 2）有理数混合运算的顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型1、有理数乘方的概念 【解题技巧】个相同的乘数相乘，记作，读作“的次方”；其中：叫做底数，叫做指数，叫做幂。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 例2．（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 例3．（2025·吉林长春·模拟预测）可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 例4．（2025·河南周口·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的定义，幂的乘方的运算，根据幂的定义化简即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：根据可得个相加，为， 可得个相乘，为， 计算的结果为， 故选：A． 例5．（2025·河北石家庄·模拟预测）若k为正整数，则的意义为（   ） A．7个相加 B．12个k相加 C．4个相乘 D．7个相乘 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的含义即可确定．熟练掌握幂的乘方的含义是解题的关键． 【详解】解：根据幂的乘方的含义，可得表示4个相乘， 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）（1）的底数是 ，指数是 ； （2）的底数是 ，指数是 ； （3）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 4 4 / 3 6 2 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． （1）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （2）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； （3）根据幂的形式特点得出的指数和底数即可． 【详解】解：（1）的底数是4，指数是4； 故答案为：4；4； （2）的底数是，指数是3； 故答案为：；3； （3）的底数是，指数是2． 故答案为：6；2． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键．求n个相同因数的积的运算叫作乘方，根据乘方的定义可解决此题． 【详解】解：， 故选：B． 变式3．（23-24七年级上·山东滨州·期中）表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示6个相乘的积． 故选B． 变式4．（2024·河北石家庄·一模）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 变式5．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 题型2、有理数乘方的运算 【解题技巧】有理数乘方的运算：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 例2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方．根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【详解】解：A、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； B、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； C、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； D、和，和的数值相等，本选项符合题意． 故选：D． 例3．（23-24七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 例4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）观察下列算式：……通过仔细观察，的末尾数字是（  ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 先找出7的幂的个位数字的排列规律，再计算求解． 【详解】解；观察等式知：的个位数字分别为：循环出现， ，， 的末尾数字是0， ∴的末尾数字是1， 故选：A． 例5．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 变式1．（23-24六年级下·上海静安·期中）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 变式2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘方，解题的关键在于掌握运算法则． 变式3．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 变式4．（23-24七年级上·吉林长春·期中）式子计算结果的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，根据的尾数恒为6，可知中每一项的尾数均为6，则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数，问题随之得解． 【详解】∵的尾数恒为6， ∴中每一项的尾数均为6， 则最后的结果的末尾数为2023个6相加的尾数， 即：， ∴位数是8， 故答案为：8． 变式5．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 题型3、乘方运算的符号规律 【解题技巧】1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。 例1．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 例2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 例3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 例4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若互为相反数，为正整数，则（   ） A．与互为相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，，为正整数， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b互为相反数， 当n为奇数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； C、a，b互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 变式1．（2024六年级下·上海·专题练习）任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 变式2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）①；②；③；④；⑤；⑥，其结果为正数的有几个（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算化简各数即可求解． 【详解】解：①是正数； ②，是负数； ③，是正数； ④，是负数； ⑤，是负数； ⑥，是正数， ①③⑥为正数．故选C． 【点睛】本题考查了相反数的意义，化简绝对值以及乘方的运算，正确的化简各数是解题的关键． 变式3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 变式4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 题型4、有理数乘方的逆运算及简算 【解题技巧】性质： 例1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 例2．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则的值为 ． 【答案】3或-3/-3或3 【分析】根据绝对值与平方的性质求出a、b，故可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，， 当时，． 故答案为：3或-3． 【点睛】此题主要考查乘方与绝对值的求解及有理数乘法，解题的关键是熟知乘方与绝对值的性质． 例3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 例4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，变形为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 例5．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）立方等于64的数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴立方等于64的数是4， 故答案为：4． 变式2．（23-24七年级上·重庆·期中）已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得，解得或 由可得或， 由可得 所以，或， ∴或 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，． 变式3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，则的值不可能等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，有理数的加法运算，根据题意，得到，分情况讨论进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当四个数均为时：； 当四个数均为时：； 当四个数中有1个时：； 当四个数中有2个时：； 当四个数中有3个时：； 故的值不可能等于：； 故选B． 变式4．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 变式5．（23-24七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 题型5、偶次幂的非负性 【解题技巧】1）常见非负数：≥0；≥0；2）根据非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 例2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，由，可分别求出a，b，c的值，根据边长可判断三角形的形状． 【详解】解：， ，，， ，，． ∴， 此三角形是等腰三角形． 故选：A． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【详解】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 例4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 例5．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知与互为相反数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值和偶次方非负性，根据互为相反数的概念、非负数的性质列式求出、，然后代入计算即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 变式2．（23-24七年级上·四川内江·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 变式3．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定．根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可． 【详解】解：， ，即的最小值是，故（1）正确； ，， 当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误； 的最大值是，故（4）正确；． 故选：B． 变式4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几个非负数全为零；根据此性质求得a的值与b的值，最后可求得结果． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式5．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 题型6、有理数乘方的实际应用 【解题技巧】此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。 例1．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 例2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据乘方的意义得出算式，求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 例3．（2025·安徽蚌埠·三模）中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【分析】本题主要考查乘方的应用，将相关数据代入，可得，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ ∴ ， ． 故答案为：800． 例4．（23-24七年级上·广东广州·期中）今年“十一”期间，广州部分公园举行游园活动，据统计，天河公园早晨时分有人进入公园，接下来的第一个分钟内有人进去人出来，第二个分钟内有人进去人出来，第三个分钟内有人进去人出来，第四个分钟内有人进去人出来．按照这种规律进行下去，到上午时分公园内的人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，掌握题目中人数的进出规律，列出算式是正确解答的关键． 【详解】解：从早晨时分，到上午时分共经历了个小时，即个“半小时”，因此进行次人员的进出，由进出人数的规律可得， 上午时分公园内的人数为： ， 故选：B． 例5．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 例6．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写作展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：．根据以上原则将转化为十进制， ．将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直至商为0，将所得的余数按照倒序从高位到低位排序即可，如右图的算法：则．根据以上原则，将23转换为二进制数表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：13；． 变式1．（2024七年级上·云南·专题练习）某种细胞每分钟分裂成3个，一个细胞经过3分钟分裂成27个，再继续分裂分钟后共分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义．熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义即得结论． 【详解】∵3分钟分裂了3次，再过分钟共分裂了次， 由题意可知，每分钟分裂成3个，3分钟分裂成个， ∴再过分钟后共分裂成了．故选C． 变式2．（2024七年级上·全国·专题练习）一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m，第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m， ……， 第次剪完后剩下铜丝的长度是m． 故答案为：C． 变式3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某图书馆把密码做成了数学题．小明在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化知识，乘方运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； 观察第一个式子，可以发现，，然后，接着，然后依次摆放得：．再按照此规律计算即可． 【详解】观察第一个式子，可以发现：①，②，③：得，④， 然后依次摆放得：．后面两个式子，规律也一样， 则①，②，③，④， 故密码是． 故选：B 变式4．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国际数学教育大会（）于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会会徽中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份（注：），则八进制数2024换算成十进制数是（   ） A．32 B．1044 C．253 D．16192 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方的运算，理解八进制数换算为十进制数的方法是解题的关键；根据题目中八进制数3745换算成十进制数的方法计算即可． 【详解】解：八进制数2024换算成十进制数： ， 故选：B 变式5．（2024七年级上·全国·专题练习）趣味题 阿凡提给地主打工，地主开价每月200元工钱，阿凡提却说：“不要，不要，你只要第一天付给我1角，第二天付给我2角，第三天付给我4角，第四天付给我8角，以此类推到月底即可"．地主听了暗暗高兴，赶快签下协议，其实阿凡提挣到200元工钱不必做到一个月．设最多只要n天，估算n的值是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，理解题意找到工钱增长的规律是解题的关键． 通过分析每天工钱的增长规律，利用乘方计算总工钱，再估算找到满足条件的天数． 【详解】解：∵第一天1角，即角； 第二天2角，即角； 第三天4角，即角； …… 以此类推，第天就是角， ∴做到第天共挣到的钱为， ∴第一天共挣到的钱为； 第二天共挣到的钱为； 第三天共挣到的钱为； 第四天共挣到的钱为； …… 由此可得第天共挣的钱, 又∵， ∴当天的时候，挣到的钱刚过2000角，即元， 故选：B． 变式6．（24-25七年级上·福建福州·期末）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110，111，11100，1101，转化成10进制为：14，07，28，13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题意，分别找出每行的代表二进制的数字，逐个转化成10进制，即可作答． 【详解】解：依题意，第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：， 则第二行代表二进制的数字1010，转化成10进制为： ； 则第三行代表二进制的数字11011，转化成10进制为： ； 则第四行代表二进制的数字10101，转化成10进制为： ； 则第五行代表二进制的数字1000，转化成10进制为： ； 将五行编码组合到一起就是“小张”的准考证号． 故答案为：． 题型7、有理数乘方的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（23-24七年级上·广东惠州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数，当时，都有；当时，都有． (1)求的值； (2)定义一种运算，就要研究它的运算律： ①求和的值； ②这个计算结果说明了这个运算满足 律． 【答案】(1) (2)①；；②乘法交换 【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键． （1）理解新定义运算，按照当时，都有，代值计算即可得到答案； （2）①理解新定义，根据新定义当时，都有；当时，都有分别计算和即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律． 【详解】（1）解：当时，都有， 当时，， ； （2）解：①当时，都有， 当时，， ； 当时，都有， 当时，， ； ②由上述计算结果可知，， 这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律， 故答案为：②乘法交换． 例2．（24-25七年级下·安徽·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据，知道和的值，可以求的值，如果知道和的值，可以求的值吗？他们为此进行了研究，并规定：若，那么．例如：，则．根据他们的研究结果，完成下列各题： （1）填空： ； （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解题的关键． （）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出，的值然后解题即可． 【详解】解：（）∵， ∴， 故答案为： （）∵，， ∴（负值舍去），， ∴， 故答案为：． 例3．（24-25九年级下·福建福州·开学考试）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 设，则，然后由即可求解． 【详解】解：设 ∴， 得： ∴，即， 故选：． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查新定义运算，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． （2）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得 ． （2）解：根据题意可得 ． 变式2．（2025·四川广安·模拟预测）一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且）如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有，给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个整数的平方，则，其中正确说法的有（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同即可． 【详解】解：①， （2）； 故①是正确的； ②，这几种分解中4和6的差的绝对值最小， ， 故②是错误的； ③，其中3和9的差的绝对值最小， ， 故③是错误的； ④是一个整数的平方， ∴设n＝a2（a为整数）， ∵a和a的差为绝对值最小的数0， ∴， 故④是正确的． 正确的有①④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了新定义“最佳分解”，读懂题目信息，理解“最佳分解”的定义是解题的关键． 变式4．（23-24七年级上·四川巴中·期中）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L2(8)，则L2(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为La(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L3(81)=4． （1）下列各“劳格数”的值：L2（4）=______，L2(16)=______，L2(64)=______． （2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L2（4），L2(16)，L2(64)满足关系式________． （3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？La(M)+La(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)． （4）据上述结论解决下列问：已知，La（3）=0.5，求La(9)的值和La(81)的值．（a＞0且a≠1） 【答案】（1）；（2）L2（4）+L2(16)=L2(64)；（3）；（4） 【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值； （2）由（1）的结论直接得出结果； （3）根据定义归纳出一般性的结果； （4）根据（3）的结论进行计算即可． 【详解】（1） L2（4）=2，L2(16)=4，L2(64)=6 故答案为： （2） L2（4）+L2(16)=L2(64) 故答案为：L2（4）+L2(16)=L2(64) （3）设 则 即La(M)+La(N)= La(M N) 故答案为： （4） La（3）=0.5 【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键． 变式5．（24-25七年级上·全国·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，他类比“乘方”定义出“除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如记作，记作． (1)直接写出计算结果： (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①； ②； ③对于任何正整数n，都有 ； ④对于任何正整数n，都有． (3)小明发现“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数），要求写出推导过程，将结果写成幂的形式（结果用含a，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)② (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键． （1）根据“除方”的定义，直接计算即可； （2）根据“除方”的定义，可判定①②；分别取与，计算出结果，两者的结果不相等，则可判定③与④均错误； （3）根据“除方”的定义，把除法转化为乘法运算，即可得到乘方的运算结果； 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， 而，即， 故①错误； ， 故②正确； 当时，；当时，， ∴对任何正整数n，都有的说法错误， 故③错误； 当时，；当时，， ∴对任何正整数n，都有的说法错误； 故④错误； 故答案为：② （3）解：当时，． 题型8、含乘方的有理数混合运算 【解题技巧】含乘方的有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)15 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 例2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先进行括号内计算，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（23-24七年级上·天津和平·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）根据乘法分配律简便计算． 【详解】（1）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （2）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （3）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （4）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握各种运算的法则及运算顺序是关键，注意符号不要出错． （1）先计算乘方，然后根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）将除法转化为乘法进行计算即可求解； （3）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，即可求解； （4）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 变式2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）利用有理数的运算顺序，先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加减即可； （4）利用有理数的运算顺序，先算乘方和绝对值，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式            ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 变式3．（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 变式4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【答案】 【分析】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确利用分数的性质化简是解题关键． 题型9、有理数混合运算——程序框图 【解题技巧】程序框图解题通用步骤： （1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 例1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为2时，求最后输出的结果y是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，先把代入计算，若结果不大于1，则把结果作为新数输入计算，如此反复直至计算的结果大于1并输出，据此求解即可． 【详解】解： ， 把1作为新数输入时， ， ∴输出的结果为， 故选；A． 例2．（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算；把代入代数式求值，与 244 比较，若大于 244 ，就停止计算，若结果没有大于 244 ，重新计算直至大于 244 为止． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：，则停止； 故选：B． 例3．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 例4．（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（　　） A．123 B．321 C．231 D．无法输出结果 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算程序是解答本题的关键． 将代入，观察结果，如果大于100就输出，如果不超过100，就将结果的值给x再代入，直到结果大于100即可输出． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴开始输入的值为，则最后输出的结果是231， 故选：C． 变式2．（24-25八年级上·重庆·期中）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入的值是4，则第一次输出的结果是5，第二次输出的结果是8， ，那么第2024次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，通过计算发现，从第二次开始，运算结果，，循环出现，由此可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当输入时，第一次输出， 当输入时，第二次输出， 当输入时，第三次输出， 当输入时，第四次输出， 当输入时，第五次输出， 当输入时，第六次输出， ， 由此可知，从第二次输入，输入三次一个循环， ∵， ∴第次输出的结果为：， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 变式4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器） (1)当小明输入、、这三个数时，这三次输出的结果分别是_______；_______；_______． (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是? (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数? 【答案】(1)，，； (2)(为自然数)； (3)不可能输出负数． 【分析】（）先判断出与的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的倍数，据此即可求解； （）根据绝对值的性质和倒数的定义即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是审清题意，理解运算程序． 【详解】（1）解：∵， ∴输入时的程序为：， ∴的相反数是，的倒数是， ∴当输入时，输出； ∵， ∴输入时的程序为：， ∴的相反数是，， ∴当输入时，输出； ∵， ∴输入时的程序为：，的相反数是，的倒数是， ∴当输入时，输出； 故答案为：，，； （2）解：∵输出数为，的相反数及绝对值均为，当输入的倍数时也输出， ∴(为自然数)； （3）解：由图表知，不管输入正数、或者负数，输出的结果都是非负数， ∴不可能输出负数． 题型10、有理数混合运算——24点游戏 【解题技巧】24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合。 例1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 例3．（24-25七年级上·山东威海·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 变式1．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 变式3．（24-25六年级上·山东青岛·期中）从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．小飞抽到的4张扑克牌是：红色Q、黑色Q、红色A和黑色3，将这组扑克牌面上的数字楼成24或的算式是 （写出一个即可）． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·广东梅州·期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 2．（24-25七年级上·云南玉溪·期末）式子表示的含义是（   ） A．6个2相乘的积的相反数 B．与6相乘的积 C．6与相乘的积的相反数 D．6个相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘方的意义，根据乘方的定义即可求出答案． 【详解】解：式子表示的含义是6个2相乘的积的相反数， 故选：A． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 4．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）若为正整数，则的意义为（   ） A．3个相乘 B．5个相加 C．3个相加 D．8个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的定义．根据幂的定义：n个a相乘写作，读作a的n次方或a的n次幂，直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 表示3个相乘， 故选：A． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 6．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 7．（2024·湖北武汉·一模）观察下列算式：，…，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的尾数，找到这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【详解】解：∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∵，，，，，，，， ......， 以此类推，这一列数的其结果的末位数字每次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵ ∴的末尾数字与的尾数相同为， ∴的末位数字是：． 故选：D． 8．（23-24七年级上·全国·课堂例题）有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方运算、求一个数的绝对值，即可一一判定． 【详解】解：， ，， 与 大小不能确定，， 故A、C、D不成立，B成立， 故选：B． 【点睛】本题考查了乘方运算、求一个数的绝对值，熟练掌握和运用乘方运算的符号问题及求一个数的绝对值法则是解决本题的关键． 10．（23-24七年级下·浙江台州·期中）a，b互为相反数，，n为自然数，则下列叙述正确的有（    ）个 ①互为相反数                ②互为相反数 ③互为相反数               ④互为相反数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的定义，负数的偶次方为正，奇次方为负，正数的任意次方都为正，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，a≠0，n为自然数， ∴-a，-b互为相反数，故①说法正确； 当n是奇数时，an与bn互为相反数，当n为偶数时，an与bn相等，故②说法错误； a2n与b2n相等，故③说法错误； a2n+1，b2n+1互为相反数，故④说法正确； 所以叙述正确的有2个． 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数以及有理数的乘方，用到的知识点是正数的任何次是正数，负数的偶次幂是正数，奇数次幂是负数． 11．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 13．（23-24七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 14．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方和绝对值的非负性，有理数的乘方，熟知绝对值和偶次方的非负性是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性． 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则， ∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 16．（2025九年级下·江苏泰州·专题练习）已知一张纸的厚度为，假设连续对折始终是可能的．小明将该纸片连续对折6次，则纸的厚度为 ． 【答案】5.76 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解对折后厚度变为原来的2倍是解题的关键． 根据对折后纸的厚度变为原来的2倍，计算即可得解． 【详解】解：对折6次后的厚度为， 故答案为：5.76． 17．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）一根1米长的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次截去后剩下的木棒的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查乘方的应用，根据题意和乘方的意义可知，第n次截去后剩下的木棒的长度为米，由此可解． 【详解】解：第一次截去后剩下的长度为米， 第二次截去后剩下的长度为米， 第三次截去后剩下的长度为米， …… 以此类推，第五次截去后剩下的木棒的长度是米， 故选D． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在日常生活中，我们熟悉的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如，．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一，例如，将二进制数10110转化为十进制数，可以得到下面的式子：．将二进制数1100101转化为十进制数为 ． 【答案】101 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．根据二进制和十进制的互换规则即可解答． 【详解】解：二进制数1100101转化为十进制数是， 故答案为：101． 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键，根据新定义运算的含义列式：，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 20．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）数学兴趣小组在合作学习过程中，获得知识的同时，也提出新的问题，例如：若对于正整数，，有，那么称为的劳格数，记为（，为正整数），例如：，则． 根据他们的研究结果，完成下列各题： (1)填空：______，______； (2)计算：______； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的加法运算等知识点，理解劳格数的定义并正确的列式计算是解题的关键． （1）根据劳格数的定义即可求出答案； （2）根据劳格数的定义列式计算即可； （3）根据劳格数的定义先求出，的值，然后再求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为∶，； （2）解：，， ，， ， 故答案为∶； （3）解：， ， ， ， 为正整数， ， ． 21．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一般地，个相同因数相乘：记为．如，此时叫做以为底的的对数，记做（即）．根据上述定义，计算的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的乘方运算，根据对数的定义计算即可，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 22．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 23．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方，再计算乘方即可； （5）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 24．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算程序的要求进行计算，到符合要求时输出结果． 【详解】解：第一次输入，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 应输出， 输出结果为． 故选：A ． 25．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 26．（24-25七年级上·北京大兴·期中）“24点”游戏是一种使用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色分别代表11，12，13，红色分别代表．某同学抽到红桃3、方块6、黑桃2、梅花4等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出一个运算结果为24的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意数字的正负，先确定四个数分别为：、、2、4，由于答案不唯一，列出一个算式即可． 【详解】红桃3代表、方块6代表、黑桃2代表2、梅花4代表4， 运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 27．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则，能够通过推理求出x、y的值是解题的关键． 由题意可知，则，再根据，，，有三个结果恰好相同，则或，分两种情况：（1）当时，由可得，解得，从而求得，代入计算即可求解；当时，由可得，解得，从而求得当时，则，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ∵，，，有三个结果恰好相同， 或， 因此，分以下两种情况： （1）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； （2）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； 综上，的值为， 故选：B． 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）设表示数的个位数字．则（    ） A．400 B．450 C．500 D．550 【答案】B 【分析】根据表示数的个位数字，先对前面的数字按要求计算得到的数字规律，再利用规律将化简为代值求解即可得到答案． 【详解】解：表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， … 根据以上数字呈现的规律，表示数的个位数字，每个一循环， ， 故选：B． 【点睛】本题考查数字规律类问题，涉及乘方运算、有理数加法及乘法运算，读懂题意，找寻的数字规律是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 ，则整数的值为 【答案】或或． 【分析】本题主要考查乘方的意义，当时，可得：，其中，，可得成立；当时，，根据任何不为的数的次幂为，可知成立；当 时，，其中，  ，根据，，可知成立． 【详解】解：， 当时， 解得：， 此时， 其中，， ， 成立； 当时，， 其中，， ，， 成立； 当 时，， 其中，  ， ，， 成立． 综上所述，整数解为或或． 4．（23-24七年级上·广东广州·期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数，则这个数a的个位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，发现连续正整数立方的和的运算和连续正整数和的平方的运算规律是解题的关键．利用求解即可． 【详解】解：， 即， ， ， ， 的个位数字为9，的个位数字为4， 的个位数字为6， 故的个位数为6， 故选：． 5．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 6．（23-24七年级上·广西南宁·开学考试）． 【答案】42925 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可．注意公式：，． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，设，则，据此可求出，进一步可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 9．（24-25七年级上·北京西城·期中）如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时， ；当时， ； (2)若输出的值为，则输入的为 ； (3)若是自然数，请写出的所有可能值 ． 【答案】(1)， (2)（） (3)，，， 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， 不大于， 取相反数，得：， 不大于， 取绝对值，得：， 当时，； 当时， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 大于， 加，得：， 不大于， 取相反数，得：， 大于， 取倒数，得：， 当时，； 故答案为：，； （2）解：根据这个数字传输器的工作原理，可知： 若输出的值为， 没有倒数， 是取绝对值而来， 取绝对值之前的值是：， 又是取相反数而来， 取相反数之前的值是：， 是输入的经过若干次加而来， 即：（）， （）， 故输入的为：（）， 故答案为：（）； （3）解：根据这个数字传输器的工作原理，通过验证、分析、总结，可以发现： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 当（）时，， 若是自然数，则的所有可能值为：，，，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$