26.4 实际问题与二次函数 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在实际问题中的应用，涵盖最大高度、面积、利润及抛物线形问题，通过抛小球、销售、拱桥等实例导入，衔接二次函数性质，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理求解最值，如最大面积问题中结合墙长限制确定自变量范围。归纳解题步骤并配巩固练习，培养模型意识与应用能力，助力学生掌握方法，也为教师提供结构化教学资源。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 最大高度和最大面积问题 学习目标 学习重难点 能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 难点 重点 （1）分析实际问题中变量之间的二次函数关系. （2）会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. （3）能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题. 导入新知 知识点 二次函数与几何图形面积的最值 ① 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点. 也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 4 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 5 归纳 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，也就是说当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c有最小（大）值 . 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 典型例题 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) h=-4.9t2+2.8t+11,当 解：对于二次函数 当t=-=-0.3时， h有最大值==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的 边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x), 即S=-2x2+20x（0＜x＜10）. 当x=-=-=5时， S 有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形 菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 变式 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积为S m2 ， 得(0< l ≤18),即 S=(0<l ≤18). 二次函数 S= 的对称轴为 ， 因为0<l ≤18，所以l=18 时，S取得最大值， 即当矩形的长为21 m，宽是18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为378 m2. 当 l<30 时，S 随 l 的增大而增大， 归纳1 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，厘清题意. 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 归纳2 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 巩固练习 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一条直角边为 x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S． 根据题意，得 配方，得 所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8． 12 随堂演练 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 . 2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °, AB=12cm, BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 图1 A B C P Q 图2 3 13 3.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面 积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 课堂小结 最大高度、最大面积问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定 15 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 学习目标 学习重难点 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围. 难点 重点 （1）能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. （2）弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围. 导入新知 知识点1 利润问题中的数量关系 ① 探究 销售问题中的数量关系： (1)销售额= 售价×销售量； (2)单件利润=售价-进价； (3)利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：若调整单价（单价为整数），每涨价 1 元，则每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，则每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 销售模式：降价或涨价都可以哦！ 18 知识点2 如何定价利润最大 ① 探究 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？ 模式一：涨价销售 ①每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为 y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6 000. 19 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6 000， 当 时，y=-10×52+100×5+6 000=6 250. 即定价为65 元时，最大利润是 6 250 元. 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40元，如何定价才能使利润最大？ 模式二：降价销售 ①每件降价x元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为 y=(20-x)(300+20x), 即y=-20x2+100x+6 000. 探究 ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x ≥0，且 x ≥0,因此自变量的取值范围是 0 ≤x ≤20. ③涨价多少元时，利润最大，是多少？ y= -20x2+100x+6 000，当 时, 即定价为 57.5 元时，y= - 20×(2.5) 2+100×2.5+6 000=6 125,最大利润是 6 125元. 综合涨价和降价两种情况可知，定价为65 元时，利润最大. 归纳 求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”. (2)结合实际意义，确定自变量的取值范围. (3)在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 1.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件． （1）请写出y 与x 之间的函数表达式； （2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获 利润2 250 元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最大，最大值是多少？ 解：（1）y=50- . （2）由题意得 （40 ＋ x）=2 250，解得x1=10，x2=50，因为x+40 ≤ 60，所以x ≤ 20，所以x=10. （3）w= （40+x）= - （x-30）2+2 450，因为 - <0，所以当 x<30 时，w 随x 的增大而增大. 因为0<x ≤ 20，所以x=20 时，w最大值=2 400． 巩固练习 y=(160+10x)(120-6x) 2.某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间，则 当x=2时，y有最大值，且y最大=19 440. 答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入 最高，最大收入为19 440. =－60(x－2)2+19 440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元). 25 随堂演练 1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 26 3. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ x y 5 16 O 7 解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10, ∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元； (2)由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出. 28 第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形问题 学习目标 学习重难点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 难点 重点 （1）掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． （2）利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． （3）能运用二次函数的图象与性质进行决策． 课时导入 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，最大利润问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”形问题. 导入新知 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线形问题 ① 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m. 突降暴雨后水面上升1 m时，此时水面宽度为多少？ 分析： (1) 建立合适的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 探究 32 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式， 可得-4=a × 52.解得a =. 因此，这条抛物线对应的二次函数 为y=x2. 当水面上升1m时，水面的纵坐标为-3. 所以当y=3时，x=， 因此，此时水面宽度为 m. 33 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ y O (5,1) (-5,1) 水面 x (0,5) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+5. 将点(-5，1)代入解析式， 可得1=a×(-5)2+5.解得a =. 因此，这条抛物线对应的二次函数为y=x2+5. 水面下降一米，即此时y=0，即x2+5=0，解得x=， 因此，此时水面宽度为 m. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式; (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上. 归纳 知识点2 利用二次函数解决运动中抛物线形问题 ② 如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式. (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说 明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范 围是多少? (1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出, ∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2), ∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - , 故y与x的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6. (2)当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网; 当y=0时, - (x-6)2+2.6=0, 解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),故会出界. 解： (3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点 (0,2), 代入解析式得 此时二次函数解析式为y=- (x-6)2+ , 此时球若不出边界，则h≥ ； 当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43), 抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得 此时球要过网，则h≥ , 故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥- . 归纳 解决抛物线形运动问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解决问题. 巩固练习 飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时t(单位：s)的函数解析式是 y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中，最后 4 s滑行的距离是 m. 24 解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600， 当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20 s时，滑行距离为600米． 因此 t 的取值范围是0≤t≤20， 当t=16时，y=576， 所以最后 4 s滑行的距离是600-576=24(m)． 40 随堂演练 1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为 y 米，x，y 满足 y=ax2+bx，其中 a，b 是常数，且 a≠0.若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是第______秒. 解：∵x取6和14时y的值相等， ∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x==10， 即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒． 10 41 2. 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s. 4 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位： s)之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s.其中正确的是(　　) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ D 2题图 3题图 42 Administrator (A) - 4.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5，∵抛物线过点(1,0), ∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m) ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160m. 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线形问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 44 （50-） （50-） $