26.4　实际问题与二次函数第3课时课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”中的实物抛物线问题，通过情境引入日常生活中的拱形洞、桥梁等实例，引导学生思考如何用二次函数解决。衔接此前二次函数图象与性质的知识，以建立坐标系转化问题为支架，帮助学生形成从理论到应用的认知脉络。 其亮点在于突出转化思想与模型意识，通过拱桥水面宽度计算、游船安全通过等实例，培养学生几何直观与推理能力。采用例题解析、反思感悟（如坐标系建立技巧）、跟踪训练及随堂演练，小结明确解决步骤。助力学生发展抽象能力与应用意识，教师可借助清晰实例提升教学效率。

第3课时　其他问题——实物抛物线等 第二十六章　26.4　实际问题与二次函数 2026-2027学年人教版数学九年级上册 学习目标 1.能利用二次函数解决与实物抛物线有关的实际问题.(重点、难点) 2.在利用二次函数解决实际问题的过程中，体会利用二次函数刻画现实生活的意义，加深对二次函数的图象和性质的理解，提高建立数学模型的能力与数学的应用意识. 情境引入 日常生活中经常见到实物抛物线问题，如拱形洞、桥梁、隧道等建筑的外形，那么怎样用二次函数的知识解决这些问题呢？本节课将学习这个内容. 利用二次函数解决实物抛物线问题 知识梳理 利用二次函数解决实物抛物线问题，基本方法仍然是转化，即根据实物抛物线中的已知条件建立二次函数模型，通过解决二次函数问题，使实际问题得到解决. 例　(课本P53“探究2”改编)一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m. (1)求拱桥所在的抛物线的解析式； 解　以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图. ∴设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0). 根据题意，得AB=10 m，OC=4 m. ∴AC=BC=5 m，则点B的坐标为(5，-4). 把点B的坐标代入y=ax2，得-4=a·52，解得a=-. ∴这条抛物线表示的二次函数为y=-x2. (2)突降暴雨后水面上升1 m，此时水面宽为多少？ 解　根据题意，得CF=1 m. ∴OF=OC-CF=4-1=3(m). 设点E的坐标为(n，-3). 把点E的坐标代入y=-x2，得-3=-·n2，解得n=±. ∵点E在第四象限， ∴n=-不符合题意，舍去. ∴EF=n= m，则DE=2EF=5(m). 即此时水面宽为5 m. 反思感悟 本题的求解过程中有两个关键环节：一是由于题目中没有平面直角坐标系且(2)中所得的结果与平面直角坐标系的位置无关，所以建立的平面直角坐标系应方便于问题的求解，如本题，此时得到的二次函数解析式最简单，则有效地减小了后续解题的运算量；二是建立如图所示的平面直角坐标系后，某些点的坐标可能会出现负值. 跟踪训练　如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米. (1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接； 解　以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示. (2)结合(1)中所画图象，求出该抛物线表示的二次函数； 解　A(0，0)，B(12，0)，根据交点式，设抛物线表示的二次函数为y=a(x-0)(x-12)=ax2-12ax(a≠0)， 代入点C(6，4)，得36a-72a=4，解得a=-， 所以抛物线表示的二次函数为y=-x2+x. (3)现有一游船(截面为矩形)宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥. 解　能安全通过，理由如下： 当游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为直线x=6，游船也关于直线x=6对称， 宽度为4米，对称轴左右两边各2米， 当x=6-2=4时，y=-×42+×4=， 因为-0.5=>2.8， 故该游船能安全通过. 课堂小结 1.如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为y=-x2.当水面到桥顶的距离OH为4 m时，水面的宽度AB为 A.4 m B.8 m C.10 m D.12 m 随堂演练 √ 随堂演练 解析　根据题意点B的纵坐标为-4，把y=-4代入y=-x2， 解得x=±4， ∴A(-4，-4)，B(4，-4)， ∴AB=4-(-4)=8(m). 2.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=x2+6的一部分，则杯口的口径AC长为 A.6 B.7 C.8 D.9 随堂演练 √ 随堂演练 解析　∵OD=13， ∴点D的坐标为(0，13)， 当y=13时，x2+6=13， 解得x=±， ∴A，C， ∴AC=-=7. 3.山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产能，又增加了村民的经济收入.如图，这是某蔬菜大棚的截面图(近似看成二次函数的图象——抛物线)，其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径OA=12 m，顶端C到墙体BO的距离为4 m，顶端C到OA的距离为6 m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为 A.3 m B. m C.4 m D. m 随堂演练 √ 随堂演练 解析　由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+6(a≠0)，点A的坐标为(12，0)，将A(12，0)代入得(12-4)2·a+6=0，解得a=-，则抛物线的解析式为y=-(x-4)2+6，将x=0代入，解得y=，则OB= m. 4.如图为某抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米.如图建立平面直角坐标系，如果水面上升3米，那么水面宽度减少______米.  随堂演练 4 随堂演练 解析　根据题意，抛物线的顶点为(4，4)， 设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+4，抛物线过原点， 故当x=0时，y=a(0-4)2+4=0，解得a=-， ∴y=-(x-4)2+4. ∴当水面上升3米时，令y=3，得-(x-4)2+4=3. 解得x=2或x=6. ∴此时水面宽为6-2=4(米)， ∴水面宽度减少8-4=4(米). 谢谢观看 $