专题02 方程（组）与不等式（组）（6大考点）（河北专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 初中数学二模方程与不等式专题汇编，融合《孙子算经》、新能源汽车充电等真实情境，突出应用能力与创新思维考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|一元一次方程应用（如《孙子算经》测量问题）、不等式性质（数轴表示）|情境具文化性与时代性| |填空|约5题|二元一次方程组（矩形草坪规划）、分式方程（漏壶计时）|注重数学建模| |解答|约10题|一元二次方程根与系数关系、不等式组综合应用（数字创作积分）|分层设计，综合考查运算与推理|

专题02 方程（组）与不等式（组） 考点概览 考点01一元一次方程的应用问题 考点02解二元一次方程组的应用 考点03一元二次方程根与系数关系的应用 考点04一元二次方程根的判别式 考点05分式方程及其应用 考点06一元一次不等式（组）的应用 一元一次方程的应用问题 考点01 1．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北廊坊·二模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一道有趣的题，其大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长（一尺等于十寸）？设木头长x尺，则下列说法正确的是（    ） A．依题意所列方程为 B．依题意所列方程为 C．木头长10.5尺 D．绳子长6.5尺 3．（2026·河北廊坊·二模）汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（     ） A．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C．依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D．依题意可列方程，解得牛价为4600钱 4．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 6．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 7．（2026·河北邯郸·二模）为参加学校举办的“机器人大赛”，嘉淇组装了一款智能送餐机器人，并计划在长度为100m的路面AB上试验该机器人的运行情况，为方便观察，嘉淇站在与起点A距离的点处．如图，该机器人从点A出发，先以的速度运动到点，接着以的速度运动到终点．设机器人运动的时间为，距离观察点的距离为． (1)在机器人从点运动到点的过程中，求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）； (2)若该机器人的视野范围只有（向前看或向后看），求从机器人刚发现嘉淇到嘉淇离开机器人的视野范围共花费了多长时间； (3)当机器人从点出发时，一个用于拍摄机器人前进情况的电子眼同时从点出发，以的速度匀速向点行进，在（2）的条件下，当电子眼恰好进入机器人的视野范围时，求机器人还有多久可以到达终点． 8．（2026·河北石家庄·二模）“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． 表1 表2 表3 4 2 1 8 ？ 3 0 5 4 根据题意回答： (1)表1三阶幻方中间的数字是_____； (2)设表2三阶幻方中间的数字是， ①用含的代数式表示幻方中9个数的和； ②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍； ③求第一行中间的代数式； (3)类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求． 9．（2026·河北保定·二模）某学校开展数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类”和“文案类”任务，每次只完成其中一种任务．任务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同． (1)嘉淇参与一次数字创作． ①分配到“标准创作”的概率为______； ②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率； (2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获得对应积分，具体得分规则如下表： 文案类 绘画类 标准创作 3 4 创意创作 4 5 嘉淇在一周内共完成18次创作任务．系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？ 解二元一次方程组的应用 考点02 10．（2026·河北邯郸·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 11．（2026·河北保定·二模）现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是_____m． 12．（2026·河北张家口·二模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 13．（2026·河北邯郸·二模）某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 14．（2026·河北廊坊·二模）计算、解方程组： (1)； (2)． 15．（2026·河北张家口·二模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 一元二次方程根与系数关系的应用 考点03 16．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 17．（2026·河北邯郸·二模）关于的一元二次方程．其中是常数，且，则该方程根的情况是（     ） A．两根之和为 B．两根之积为 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 18．（2026·河北邯郸·二模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 19．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北石家庄·二模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 21．（2026·河北石家庄·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 22．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 23．（2026·河北邢台·二模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 24．（2026·河北唐山·二模）已知关于的方程的一个根是，则另一个根为______． 一元二次方程根的判别式 考点04 25．（2026·河北保定·二模）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2026·河北保定·二模）关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 27．（2026·河北廊坊·二模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 28．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 分式方程及其应用 考点05 29．（2026·河北石家庄·二模）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河北石家庄·二模）的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 32．（2026·河北石家庄·二模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． 33．（2026·河北保定·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)求被污染的部分； (2)若被污染的部分是常数，求的值． 34．（2026·河北廊坊·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 一元一次不等式（组）的应用 考点06 35．（2026·河北邢台·二模）语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 36．（2026·河北张家口·二模）下列数中，不满足不等式的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2026·河北邯郸·二模）已知，则一定有，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 38．（2026·河北张家口·二模）下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 39．（2026·河北保定·二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 40．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 41．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 42．（2026·河北唐山·二模）已知，则一定有，“”中应填的符号是______． 43．（2026·河北邯郸·二模）对于有理数，，规定． (1)计算的值； (2)已知，求的值． 44．（2026·河北廊坊·二模）若，． (1)化简； (2)若，求的取值范围． 45．（2026·河北廊坊·二模）解不等式组；请结合题意填空，完成本题解答． (1)解不等式，得________________； (2)解不等式，得________________； (3)把不等式和的解集在如图所示的数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 46．（2026·河北廊坊·二模）已知，为有理数，现规定一种新运算，其规定是 ． (1)求 的值； (2)嘉淇发现关于的不等式 （，均为有理数常数）的解集为，请证明嘉淇的这个发现． 47．（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 48．（2026·河北保定·二模）计算及解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组： 49．（2026·河北唐山·二模）在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． (1)求路线上所有数字的和； (2)若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 试卷第2页，共31页 2/11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 考点概览 考点01一元一次方程的应用问题 考点02解二元一次方程组的应用 考点03一元二次方程根与系数关系的应用 考点04一元二次方程根的判别式 考点05分式方程及其应用 考点06一元一次不等式（组）的应用 一元一次方程的应用问题 考点01 1．（2026·河北邢台·二模）学校组织12名校工检修智能教室的桌椅，每人每小时平均能检修3张智能课桌或6把座椅，1张智能课桌配套4把座椅，若安排x名校工检修智能课桌，其余校工检修座椅，且智能课桌和座椅刚好配套，则可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为一元一次方程的配套问题，先根据表示出检修课桌和座椅的总数量，再结合配套关系列方程即可． 【详解】∵安排名校工检修智能课桌，总共有12名校工， ∴检修座椅的校工人数为， ∵每人每小时平均检修3张智能课桌， ∴每小时检修的智能课桌总数为张， ∵每人每小时平均检修6把座椅， ∴每小时检修的座椅总数为把， ∵1张智能课桌配套4把座椅，刚好配套时满足座椅总数课桌总数， ∴列方程得． 2．（2026·河北廊坊·二模）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一道有趣的题，其大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长（一尺等于十寸）？设木头长x尺，则下列说法正确的是（    ） A．依题意所列方程为 B．依题意所列方程为 C．木头长10.5尺 D．绳子长6.5尺 【答案】B 【分析】根据题意列出方程并求解，进而逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸， ∴绳子长为尺， ∵将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺， ∴， 解得， ∴木头长尺，绳子长（尺）． 可知只有B正确． 3．（2026·河北廊坊·二模）汉代某里甲组织的里民共同出资购买耕牛以备春耕．商议出资数额时出现了两种情况：若每名里民出500钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数多400钱（盈四百）；若每名里民出400钱，则筹得的钱数比买牛所需的钱数少600钱（不足六百）．设参与买牛的里民共有人，则下列说法正确的是（     ） A．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 B．依题意可列方程，解得参与买牛的里民共有10人 C．依题意可列方程，解得牛价为5400钱 D．依题意可列方程，解得牛价为4600钱 【答案】A 【分析】利用牛价不变作为等量关系，列方程求解即可，根据结果判断选项正误． 【详解】解：设参与买牛的里民共有人， 第一种情况：每人出500钱，总钱数比牛价多400，可得牛价为， 第二种情况：每人出400钱，总钱数比牛价少600，可得牛价为， ∴列方程得， 解得， 牛的价格为（钱）， 即只有A选项符合题意． 4．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况． (1)求图中所有数的和． (2)若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将图中所有数相加即可； （2）根据“横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等”列方程求解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【答案】或1 【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，P表示的数为或1． 6．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】(1)，， (2)①；②行驶约千米会自动报警 (3)充电时间为25分钟 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）①由题意可设函数关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； ②由题意可把代入①中函数解析式进行求解即可； （3）设充电分钟，据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 充电状态下，充电1分钟，增加的电量；汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量；该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为分钟； （2）解：①由表格可知当时，，设函数关系式为， 时，， ， ， ∴函数关系式为； ②由题意可把代入①中函数解析式，得：， 解得：， 答：行驶约千米会自动报警 （3）解：设充电分钟，据题意可得： 解得； 答：充电时间为25分钟． 7．（2026·河北邯郸·二模）为参加学校举办的“机器人大赛”，嘉淇组装了一款智能送餐机器人，并计划在长度为100m的路面AB上试验该机器人的运行情况，为方便观察，嘉淇站在与起点A距离的点处．如图，该机器人从点A出发，先以的速度运动到点，接着以的速度运动到终点．设机器人运动的时间为，距离观察点的距离为． (1)在机器人从点运动到点的过程中，求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）； (2)若该机器人的视野范围只有（向前看或向后看），求从机器人刚发现嘉淇到嘉淇离开机器人的视野范围共花费了多长时间； (3)当机器人从点出发时，一个用于拍摄机器人前进情况的电子眼同时从点出发，以的速度匀速向点行进，在（2）的条件下，当电子眼恰好进入机器人的视野范围时，求机器人还有多久可以到达终点． 【答案】(1) (2) (3)机器人还有可以到达终点 【分析】（1）先求出机器人到达点P时，所用时间，然后根据路程=速度×时间求解即可； （2）分别求出机器人从点左侧距离点行进至点所用的时间、机器人从P点行进到P点右侧所用的时间，然后计算总和即可； （3）根据题意判断出机器人到达点时，电子眼前进至点右侧处，设机器人从点开始向右运动至电子眼恰好进入机器人的视野范围的时间为，根据题意列出一元一次方程求出，则机器人距离终点B的距离为，然后根据时间=路程÷速度求解即可． 【详解】（1）解：当机器人到达点P时，所用时间为 ∵在机器人从点P运动至点B的过程中，速度为， ∴机器人从点P运动到点B的过程中， y与x之间的函数关系式为 ； （2）解：设花费总时间为，以的速度前进的时间为，以的速度前进的时间为， 当机器人从点左侧距离点行进至点的过程中，速度为 当机器人从P点行进到P点右侧的过程中，速度为 ； （3）解：∵机器人以的速度前进至点时，电子眼以同样的速度前进至点右侧处，设机器人从点开始向右运动至电子眼恰好进入机器人的视野范围的时间为， 则机器人前进的距离为，电子眼前进的距离为， 可列方程： ，解得， ∴机器人从A点开始前进的距离为 ， ∴距离终点B的距离为， ∴还要走 ∴机器人还有可以到达终点． 8．（2026·河北石家庄·二模）“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． 表1 表2 表3 4 2 1 8 ？ 3 0 5 4 根据题意回答： (1)表1三阶幻方中间的数字是_____； (2)设表2三阶幻方中间的数字是， ①用含的代数式表示幻方中9个数的和； ②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍； ③求第一行中间的代数式； (3)类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求． 【答案】(1)1 (2)①幻方中9个数的和为 ②3③第一行中间代数式为 (3) 【分析】（1）根据每一行各个数之和都相等，求解即可； （2）①求出第三列三个数的和，即可解决问题； ②由①可得结论； ③用这一行的和减去第一、三的式子，可得中间的代数式； （3）根据每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等，列出方程，解方程，即可解决问题； 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴， （2）解：①幻方中9个数的和为， ②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍 ③第一行中间代数式为： （3）解：∵横、竖、斜三数之积均相等， ， 解得：，， ； 9．（2026·河北保定·二模）某学校开展数字创作实践活动，每次任务系统会从“标准创作”和“创意创作”两种任务等级中随机确定一种，且每种创作中有“绘画类”和“文案类”任务，每次只完成其中一种任务．任务等级与创作类型随机分配，每种结果可能性相同． (1)嘉淇参与一次数字创作． ①分配到“标准创作”的概率为______； ②请利用列表或画树状图的方法，求分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率； (2)为鼓励学生，活动设置创作积分（积分可用于兑换学习资料），完成不同类型的创作，可获得对应积分，具体得分规则如下表： 文案类 绘画类 标准创作 3 4 创意创作 4 5 嘉淇在一周内共完成18次创作任务．系统统计显示，她完成的“绘画类”任务是“文案类”任务次数的2倍，求她在这些“文案类”任务中，能获得的最大得分是多少分？ 【答案】(1)①；② (2)“文案类”任务最大得分是24分 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，找到对应的等可能的事件结果数，再套用公式求解即可； （2）根据题意，列方程求出“文案类”的完成任务次数，再根据表格，假设完成的所有“文案类”任务都属于“创意创作文案类”，计算得分即可． 【详解】（1）解：①共有“标准创作”和“创意创作”2种等可能的分配情况，故概率为； ②画树状图如图， 由树状图可得，共有4种等可能的结果，其中分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的有1种， ∴分配的是“创意创作”且任务是“文案类”的概率为； （2）解：设“文案类”的个数为x个，则“绘画类”的个数为个， 依题意得， 解得， ∵完成“标准创作文案类”得3分，“创意创作文案类”得4分， ∴当“文案类”都是“创意创作文案类”时，获得最大得分，最大得分是分． 解二元一次方程组的应用 考点02 10．（2026·河北邯郸·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：． 11．（2026·河北保定·二模）现要在矩形草坪中规划出3块大小，形状一样的小矩形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，则每块小矩形的宽是_____m． 【答案】10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 首先根据大长方形的长和宽分别为60 m和45 m列出二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，  由题意，得 解得 所以每块小矩形的宽是10 m． 12．（2026·河北张家口·二模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 13．（2026·河北邯郸·二模）某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 【答案】10 【分析】先求出的值，再结合且均为正整数的条件列举可能取值，根据最高总成绩排除不符合题意的情况，得到的值后计算乘积. 【详解】解：设本次趣味运动会五个比赛项目的记分总和为，则 . 四个班的总成绩分别为，，，， . ， 可得. ，且，，均为正整数， 当时： 若，则 ，满足； 若，则 ，此时五个项目都获得第一名的最高总分为 ，不符合题意，舍去； 当时，，，此时 ，不满足条件，舍去. 综上可得，，，， . 14．（2026·河北廊坊·二模）计算、解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2），得， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 则方程组的解为． 15．（2026·河北张家口·二模）（1）把方程写成用含的代数式表示的形式； （2）将（1）的结果代入，消去未知数，求出的值； （3）直接写出方程组的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先移项、再进行系数化为1即可求解； （2）将代入到进行计算可得结果； （3）将代入（1）中的即可得到方程组的解． 【详解】解：（1）由题意得， ； （2）由题意，将代入得， 解得； （3）将代入，得：， ∴方程组的解为：． 一元二次方程根与系数关系的应用 考点03 16．（2026·河北石家庄·二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 17．（2026·河北邯郸·二模）关于的一元二次方程．其中是常数，且，则该方程根的情况是（     ） A．两根之和为 B．两根之积为 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，，． ∵根的判别式，又， ∴， ∴，方程有两个不相等的实数根，故C错误． 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和为，故A错误． 两根之积为，故B错误． ∵两根之积， ∴方程有两个异号的实数根，故D正确． 18．（2026·河北邯郸·二模）已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可． 【详解】解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 19．（2026·河北保定·二模）若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 20．（2026·河北石家庄·二模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解，再验证方程有实根即可得到结果． 【详解】解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵两根之积为， ∴，解得， ∴原方程为， 解得，，符合题意， ∴． 21．（2026·河北石家庄·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 22．（2026·河北张家口·二模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 23．（2026·河北邢台·二模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，将所求代数式变形后，结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即． ． ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得． 代入，得 ． 24．（2026·河北唐山·二模）已知关于的方程的一个根是，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程，若是一元二次方程（是常数且）的两个根，则，． 设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，计算即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， ， ， 故答案为： ． 一元二次方程根的判别式 考点04 25．（2026·河北保定·二模）已知关于x的方程有两个异号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出，，解之即可得出结论． 本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0得出关于k的不等式是解题的关键． 【详解】由题意得，， 解得：． 由条件可知， 解得． 的取值范围为． 故选：A． 26．（2026·河北保定·二模）关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：， 其中，，，， ， ∵对任意实数 ，都有 ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误； 方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误． 27．（2026·河北廊坊·二模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【分析】用含的代数式表示出此方程的根的判别式，根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ∵方程有两个相等的实数根， 解得： 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练根据根的情况转化为根的判别式进行计算是解决本题的关键． 28．（2026·河北保定·二模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学： 或 或 琪琪同学： ，， 此方程无实数根． (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果； 嘉嘉同学的解法__________，琪琪同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确 (2) 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解法分析即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由得到或不正确； 因化为一般式是， ∴，，， ∴琪琪同学的解法不正确； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 分式方程及其应用 考点05 29．（2026·河北石家庄·二模）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 30．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 31．（2026·河北石家庄·二模）的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据列方程即可． 【详解】解：∵的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释成的蔗糖溶液， ∴可列方程． 32．（2026·河北石家庄·二模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的， ∴n号木板最多伸出自身长度的， 由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意且是原方程的解， 所以第25号木板最多可伸出． 故答案为：25． 33．（2026·河北保定·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)求被污染的部分； (2)若被污染的部分是常数，求的值． 【答案】(1)被污染部分为 (2)的值为 【分析】（1）根据分式的加减法运算法则进行计算； （2）根据题意列分式方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，被污染部分为： ； （2）解：∵被污染的部分是常数， ， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为． 34．（2026·河北廊坊·二模）将一张正方形图片上传到不同设备使用时，常需要调整尺寸以适应屏幕．一种方法是原图直接“裁剪”，会损失部分画面；另一种是AI技术“无损扩展”，智能补充背景内容（如图示例）． 现有边长为x厘米的正方形图片，需要调整成一定比例的矩形图片． 方案一（直接裁剪）：保持一边不变，将另一边裁剪掉4厘米，得到矩形图片．裁剪后的面积平方厘米； 方案二（无损扩展）：保持一边不变，将另一边扩展6厘米，得到矩形图片．扩展后的面积平方厘米． 已知方案二比方案一的面积多出平方厘米．以下是计算面积差S的解答过程： 解： …………第一步 ……………第二步 ……………………………第三步 (1)该解答过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误？写出正确的解答过程； (2)若方案一和方案二得到的两幅矩形图片长宽比恰好相同（即长度与宽度的比值相等），求原正方形图片边长的值． 【答案】(1) 解：原解答不正确，从第二步开始出错． 正确过程： ． (2)原正方形边长为12厘米 【分析】（1）先按去括号法则检查原式，发现原解答第二步去括号时符号错误，正确去括号后合并同类项，即可解答． （2）明确两个矩形的长宽：根据“长宽比相等”列方程，求解，验证边长为正数，得结果． 【详解】（1）略 （2）解：方案一得到的矩形长、宽为和；方案二得到的矩形长、宽为和． 根据“长宽比相等”，列方程： 解得 验证：时，，符合实际意义． 答：原正方形边长为12厘米． 一元一次不等式（组）的应用 考点06 35．（2026·河北邢台·二模）语句“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先表示出与的差，可得. 再表示出差的倍，可得. ∵该式是非负数，即大于等于， ∴. 36．（2026·河北张家口·二模）下列数中，不满足不等式的的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求解不等式得到的取值范围，再对比选项中的数找出不满足条件的数即可． 【详解】解：解不等式 ∵ 移项得 ∴不等式的解集为 选项中，，都满足，只有不满足，因此不满足不等式的是． 37．（2026·河北邯郸·二模）已知，则一定有，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴ “□”中应填的符号是. 38．（2026·河北张家口·二模）下列数中，能使的值为负数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 故选：A． 39．（2026·河北保定·二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由数轴可知， 解得： 的值可以是 故选：D． 40．（2026·河北石家庄·二模）在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，根据题意设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答． 【详解】解：设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推， 根据题意，得 ， ， ，…… 由此可知，以后的点和前面的点开始重复． ∵“交错移动”点都在y轴左侧， ∴，，，， ∴，， 则满足条件的点为， 故选：A． 41．（2026·河北廊坊·二模）在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（中任意一个） 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围，再选取范围内的一个整数即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 又为整数， 可取中任意一个， 则整数可以是（中任意一个）． 42．（2026·河北唐山·二模）已知，则一定有，“”中应填的符号是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，不等式两边乘同一个负数时不等号方向改变，据此判断即可． 【详解】解：， ． 43．（2026·河北邯郸·二模）对于有理数，，规定． (1)计算的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）按照题干给出的运算规则，将对应数值代入计算即可． （2）根据新运算列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， 展开得， 整理得， 变形为， 解得． 44．（2026·河北廊坊·二模）若，． (1)化简； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵， ∴ ∴ ∴． 45．（2026·河北廊坊·二模）解不等式组；请结合题意填空，完成本题解答． (1)解不等式，得________________； (2)解不等式，得________________； (3)把不等式和的解集在如图所示的数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)如图所示： (4) 【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式，得； （2）解：解不等式，， ， 解得； （3）略 （4）解：原不等式组的解集为． 46．（2026·河北廊坊·二模）已知，为有理数，现规定一种新运算，其规定是 ． (1)求 的值； (2)嘉淇发现关于的不等式 （，均为有理数常数）的解集为，请证明嘉淇的这个发现． 【答案】(1)23 (2)证明： ， ∴ ， ∵，均为常数， ∴ ， ∵ ， ∴． 【详解】（1）解： ； （2）略 47．（2026·河北邢台·二模）已知代数式：． (1)若，，请用含的代数式表示； (2)若，试判断是否恒成立，并说明理由． 【答案】(1) (2) 恒成立 【分析】（1）将已知的和代入代数式，化简整理即可得到结果； （2）将代入，配方后利用平方数的非负性得到的取值范围，即可判断结论． 【详解】（1）解：已知，，， 代入得：； （2）解：将代入得：， 配方得： ， ∵任意实数的平方都大于等于0，即， ∴， 又∵， ∴恒成立． 48．（2026·河北保定·二模）计算及解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 49．（2026·河北唐山·二模）在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． (1)求路线上所有数字的和； (2)若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 【答案】(1) (2)1 【详解】解：（1）． 答：上所有数字的和为； （2）根据题意得：，解得：． ∴符合条件的的正整数解为． 试卷第2页，共31页 2/31 学科网（北京）股份有限公司 $