精品解析：2026年河北省石家庄市行唐县城寨中学二模数学试题

2026年河北省石家庄市行唐县城寨中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是( ) A. B. C. D. 3. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 4. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 5. 可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为（ ）. A. B. C. D. 6. 计算2cos60-sin45+cot60的结果是（） A. B. C. D. 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A、B分别在的边上，连接 ，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交 、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在平行四边形中，是锐角，于点为 的中点，连接，若，则 的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. _____． 14. 如图，菱形中，，，则 边上的高_____． 15. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，则，两位同学座位相邻的概率是_____． 16. 设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点． （1）当时，_____； （2）若，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． （1）若输入，则________，________； （2）若得到，求输入的x值及相应n的值； （3）若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 18. 已知多项式． （1）当时，求的值； （2）若 为整数，试说明多项式能被5整除． 19. 某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89 c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 初二年级 80.8 m 96.9 初三年级 80.6 86 153.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； （2）写出表中m的值； （3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学是        （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是        ． （4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为        ． 20. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． （1）求a、k的值； （2）结合图像，直接写出不等式的解集； （3）连接OA、OB，求的面积． 22. 已知 是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交 延长线于点，连接，若 是的直径，，，求的长． 23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 24. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺 中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺 ，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺 中的点A位置不动，重新摆放三角尺 ． 摆放方法①：当线段 所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段 与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省石家庄市行唐县城寨中学二模数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：1．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；2．任何数与0相乘都得0；3．多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正号；当负因数的个数为奇数个时，积的符号为负号；并把绝对值相乘．掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 2. 如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可. 【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示： ， 故选A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置. 3. 估算的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】估算确定出的范围，即可求出所求． 【详解】解：∵4＜5＜9， ，即， 则在和1之间， 故选A． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数的估算方法是解本题的关键． 4. “书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 5. 可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】将1000亿用科学记数法表示为：． 故选C． 6. 计算2cos60-sin45+cot60的结果是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别把特殊角的函数值代入计算即可． 【详解】解：2cos60-sin45+cot60 故选B． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值是计算，理解并掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把第二个分式变形后根据同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解：原式= = = =． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，并且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点，位于第四象限内，点位于第二象限内， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其可译为：“有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，则1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？”设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒斛，根据题意得： ， 故选：A． 10. 如图，点A、B分别在的边上，连接 ，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交 、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：由作法得平分 ， ∵平分， ， ． 故选：C． 11. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即①错误；由旋转可知，由于，即推出，即②错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即③错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即④正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故①错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵ 为钝角， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵DE+DC＞CE， ∴，故③错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故④正确，符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 12. 如图，在平行四边形 中，是锐角，于点为 的中点，连接，若，则 的长是（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，延长 交的延长线于，连接 ，设．首先证明，利用勾股定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 【详解】解：如图，延长 交的延长线于，连接 ，设， 四边形 是平行四边形， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得或（舍去）， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，先计算立方根，再计算加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，菱形 中，，，则 边上的高_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质求出长，然后根据解题即可． 【详解】解：∵ 是菱形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，则，两位同学座位相邻的概率是_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求概率，采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可． 【详解】画树状图可得： 由上表可知共有中可能，满足题意的情况数为种则， ，两位同学座位相邻的概率是． 16. 设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点． （1）当时，_____； （2）若，则的取值范围是_____． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键． （1）联立方程组消去得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可； （2）解方程组求出的值，然后借助图象得到的值小于抛物线与直线的交点横坐标解题即可． 【详解】解：（1）当时，方程组消去y可得， ∴， 故答案为：8； （2）方程组消去y可得， ，且， 又∵， ∴， 解方程组得到或， 当直线过时， ∵， ∴借助图象可得， 解得； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． （1）若输入，则________，________； （2）若得到，求输入的x值及相应n的值； （3）若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：输入，得到，； 故答案为：2；1； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 18. 已知多项式． （1）当时，求的值； （2）若 为整数，试说明多项式能被5整除． 【答案】（1） （2）多项式能被5整除 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）把代入多项式计算即可； （2）先计算出，然后判断即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：， 为整数， 多项式能被5整除． 19. 某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89 c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 初二年级 80.8 m 96.9 初三年级 80.6 86 153.3 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； （2）写出表中m的值； （3）A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学是        （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是        ． （4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为        ． 【答案】（1）见解析 （2）80.5 （3）初二；初三年级中位数高，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放在初二年级，成绩会更靠前，不符合题意 （4）225 【解析】 【分析】（1）先根据总人数为40求出的人数，继而补全图形； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）利用中位数的意义求解可得； （4）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：初二年级成绩在的人数为：， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81， ∴中位数； 【小问3详解】 解：A同学是初二年级的学生， 理由：初三年级中位数高，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放在初二年级，成绩会更靠前，不符合题意； 【小问4详解】 解：估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为（人）． 20. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解 ，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形 的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、． （1）求a、k的值； （2）结合图像，直接写出不等式的解集； （3）连接OA、OB，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）的面积为6 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求得k的值，即可求得一次函数的解析式，代入A(a，-2a)即可求得a； (2)根据图像即可求得； (3)由直线解析式求得C点的坐标，从而求出AOB的面积． 【小问1详解】 ∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、， ∴-2=4k+2， ∴k = -1， ∴， 代入得，-2a=-a+2 解得a=-2， ∴a的值为-2，k的值为-1； 【小问2详解】 ∵a=-2， ∴A(-2，-4)， ∵B(4，-2)， 观察图像，当或x>4时， ， ∴不等式的解集为： 或； 【小问3详解】 由直线可知C(2,0)， 所以△AOB的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 22. 已知 是的直径，是的弦． （1）如图①，若为的中点，，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线交 延长线于点，连接，若 是的直径，，，求的长． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据为的中点，得到，进而得到，即可求解； （2）根据切线的性质结合圆周角定理推出，求出，利用含30度角直角三角形的特征得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： 是的直径， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： 是的切线， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、切线的性质定理，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 【答案】（1），； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可； （2）利用两点间距离公式结合已知条件列式整理得，然后根据，求出，进而可得，问题得解； （3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；待定系数法求直线 的解析式，求得点的坐标为，根据点是直线 和直线m的交点，求得点的坐标为，即可求得和的值，即可求得； （4）根据题意求得抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，根据两点之间线段最短可得当，，三点共线时，的值最小；求得，即可求得的面积． 【小问1详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的焦点F的坐标为， ∵点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍， ∴，整理得：， 又∵， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小； ∵直线 与直线垂直，故设直线 的解析式为， 将代入解得：， ∴直线 的解析式为， ∵点是直线 和抛物线的交点， 令，解得：，（舍去）， 故点的坐标为， ∴， ∵点是直线 和直线m的交点， 令，解得：， 故点的坐标为， ∴， ． 即的最小值为． 【小问4详解】 解：∵抛物线中， ∴，， ∴抛物线的焦点坐标为，准线l的方程为， 过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图： 若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图： ∵点的坐标为，准线， ∴点的横坐标为，代入解得， 即，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了两点间距离公式结合，两点之间线段最短，三角形的面积，一次函数的交点坐标，一次函数与抛物线的交点坐标等，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 24. 综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺 中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺 ，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺 中的点A位置不动，重新摆放三角尺 ． 摆放方法①：当线段 所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段 与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）摆放方法①：或；摆放方法②：或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可得到答案； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H，由平行线的性质可得；可证明，得到，则；如图3-1所示，当时，延长交于点H，证明，根据平行线的性质可求出，则； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或；如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则；如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或； 如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $