25.2.1配方法 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过“油漆刷正方体盒子”实际问题导入，从平方根意义引出x²=p型方程，过渡到(mx+n)²=p型，再结合完全平方公式衔接配方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以“降次”思想为主线，通过实际问题抽象培养数学眼光，步骤化推理发展数学思维，规范符号表达强化数学语言。如用油漆问题抽象方程，配方法中“加一次项系数一半的平方”的推理，小结结构化归纳解法。助力学生提升抽象能力和运算能力，为教师提供分层练习和清晰教学流程。

第 二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1配方法 第 二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时 直接开平方法 学习目标 学习重难点 通过平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程 体会“降次”的数学思想. 难点 重点 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. 导入新知 问 题1 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正 方体形状的盒子的全部外表面，你能算 出盒子的棱长吗? 知识点1 形如x2=p(p≥0)型方程的解法 ① 4 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 10×6x2=1500. ① 整理，得 x2=25 . 根据平方根的意义，得 x=±5 ， 即 x1=5， x2=－5. 可以验证，5和－5是方程①的两个根， 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm. 注意 用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义. 5 巩固练习 解方程 2x2=36 5x2+1=21 解：x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 解：x2=18 x=± x1=，x2=- 6 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 ② 对照上面解方程x2＝25的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5? 在解方程x2＝25时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 (x＋3)2＝5，② 得 x＋3＝± ， 即 x＋3＝ ，或x＋3＝－ ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ ，x2＝－3－ . 探究 7 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方 法，叫作直接开平方法. 定义 一般地，对于方程 x2=p， 当p>0时，方程x2=p有两个不相等的实数根 x1= ， x2=； 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0； 当p<0时，方程x2=p无实数根. 归纳 8 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了． 归纳 一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ， 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是， x2= 当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根. 9 例 解下列方程． (1)4x2－3= 0 ； (2)（x+2）2－9 = 0. 解：(1)移项，并将二次根式系数化为1，得x2＝， 由此可得x=±， 即x1＝，x2＝－. (2)移项，得（x+2）2=9， 由此可得x+2=±， 即x+2=，或x+2=-， 即 x1=，x2=. 10 随堂演练 一元二次方程(x+3)2=64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+3=8，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-3=-8 B. x-3=8 C. x+3=-8 D. x+3=8 2. 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．没有实数根 C D 11 3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)(x＋1)2=4 . 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝1, x2＝－3. 12 4.下面是一名同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. 解： ① ② ③ ④ 解：不对，从②开始错，应改为 13 课堂小结 1.形如x2=p(p≥0)，(mx+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法解. 2.一般地，对于方程 x2=p， 当p>0时，方程x2=p有两个不相等的实数根 x1= , x2= 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0; 当p<0时，方程x2=p无实数根. 一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0) ， 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是, x2=. 当p<0时，方程(mx+n)2=p无实数根. 14 第 二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 配方法 学习目标 学习重难点 用配方法解一元二次方程. 用配方法解决相关问题. 难点 重点 （1）了解配方的概念. （2）掌握用配方法解一元二次方程及解决相关问题. 回顾复习 完全平方公式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 导入新知 知识点1 配方法 ① 探究 怎样解方程x2+6x+4=0? 我们已经会解方程(x+3)2=5. 因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 分析 18 (x+3)2=5       x2+6x+4=0 x2+6x=－4 x2+6x+9=－4+9 移项 两边加9， 使左边配成x2+2bx+b2的形式 左边写成完全平方式 降次 解一元一次方程 19 思考 为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？ 因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式. 20 像上面这样通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 定义 21 巩固练习 1.对下列各式进行配方： x2+10x+25 x2+5x+ =(x+5)2 2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是(　　) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9 D 22 知识点2 用配方法解一元二次方程 ② 解下列方程： 例1 (1) x2-8x+1=0 ； (2)2x2+1=3x ； (3)3x2-6x+4=0 . (1)解：移项，得 x2-8x=-1. 配方，得 x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15. 由此可得， 23 (2) 2x2+1=3x (2) 解：移项，得2x2-3x=-1 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得， 24 (3) 3x2-6x+4=0 (3) 解：移项，得3x2-6x=-4 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x-1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 25 归纳 一般地，一元二次方程可以通过配方转化成 (x+n)2=p 的形式. ①当p>0时，方程的两个不相等的实数根 ②当p=0时，方程的两个相等的实数根 x1=x2=-n. ③当p<0时，因为对任意实数x，都有方程 (x+n)2≥0，所以方程无实数根. 26 随堂演练 1. 一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为( ) A. (x－3)2=15 B. (x－3)2=3 C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3 2. 填空. (1) 4x2+4x+1= (2) x2－30x+225= A (2x+1)2 (x－15)2 27 3.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 28 4. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 29 课堂小结 配方法解一元二次方程 定义 步骤 一移常数项，二次项系数化为1； 二配方[配上一次项系数一半的平方]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0)； 四直接开平方法解方程. 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 30 $