第6讲 解直角三角形及应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第06讲 解直角三角形及应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 已知两边解直角三角形 题型2 已知一边一锐角解直角三角形 题型3 含有特殊角的解直角三角形应用型 题型4 非直角三角形的构造求解 题型5 仰角、俯角问题 题型6 方位角问题 题型7 坡度（坡比）问题 题型8 利用解直角三角形测量宽度（河宽、湖宽） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角、方向角、水平距离、垂直高度 1.掌握直角三角形三边（勾股定理）、两锐角、边角三类等量关系，明确解直角三角形的含义，能根据已知条件求出所有未知边和角。 3.掌握仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角等实际测量专用概念，理清几何模型对应线段。 学习重点：直角三角形三边、两角、边角三大关系，熟练解直角三角形。仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角的概念。把实际测量问题转化为直角三角形模型，利用三角函数、勾股定理列式计算。。 学习难点：区分坡度与坡角，理解坡比是竖直高度比水平宽度，不是斜边比值。方位角以正北 / 正南为基准画图，准确画出观测视线、水平线、竖直线。复杂实际问题中构造双直角三角形，借助公共边、等线段列方程求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形 1. 核心概念：在直角三角形中，由已知元素（除直角外共5个元素：3条边、2个锐角）求出未知元素的过程，叫做。 2. 常用关系（Rt△ABC中，∠C=90°） 三边关系（勾股定理）： 锐角关系：∠A + ∠B = 边角关系：锐角三角函数的三个定义，即，，。 3.解直角三角形的四种基本类型： 已知条件 解法步骤 两条直角边a,b ①由求∠A；②∠B=90°-∠A；③斜边 斜边c，直角边a ①由求∠A；②∠B=90°-∠A；③直角边 直角边a，锐角A ①∠B=90°-∠A；②；③ 斜边c，锐角A ①∠B=90°-∠A；②；③ 即时即练 1．在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 3．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 5．如图，在中，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.解直角三角形遵循“有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中”的原则：即已知斜边时用正弦或余弦，未知斜边时用正切；计算时尽量用乘法代替除法，尽量用原始已知数据计算，避免中间近似带来误差累积。 2.若三角形不是直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形，通常作高将斜三角形分割为两个直角三角形，再分别求解。 知识点02 解非直角三角形 1. 构造法解非直角三角形： 锐角三角形的构造：任意锐角三角形都可以从任意顶点作对边的高，得到两个直角三角形，高在三角形 钝角三角形的构造：钝角三角形需要从钝角顶点作对边的高，或者从锐角顶点作对边延长线的高，高在三角形， 2.构造法的一般步骤： ①观察原三角形的角和边，确定从哪个顶点作高更方便，优先选择已知角的顶点作高，尽量让已知角 出 现在构造出的直角三角形中。 ②设公共高为x，或者设某条直角边为x，分别在两个直角三角形中用x表示出其他边的长度。 ③根据原三角形中边的和差关系列出方程，求解未知数。 ④再根据锐角三角函数定义求出未知角的三角函数值，或者计算未知边的长度。 2. 常见题型： 已知三角形两个内角的度数，以及任意一条边的长度，求另外两条边和第三个角。 已知三角形两条边的长度，以及其中一条边所对的角，求另外两个角和第三条边。 已知三角形两条边的长度，以及这两条边的夹角，求第三条边和另外两个角。 已知三角形三条边的长度，求三个内角的度数或三角函数值 即时即练 1．在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 5．如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【方法总结】 1. 遇到无直角三角形，统一作高分割，将原图拆分为两个直角三角形，转化为熟悉题型。 2. 以公共垂线为等量桥梁，设未知数结合三角函数或勾股定理列方程计算。 3. 作高优先选钝角顶点向对边作垂线，最大限度保留已知角度，简化角度推导。 知识点03 解直角三角形的实际应用 1. 仰角与俯角 仰角：视线在水平线与水平线的夹角； 俯角：视线在水平线与水平线的夹角。 2. 坡度与坡角 坡角：坡面与水平面的夹角，记作； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，即 。坡度越大，坡角，坡面越陡。 3. 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，通常描述为“北偏东××度”“南偏西××度”等；若方向线与坐标轴夹角为45°，也可描述为“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”。 即时即练 1．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 3．一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 解决实际问题第一步，就是准确根据题意画出示意图，将文字描述转化为几何图形，把实际问题中的已知条件对应到图形的边、角中，找准直角三角形，明确要求的量，再利用解直角三角形的知识计算。 题型1已知两边解直角三角形 【例1】已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【例2】在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． 【技巧归纳】 1.利用勾股定理求第三边：若已知两条直角边a、b，直接用c=求斜边c；若已知一条直角边a和斜边c，用求另一条直角边b。 2.利用三角函数求锐角：选择已知边对应的三角函数计算，例如已知(a、c)，计算sinA=，再求出∠A的度数；也可以选择正切tanA=，避免勾股定理计算的误差。 3.利用直角三角形两锐角互余求另一个锐角：∠B=90∘−∠A。 【变式1-1】在中，，，，求的长和的度数． 【变式1-2】如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 题型2已知一边一锐角解直角三角形 【例1】在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【例2】如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【技巧归纳】 已知一条边和一个锐角（隐含直角，实际已知两个角），求解其余未知元素，核心思路是利用三角函数建立已知边和未知边的关系，步骤为： 1.利用互余关系求另一个锐角：直接由∠B=90∘−∠A计算得第二个锐角。 2.根据已知边选择对应三角函数求未知边：按照“有斜用弦，无斜用切，求对用正，求邻用余”的口诀选择函数： 若已知斜边，求直角边时，用正弦或余弦； 若已知直角边，求另一条边时，用正切； 求对边优先用正弦或正切，求邻边优先用余弦或余切。 【变式1-1】在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【变式1-2】如图，在中，，则的长为_____________． 题型3 含有特殊角的解直角三角形应用型 【例1】如图，在中，，是高．若，则 =______． 【例2】在中，，，，则___________． 【技巧归纳】 这类题型通常涉及特殊锐角，需要牢记特殊角的三角函数值，解题时先将实际问题转化为直角三角形模型，找准已知条件对应元素，再套用基础解直角三角形方法求解。 【变式1-1】已知是锐角，，则的值为________． 【变式1-2】如图，在中，，，．则边的长为______． 题型4 非直角三角形的构造求解 【例1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【技巧归纳】 实际问题中很多三角形不是直角三角形，无法直接求解，需要通过作高构造直角三角形，将斜三角形转化为两个直角三角形，再分别解直角三角形得到结果。常见构造方法： 1.过钝角顶点作对边的高：将钝角三角形分为两个锐角直角三角形； 2.过锐角顶点作对边的延长线作高：处理包含钝角的几何图形，将外部分解出直角三角形； 3.遇有公共边的两个直角三角形，优先以公共直角边为桥计算：公共直角边是连接两个直角三角形的核心，通常先求出公共边长度，再计算所求未知量。 【变式1-1】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【变式1-2】如图，在中，，，，则AB的长为__________． 题型5 仰角、俯角问题 【例1】如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为，，则建筑物的高是（     ） A． B． C． D． 【例2】长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度．在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪测得吉塔顶部A处的仰角为α，则吉塔的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【技巧归纳】 仰角是视线在水平线以上与水平线的夹角，俯角是视线在水平线以下与水平线的夹角，这类问题是中考高频应用题型，解题要点： 1.先明确测量点位置，画出水平线，标出仰角/俯角，过测量点向目标建筑物作垂线，构造直角三角形； 2.若有两次测量（如测量高度时在不同位置测仰角），设所求高度为未知数，利用两个直角三角形中公共的水平距离列方程求解； 3.注意测量仪器本身的高度，结果需要加上仪器高度，不要漏加。 【变式1-1】如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【变式1-3】如图，某同学为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度约是______m．（结果精确到．参考数据：，，） 【变式1-4】如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 题型6方位角问题 【例1】一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【技巧归纳】 正弦、正切：0°~90° 随角度增大，函数值变大； 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，习惯描述为“北偏东x∘”“南偏西x∘”，解题要点： 1.先在出发点画出正北方向，按照描述标出方位角，确定目标位置； 2.利用平行线的内错角相等转移角度，将方位角转化为直角三角形的内角； 3.沿南北或东西方向作垂线，构造出直角三角形，再结合已知条件求解； 4.遇到两船航行、相向而行等双动点问题，可通过连接两点构造三角形，作垂线拆分求解。 【变式1-1】小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【变式1-2】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【变式1-3】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 【变式1-4】如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 题型7 坡度（坡比）问题 【例1】如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 【例2】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（坡比），用字母i表示，即（α为坡角），坡度越大坡角越大，坡面越陡，解题要点： 1.首先明确坡度是铅直高度与水平宽度的比，不是铅直高度与坡面长度的比，不要混淆比例关系； 2.若已知坡度i=1:m，可以设铅直高度为k，水平宽度为mk，坡面长度为，利用比例关系设未知数计算更简便； 3.常见于拦水坝、山坡修路等工程问题，通常需要作高构造直角三角形，结合坡度定义计算。 【变式1-1】如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 【变式1-2】如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 【变式1-3】为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 【变式1-4】如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 题型8 利用解直角三角形测量宽度（河宽、湖宽） 【例1】如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河一侧岸边选定点P和点B，在河对岸选定一点A，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】如图，要测量小河的宽度，在小河边取的垂线上的一点，测得，，则小河的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 这类问题是解直角三角形在实际测量中的经典应用，核心思路是利用两次测量得到两个直角三角形，通过公共边建立方程求解宽度，常见两种出题形式： 1.同岸两点测量：在河岸一侧取两个点，分别测量对岸目标点的角度，以及两点之间的距离，设河宽为未知数，利用两个直角三角形的水平距离差列方程； 2.两岸对测：在两岸分别取点，利用全等或角度关系构造直角三角形，直接计算宽度。 【变式1-1】如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为_____________米． 【变式1-2】黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为．求河的宽度为________．（结果精确到，参考数据，，）      1．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 2．在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 4．人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 5．白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 6．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 7．如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． 8．如图，在中，，于点，，，则的值______． 9．在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 10．如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 11．如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 12．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 13．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为______________m． 14．在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 15．如图，在中，，于D，若，求． 16．如图，在中，已知，，，求的长． 17．如图，在中，，求和的长． 18．在一次海上反潜演习中，我军舰测得潜艇和的连线与海平面的夹角为，位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇和连线与水平线的夹角为，试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 19．如图，某勘测队计划在、两座岛屿之间修建跨海大桥．为测量两岛之间的距离，勘测队在海岸线上选取了两个观测点和，其中在的正东方向，且米．在观测点处测得：岛屿在北偏西方向上，岛屿在北偏东方向上．在观测点处测得：岛屿在北偏东方向上，岛屿在北偏东方向上．、、、在同一水平面内． (1)求观测点到岛屿的距离（结果保留整数）； (2)求岛屿、之间的距离（结果保留整数）．参考数据：，，；，，； 20．如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 解直角三角形及应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 已知两边解直角三角形 题型2 已知一边一锐角解直角三角形 题型3 含有特殊角的解直角三角形应用型 题型4 非直角三角形的构造求解 题型5 仰角、俯角问题 题型6 方位角问题 题型7 坡度（坡比）问题 题型8 利用解直角三角形测量宽度（河宽、湖宽） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形、仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角、方向角、水平距离、垂直高度 1.掌握直角三角形三边（勾股定理）、两锐角、边角三类等量关系，明确解直角三角形的含义，能根据已知条件求出所有未知边和角。 3.掌握仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角等实际测量专用概念，理清几何模型对应线段。 学习重点：直角三角形三边、两角、边角三大关系，熟练解直角三角形。仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方位角的概念。把实际测量问题转化为直角三角形模型，利用三角函数、勾股定理列式计算。。 学习难点：区分坡度与坡角，理解坡比是竖直高度比水平宽度，不是斜边比值。方位角以正北 / 正南为基准画图，准确画出观测视线、水平线、竖直线。复杂实际问题中构造双直角三角形，借助公共边、等线段列方程求解。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形 1. 核心概念：在直角三角形中，由已知元素（除直角外共5个元素：3条边、2个锐角）求出未知元素的过程，叫做。 2. 常用关系（Rt△ABC中，∠C=90°） 三边关系（勾股定理）： 锐角关系：∠A + ∠B = 边角关系：锐角三角函数的三个定义，即，，。 3.解直角三角形的四种基本类型： 已知条件 解法步骤 两条直角边a,b ①由求∠A；②∠B=90°-∠A；③斜边 斜边c，直角边a ①由求∠A；②∠B=90°-∠A；③直角边 直角边a，锐角A ①∠B=90°-∠A；②；③ 斜边c，锐角A ①∠B=90°-∠A；②；③ 即时即练 1．在中，，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．如图，是的高．若，，则边的长为（   ） A． B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：是的高， ． ， ． ， ． 在中， ，， ． 3．在中，，，，则的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【详解】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ． 4．如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的定义列方程，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 5．如图，在中，．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比即为锐角的正弦，由此即可计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 【方法总结】 1.解直角三角形遵循“有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中”的原则：即已知斜边时用正弦或余弦，未知斜边时用正切；计算时尽量用乘法代替除法，尽量用原始已知数据计算，避免中间近似带来误差累积。 2.若三角形不是直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形，通常作高将斜三角形分割为两个直角三角形，再分别求解。 知识点02 解非直角三角形 1. 构造法解非直角三角形： 锐角三角形的构造：任意锐角三角形都可以从任意顶点作对边的高，得到两个直角三角形，高在三角形 钝角三角形的构造：钝角三角形需要从钝角顶点作对边的高，或者从锐角顶点作对边延长线的高，高在三角形， 2.构造法的一般步骤： ①观察原三角形的角和边，确定从哪个顶点作高更方便，优先选择已知角的顶点作高，尽量让已知角 出 现在构造出的直角三角形中。 ②设公共高为x，或者设某条直角边为x，分别在两个直角三角形中用x表示出其他边的长度。 ③根据原三角形中边的和差关系列出方程，求解未知数。 ④再根据锐角三角函数定义求出未知角的三角函数值，或者计算未知边的长度。 2. 常见题型： 已知三角形两个内角的度数，以及任意一条边的长度，求另外两条边和第三个角。 已知三角形两条边的长度，以及其中一条边所对的角，求另外两个角和第三条边。 已知三角形两条边的长度，以及这两条边的夹角，求第三条边和另外两个角。 已知三角形三条边的长度，求三个内角的度数或三角函数值 即时即练 1．在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 2．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 3．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 4．如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 5．如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 【方法总结】 1. 遇到无直角三角形，统一作高分割，将原图拆分为两个直角三角形，转化为熟悉题型。 2. 以公共垂线为等量桥梁，设未知数结合三角函数或勾股定理列方程计算。 3. 作高优先选钝角顶点向对边作垂线，最大限度保留已知角度，简化角度推导。 知识点03 解直角三角形的实际应用 1. 仰角与俯角 仰角：视线在水平线与水平线的夹角； 俯角：视线在水平线与水平线的夹角。 2. 坡度与坡角 坡角：坡面与水平面的夹角，记作； 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比，记作i，即 。坡度越大，坡角，坡面越陡。 3. 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，通常描述为“北偏东××度”“南偏西××度”等；若方向线与坐标轴夹角为45°，也可描述为“东北方向”“西北方向”“东南方向”“西南方向”。 即时即练 1．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面控制点B的俯角，则飞机A到控制点B的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，米，， ∴，即， ∴飞机A到控制点B的距离为． 2．如图，在某次表演中，机器人需要从处移动到北偏东的处，机器人先向正东方向移动到达处，再向北偏东方向移动到处，则处到的距离长为（     ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【分析】设米，分别求出米，，根据列方程求解即可． 【详解】解：设米， 在中，， ∴， ∴米， 在中，， ∵，即， ∴， ∵米， ∴， 解得：， 所以，处到的距离长为米． 3．一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 【方法总结】 解决实际问题第一步，就是准确根据题意画出示意图，将文字描述转化为几何图形，把实际问题中的已知条件对应到图形的边、角中，找准直角三角形，明确要求的量，再利用解直角三角形的知识计算。 题型1已知两边解直角三角形 【例1】已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，， 【例2】在中，，根据下列条件求出的正确数值 (1)： (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据正切的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数； （2）先根据余弦的定义求出，再结合特殊角的三角函数值确定的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴ 【技巧归纳】 1.利用勾股定理求第三边：若已知两条直角边a、b，直接用c=求斜边c；若已知一条直角边a和斜边c，用求另一条直角边b。 2.利用三角函数求锐角：选择已知边对应的三角函数计算，例如已知(a、c)，计算sinA=，再求出∠A的度数；也可以选择正切tanA=，避免勾股定理计算的误差。 3.利用直角三角形两锐角互余求另一个锐角：∠B=90∘−∠A。 【变式1-1】在中，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形常用的有勾股定理和锐角三角函数，解决本题的关键是要熟练地记住三个特殊角的三角函数值．首先利用勾股定理求出的长度，再求出的余弦，根据余弦值求出的度数． 【详解】解：在中，，，， ， ， ． 【变式1-2】如图，在中，，，，过点B作于点D． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形面积求三角形的高． （1）根据已知条件利用勾股定理即可求得的长； （2）由已知条件利用三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 即的长为10． （2）解：∵， ∴， ， ∴． 题型2已知一边一锐角解直角三角形 【例1】在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义即可推导出BC的表达式，得到答案． 【详解】解：∵ 在中，， 根据锐角正弦的定义，可得， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 【例2】如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．由题意得到，据此即可求出答案． 【详解】解：在中，， ∴ ，即 ∴ 故选：B． 【技巧归纳】 已知一条边和一个锐角（隐含直角，实际已知两个角），求解其余未知元素，核心思路是利用三角函数建立已知边和未知边的关系，步骤为： 1.利用互余关系求另一个锐角：直接由∠B=90∘−∠A计算得第二个锐角。 2.根据已知边选择对应三角函数求未知边：按照“有斜用弦，无斜用切，求对用正，求邻用余”的口诀选择函数： 若已知斜边，求直角边时，用正弦或余弦； 若已知直角边，求另一条边时，用正切； 求对边优先用正弦或正切，求邻边优先用余弦或余切。 【变式1-1】在中，，延长到点，使，连接．若，则___________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形． 设，在中，利用锐角三角函数可得，再结合，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的概念是关键；过点A作于点D；在中由余弦函数关系求得，由正弦函数关系求得；在中由，设，则，由勾股定理求得，进而求得x的值，即可求得，由可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D； 在中，，，， ∴，； 在中，， 设，则，由勾股定理得， ∴， 解得：， 即， ∴； 故答案为：． 题型3 含有特殊角的解直角三角形应用型 【例1】如图，在中，，是高．若，则 =______． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数值的计算是关键． 根据锐角三角函数的计算得到，则，，由此即可求解． 【详解】解：在中，，是高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 【例2】在中，，，，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据以及已知条件求得，进而勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ， ． 故答案为：6． 【技巧归纳】 这类题型通常涉及特殊锐角，需要牢记特殊角的三角函数值，解题时先将实际问题转化为直角三角形模型，找准已知条件对应元素，再套用基础解直角三角形方法求解。 【变式1-1】已知是锐角，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 设，，，根据勾股定理求得，通过即可求解． 【详解】解：如图，设， 在中，， 设，则， ， ． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，，．则边的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．作于点，在中利用余弦的定义得到，利用勾股定理求出，再在利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 故答案为：4． 题型4 非直角三角形的构造求解 【例1】在中，，，，则点A到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作的垂线构造直角三角形，先利用三角形内角和定理求出的度数，再结合锐角三角函数求出点A到的距离． 【详解】解：过点A作，垂足为D，则即为点A到的距离， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴点A到的距离为． 【例2】如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 【技巧归纳】 实际问题中很多三角形不是直角三角形，无法直接求解，需要通过作高构造直角三角形，将斜三角形转化为两个直角三角形，再分别解直角三角形得到结果。常见构造方法： 1.过钝角顶点作对边的高：将钝角三角形分为两个锐角直角三角形； 2.过锐角顶点作对边的延长线作高：处理包含钝角的几何图形，将外部分解出直角三角形； 3.遇有公共边的两个直角三角形，优先以公共直角边为桥计算：公共直角边是连接两个直角三角形的核心，通常先求出公共边长度，再计算所求未知量。 【变式1-1】如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：    由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 【变式1-2】如图，在中，，，，则AB的长为__________． 【答案】14 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=CD=3x，则BD=4x，根据勾股定理计算出x的值计算即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于点D， ∵，＜1=tan45°， ∴∠B＜45°， ∵tan45°=tanA=，， 设AD=CD=3x，则BD=4x， ∴， 解得x=2，x=-2舍去， ∴AB=AD+BD=7x=14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，特殊角的三角函数，熟练化斜三角形为直角三角形是解题的关键． 题型5 仰角、俯角问题 【例1】如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为，，则建筑物的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，则，，，由正切的定义得出，最后由计算即可． 【详解】解：如下，过点作于点， 则，，， ∴． ∴． 【例2】长春广播电视塔（吉塔）是长春标志性建筑之一，小明想测量吉塔的高度．在离吉塔底端B正前方12米的C处，用高为1.6米的测角仪测得吉塔顶部A处的仰角为α，则吉塔的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴米， ∴吉塔的高度为米． 【技巧归纳】 仰角是视线在水平线以上与水平线的夹角，俯角是视线在水平线以下与水平线的夹角，这类问题是中考高频应用题型，解题要点： 1.先明确测量点位置，画出水平线，标出仰角/俯角，过测量点向目标建筑物作垂线，构造直角三角形； 2.若有两次测量（如测量高度时在不同位置测仰角），设所求高度为未知数，利用两个直角三角形中公共的水平距离列方程求解； 3.注意测量仪器本身的高度，结果需要加上仪器高度，不要漏加。 【变式1-1】如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解求得，解，即可求得． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， 则扶梯的高度为． 【变式1-2】如图，在广场上空有一个气球A．地面上点B，C，D在一条直线上，．在点B，C分别测得气球A的仰角，．则气球A点离地面的高度为______．（用三角函数值表示即可） 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，在中，根据三角函数即可求得气球A离地面的高度． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 即：气球A离地面的高度约为． 【变式1-3】如图，某同学为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部A处的仰角为，则教学楼的高度约是______m．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点D作于点E，解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 根据题意可得：，，， 在中，， 即， ∴， ∴． 【变式1-4】如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】2.2 【分析】过点作，由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作 ∴，， 由题意可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型6方位角问题 【例1】一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正西方向航行5小时后，到达位于灯塔的北偏西方向的处，那么该海轮这段时间航行的平均速度是____________海里/小时（结果保留根号）． 【答案】 【分析】过点作的垂线构造直角三角形，根据方位角得到直角三角形的内角，利用锐角三角函数求出的总长度，再根据平均速度公式计算结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，， 海里， 在中， ， ， 在 中， ， ， ∵航行时间为小时， ∴平均速度为（海里/小时）． 【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东方向走到B地，再沿北偏西方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距8千米，则A，C两地的距离为________千米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形与等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ， 由题意知：， 在中，， 在中，， ∴， ． 【技巧归纳】 正弦、正切：0°~90° 随角度增大，函数值变大； 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，习惯描述为“北偏东x∘”“南偏西x∘”，解题要点： 1.先在出发点画出正北方向，按照描述标出方位角，确定目标位置； 2.利用平行线的内错角相等转移角度，将方位角转化为直角三角形的内角； 3.沿南北或东西方向作垂线，构造出直角三角形，再结合已知条件求解； 4.遇到两船航行、相向而行等双动点问题，可通过连接两点构造三角形，作垂线拆分求解。 【变式1-1】小明与小亮计划周末一同到辽沈战役纪念馆参观．小明家、小亮家和纪念馆的方位如图所示．若小亮家在小明家的正东方向，小亮家到纪念馆的距离为，则小明家与小亮家的距离约为_________．（参考数据：，，） 【答案】7 【分析】过点C作于点D，则，进而求出，，在中，，，在中，，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则， 根据题意得，，，，， ∴，， 在中，， ， 在中，，， ∴， ∴， 即小明家与小亮家的距离约为． 【变式1-2】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 【变式1-3】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则海轮所在的B处与灯塔P之间的距离是__________海里．（参考数据：，，，）． 【答案】130 【分析】根据题意得，，，解可得，进而解可得到，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，，， 在中，，， ∴海里， 在中，，， ∴海里． 【变式1-4】如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】根据特殊角的正切函数求解即可； 【详解】解：过点P作于点D， 根据题意，得， 故， 解得， 故． 题型7 坡度（坡比）问题 【例1】如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 【例2】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意求出台阶的总高度与台阶的总水平宽度，利用坡比定义求出的长，最后根据计算． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得：，， 斜坡的坡比， ， ， ． 【技巧归纳】 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（坡比），用字母i表示，即（α为坡角），坡度越大坡角越大，坡面越陡，解题要点： 1.首先明确坡度是铅直高度与水平宽度的比，不是铅直高度与坡面长度的比，不要混淆比例关系； 2.若已知坡度i=1:m，可以设铅直高度为k，水平宽度为mk，坡面长度为，利用比例关系设未知数计算更简便； 3.常见于拦水坝、山坡修路等工程问题，通常需要作高构造直角三角形，结合坡度定义计算。 【变式1-1】如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 【答案】 米 【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：分别过、作，，则， ∵斜坡的坡比，即，不妨设，则， 在中根据勾股定理：， ，解得或（不合题意，舍去）， ∴， 又∵背水坡的坡比， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ． 【变式1-2】如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 【答案】1 【分析】根据正切函数的定义求得，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵斜面的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵太阳能板的斜面长度为2米， ∴米． 【变式1-3】为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 【答案】 【分析】根据坡度为，设，则，根据勾股定理可得，解方程求出的值，再根据求出结果． 【详解】解：坡度为， ， 设，则， ，， ， 解得：或（负值舍去）， 米． 【变式1-4】如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【答案】 【分析】根据坡度的定义求出，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在中，的坡度，坝高米， ∴, 解得， ∴ 题型8 利用解直角三角形测量宽度（河宽、湖宽） 【例1】如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河一侧岸边选定点P和点B，在河对岸选定一点A，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴小河宽度为米， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【例2】如图，要测量小河的宽度，在小河边取的垂线上的一点，测得，，则小河的宽度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度． 【详解】解：∵PA⊥PB，PC=50米，∠PCA=35°， ∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50tan35°(米)． 故选：A． 【点睛】考查考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【技巧归纳】 这类问题是解直角三角形在实际测量中的经典应用，核心思路是利用两次测量得到两个直角三角形，通过公共边建立方程求解宽度，常见两种出题形式： 1.同岸两点测量：在河岸一侧取两个点，分别测量对岸目标点的角度，以及两点之间的距离，设河宽为未知数，利用两个直角三角形的水平距离差列方程； 2.两岸对测：在两岸分别取点，利用全等或角度关系构造直角三角形，直接计算宽度。 【变式1-1】如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为_____________米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值． 【详解】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 由已知可得，米，，，米， (米)，(米)， 米，米， ，， (米) 故答案为：． 【变式1-2】黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A，兴趣小组以A为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为．求河的宽度为________．（结果精确到，参考数据，，）      【答案】197 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．过点A作于点，设，则，根据，即可列出方程． 【详解】解：如图，过点A作于点， 设， 由图可知，，， 在中， ，， ， 在中， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， ， 答：河的宽度约为． 故答案为：197． 1．由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于H．利用正弦求得，利用余弦求得，求出，然后求得的值． 【详解】解：如图，过点C作于H． ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴污渍部分内容为． 2．在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 3．在中，，，则的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【分析】解题思路是作底边的高，利用锐角正弦定义和勾股定理求出底和高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴． 4．人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 5．白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴白塔的高度为米． 6．冬季降水减少，很多河里河水枯竭，正是疏浚河道的好时机．如图是某河堤的横断面，堤高米，迎水坡的坡比是，则河堤的长是（     ）米． A． B．20 C． D． 【答案】B 【分析】利用坡比求出米，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：迎水坡的坡比是， 米， 米， （米）． 7．如图所示，在中，点D为的中点，且，则________． 【答案】 【分析】延长到，使，连接．证明，得到，，设，则，根据三角函数求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：延长到，使，连接． ∵是中点， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．在中，，O是的中点，连接．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，画出图形，根据正弦和余弦的定义，以及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 10．如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，） 【答案】63. 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，计算BC，AB的长度，比较AC+BC与AB的大小即可. 【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵米，，， ∴DC=BD=90，AD=90，BC=90， ∴AC+BC=180+90≈306， AB=AD+BD=90+90≈243， ∴缩短了：306-243=63（米）， 故答案为：63米. 【点睛】本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键. 11．如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 【答案】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质求出的度数，在中利用锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，主塔垂直于江面， ∴ ，即． ∵ 从点观测点的俯角，且水平线与江面平行， ∴ ， 在中，，米，， ∴ ∴ ． 12．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 13．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为______________m． 【答案】 【分析】坡比即为坡角的正切值，据此求出，再利用勾股定理求出坡面的长度． 【详解】解：在中，，， ， ． 14．在中，． (1)若，，求a，b的值； (2)若，，求，和c的值． 【答案】(1) ， (2) ，， 【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出； （2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， 即， 解得； （2）解：根据勾股定理，得， 即， 解得． 在中，， ∴， 则， ∴． 15．如图，在中，，于D，若，求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可． 【详解】解：， ， 在中，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 设、， ， 在中，由勾股定理得：， ． 16．如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 17．如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点D， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，． 18．在一次海上反潜演习中，我军舰测得潜艇和的连线与海平面的夹角为，位于军舰正上方的反潜直升机测得潜艇和连线与水平线的夹角为，试根据以上数据求出潜艇离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】潜艇离开海平面的下潜深度为 【分析】如图：过点作交的延长线于，则，，，在和中解直角三角形表示出、，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于，则，， 设， 在中，，由， ∴， 在中，，由， ∴； ∴， 解得：， ∴潜艇离开海平面的下潜深度为． 19．如图，某勘测队计划在、两座岛屿之间修建跨海大桥．为测量两岛之间的距离，勘测队在海岸线上选取了两个观测点和，其中在的正东方向，且米．在观测点处测得：岛屿在北偏西方向上，岛屿在北偏东方向上．在观测点处测得：岛屿在北偏东方向上，岛屿在北偏东方向上．、、、在同一水平面内． (1)求观测点到岛屿的距离（结果保留整数）； (2)求岛屿、之间的距离（结果保留整数）．参考数据：，，；，，； 【答案】(1)观测点到岛屿的距离为588米 (2)岛屿、之间的距离约为1075米 【分析】（1）过作于，设，求解，，再进一步求解即可； （2）连接， 证明，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过作于，设， 由题意可得：，， 在中， ∴,， 在中，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）； 答：观测点到岛屿的距离为588米． （2）解：连接，由题意得：，， 在中：， ∴， ∴， ∴（米）． 答：岛屿、之间的距离约为1075米． 20．如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $