第5讲 锐角的正弦、余弦和正切（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第05讲 锐角的正弦、余弦和正切 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 已知直角三角形三边，直接求锐角三角函数值 题型2 已知三角函数值，求线段长度 题型3 特殊角三角函数计算 题型4 网格中求锐角三角函数 题型5 等角转换求三角函数 题型6 三角函数大小比较 题型7 互余两角三角函数的关系 题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正弦sin：对边比斜边、 余弦cos：邻边比斜边 、正切tan：对边比邻边 、直角三角形、锐角 1. 理解正弦、余弦、正切的定义，能准确分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，熟练写出三类三角函数表达式。 2. 掌握特殊锐角三角函数值，会直接求值，也能根据函数值反求对应锐角度数。 3. 会运用三角函数边角关系、互余角函数关系进行简单计算与边角转化。 学习重点：正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，正确写出三边比值。熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值，熟练完成求值计算。 学习难点：区分同一锐角的对边与邻边，避免 sin、cos、tan 公式混淆。灵活运用互余两角三角函数转换关系解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 锐角三角函数的定义 1.范围：在三角形中，对于一个锐角，我们定义三种基本三角函数： 设中，，斜边，的对边，的邻边，则： 2.正弦：锐角A的与斜边的比叫做的正弦，记作，即 3.余弦：锐角A的与斜边的比叫做的余弦，记作，即 4.正切：锐角A的对边与的比叫做的正切，记作，即 即时即练 1．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，本质是两条线段的比值，它们只是一个数值，没有单位，其大小只和锐角的大小有关，和直角三角形边长的具体大小无关，也和三角形的位置无关。 2.符号sinA、cosA、tanA是一个整体符号，不能误认为是sin与A相乘，分开书写没有意义。当用三个字母表示角（如∠ABC）时，角的符号不能省略，写作sin∠ABC。 知识点02 特殊锐角的三角函数值 锐角 1 即时即练 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 2．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．若的余角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.规律记忆法：正弦值随着角度的增大从12到22再到32，分母都是2，分子依次是1、2、3；余弦值反过来，从32降到12，分母同样是2，分子依次是3、2、1；正切值为33、1、3，随着角度增大而增大。 2.图形记忆法：画出含30∘角的直角三角形（边长为1,3,2）和等腰直角三角形（边长为1,1,2），直接根据定义计算即可推导得到结果，不必死记硬背。 知识点03 锐角三角函数的增减性 当锐角在之间变化时： 1. 正弦值随着的增大而，随着的减小而减小； 2. 余弦值随着的增大而，随着的减小而增大； 3. 正切值随着的增大而增，随着的减小而减小。 即时即练 1．以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 2．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 3．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 我们可以利用增减性比较两个同类型锐角三角函数的大小，也可以根据三角函数值的范围反推锐角的范围。例如：比较sin28∘和sin31∘，因为正弦在锐角范围内递增，所以sin28∘<sin31∘；比较cos28∘和cos31∘，因为余弦在锐角范围内递减，所以cos28∘>cos31∘。 题型1已知直角三角形三边，直接求锐角三角函数值 【例1】如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.找准目标锐角：分清对边、邻边、斜边，斜边永远是直角对的最长边； 2.严格套定义：正弦看对斜，余弦看邻斜，正切看对邻； 3.结果化为最简分数，不保留小数。 【变式1-1】如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【变式1-2】在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． 【变式1-4】在中，，，，那么的值是________． 题型2已知三角函数值，求线段长度 【例1】电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【例2】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【技巧归纳】 设未知数：根据三角函数比例设边长，结合勾股定理列方程求解 k，再算各边； 特殊角直接用固定倍数关系快速计算。 【变式1-1】在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【变式1-2】如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型3 特殊角三角函数计算 【例1】计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【例2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 熟记 30°、45°、60° 对应数值，平方先算三角函数再平方； 乘除优先，再加减，含根号最后统一化简； 【变式1-1】在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式1-2】在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，若，则的值为____． 【变式1-4】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 题型4 网格中求锐角三角函数 【例1】如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【技巧归纳】 过角顶点作水平线、竖直线，围成直角三角形； 数格子得到直角边长度，不用算斜边优先求正切； 若角不在格点直角内，用外角、互余转化为网格直角角。 【变式1-1】如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为（     ） A． B． C． D．2 【变式1-2】如图，点在正方形网格点上，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型5 等角转换求三角函数 【例1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 互余两角：一个角的正弦 = 另一个角的余弦； 平行线同位角、内错角相等，三角函数值相等； 等腰三角形底角相等，可等量代换； 不直接求目标角，转化到易求边长的直角三角形。 【变式1-1】若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型6 三角函数大小比较 【例1】比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【例2】下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 正弦、正切：0°~90° 随角度增大，函数值变大； 余弦：0°~90° 随角度增大，函数值变小； 同函数直接比角度；不同函数统一转化为同角再比较。 【变式1-1】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【变式1-3】已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型7 互余两角三角函数的关系 【例1】设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 互余两角，一角正弦等于另一角余弦，余弦等于另一角正弦。 2. 遇到直角三角形中两锐角转换，直接用该关系替换函数名快速化简。 3. 比较互余角三角函数大小时，借助互余关系统一函数再判断更简便。 【变式1-1】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【变式1-2】若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例1】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 正弦、正切随锐角增大而变大，余弦随锐角增大而减小。 2. 已知函数值范围，对照增减性反向推出角度区间。 3. 遇不等关系先统一函数名称，再对比特殊角函数值分界。 4. 取值始终限定在0°到90°之间，结果不取边界直角。 【变式1-1】若是锐角，，则取值范围为________． 【变式1-2】若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 1．在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 2．已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 3．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，，分别是，，的对边．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，斜边的长为m，，则直角边的长是（    ） A． B． C． D． 10．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 11．已知为锐角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，若，则AB的长为_____． 13．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 14．在中，，，，则__________． 15．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 16．已知 (为锐角)，则 ___________ 17．比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 18．计算： 19．计算：． 20．计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 锐角的正弦、余弦和正切 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 已知直角三角形三边，直接求锐角三角函数值 题型2 已知三角函数值，求线段长度 题型3 特殊角三角函数计算 题型4 网格中求锐角三角函数 题型5 等角转换求三角函数 题型6 三角函数大小比较 题型7 互余两角三角函数的关系 题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正弦sin：对边比斜边、 余弦cos：邻边比斜边 、正切tan：对边比邻边 、直角三角形、锐角 1. 理解正弦、余弦、正切的定义，能准确分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，熟练写出三类三角函数表达式。 2. 掌握特殊锐角三角函数值，会直接求值，也能根据函数值反求对应锐角度数。 3. 会运用三角函数边角关系、互余角函数关系进行简单计算与边角转化。 学习重点：正弦、余弦、正切的概念，分清直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边，正确写出三边比值。熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值，熟练完成求值计算。 学习难点：区分同一锐角的对边与邻边，避免 sin、cos、tan 公式混淆。灵活运用互余两角三角函数转换关系解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 锐角三角函数的定义 1.范围：在三角形中，对于一个锐角，我们定义三种基本三角函数： 设中，，斜边，的对边，的邻边，则： 2.正弦：锐角A的与斜边的比叫做的正弦，记作，即 3.余弦：锐角A的与斜边的比叫做的余弦，记作，即 4.正切：锐角A的对边与的比叫做的正切，记作，即 即时即练 1．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 2．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【方法总结】 1.正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，本质是两条线段的比值，它们只是一个数值，没有单位，其大小只和锐角的大小有关，和直角三角形边长的具体大小无关，也和三角形的位置无关。 2.符号sinA、cosA、tanA是一个整体符号，不能误认为是sin与A相乘，分开书写没有意义。当用三个字母表示角（如∠ABC）时，角的符号不能省略，写作sin∠ABC。 知识点02 特殊锐角的三角函数值 锐角 1 即时即练 1．的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：． 2．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的正弦函数值．只需代入已知的特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 3．若的余角是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的定义，特殊角的三角函数值．先依据余角的定义求出的度数，再结合特殊角的三角函数值计算的值． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴． 故选：A． 【方法总结】 1.规律记忆法：正弦值随着角度的增大从12到22再到32，分母都是2，分子依次是1、2、3；余弦值反过来，从32降到12，分母同样是2，分子依次是3、2、1；正切值为33、1、3，随着角度增大而增大。 2.图形记忆法：画出含30∘角的直角三角形（边长为1,3,2）和等腰直角三角形（边长为1,1,2），直接根据定义计算即可推导得到结果，不必死记硬背。 知识点03 锐角三角函数的增减性 当锐角在之间变化时： 1. 正弦值随着的增大而，随着的减小而减小； 2. 余弦值随着的增大而，随着的减小而增大； 3. 正切值随着的增大而增，随着的减小而减小。 即时即练 1．以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 2．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 3．三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：和都小于1，大于1，故最大；只需比较和，又，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知． 又∵，正弦值随着角的增大而增大， ∴， ∴， 故选C ． 【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键． 【方法总结】 我们可以利用增减性比较两个同类型锐角三角函数的大小，也可以根据三角函数值的范围反推锐角的范围。例如：比较sin28∘和sin31∘，因为正弦在锐角范围内递增，所以sin28∘<sin31∘；比较cos28∘和cos31∘，因为余弦在锐角范围内递减，所以cos28∘>cos31∘。 题型1已知直角三角形三边，直接求锐角三角函数值 【例1】如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 【例2】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【技巧归纳】 1.找准目标锐角：分清对边、邻边、斜边，斜边永远是直角对的最长边； 2.严格套定义：正弦看对斜，余弦看邻斜，正切看对邻； 3.结果化为最简分数，不保留小数。 【变式1-1】如图为人行天桥的示意图，若高长为米，斜道长为米，则的值为_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由正切函数定义求解即可． 【详解】解：在中，，，则由勾股定理可得， ． 【变式1-2】在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，小嘉在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度，则______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，是直角三角形，， ，， 根据正切函数的定义： ． 【变式1-4】在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 题型2已知三角函数值，求线段长度 【例1】电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 【例2】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵米， ∴米． 【技巧归纳】 设未知数：根据三角函数比例设边长，结合勾股定理列方程求解 k，再算各边； 特殊角直接用固定倍数关系快速计算。 【变式1-1】在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 【变式1-2】如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，再根据正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为， ∴， ∴． 题型3 特殊角三角函数计算 【例1】计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【例2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 ． 【技巧归纳】 熟记 30°、45°、60° 对应数值，平方先算三角函数再平方； 乘除优先，再加减，含根号最后统一化简； 【变式1-1】在中，，都是锐角，且，，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】解：∵都是锐角，且，， ， ， ∴的形状是钝角三角形， 故选：B． 【变式1-2】在中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用非负数相加和为0则每一项都为0，求出和的度数，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，， ∵ 在中，，， ∴，， ∵ 三角形内角和为， ∴. 【变式1-3】如图，在中，若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】先根据特殊角的三角函数值得到和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形的分类判断三角形类型． 【详解】解：在中，，都是锐角，，， ，， ， 的三个内角都是， 因此是等边三角形． 题型4 网格中求锐角三角函数 【例1】如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 【例2】如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查正弦，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图 有， ∴． 故选B． 【技巧归纳】 过角顶点作水平线、竖直线，围成直角三角形； 数格子得到直角边长度，不用算斜边优先求正切； 若角不在格点直角内，用外角、互余转化为网格直角角。 【变式1-1】如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理以及逆定理证明，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∴ ∴ ∴． 【变式1-2】如图，点在正方形网格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由三角形的面积可得，即得，再根据余弦的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由网格得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-3】如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取格点，连接，根据网格特征和勾股定理逆定理可知，再根据正切函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【变式1-4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由勾股定理得，，再根据三角形的面积可得，即得，最后根据正切的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型5 等角转换求三角函数 【例1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数值的计算，可先依据锐角余弦的定义设出直角三角形的边长，再利用勾股定理求出另一条直角边，最后根据正切的定义计算出的值． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设，（）， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 【技巧归纳】 互余两角：一个角的正弦 = 另一个角的余弦； 平行线同位角、内错角相等，三角函数值相等； 等腰三角形底角相等，可等量代换； 不直接求目标角，转化到易求边长的直角三角形。 【变式1-1】若A为锐角，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理. 先解得到，则可设，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图，在中，，， ∴可设， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 题型6 三角函数大小比较 【例1】比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【详解】解：， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即． 【例2】下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，特殊角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值是关键．根据锐角三角函数的增减性及特殊角三角函数值，先判断，再判断，再结合， 即可判断答案． 【详解】解：锐角的余弦值随角度增大而减小，且， ， 锐角的正弦值随角度增大而增大， ， 锐角的正切值随角度增大而增大，且， ， 综上所述，的值最大． 故选：B． 【技巧归纳】 正弦、正切：0°~90° 随角度增大，函数值变大； 余弦：0°~90° 随角度增大，函数值变小； 同函数直接比角度；不同函数统一转化为同角再比较。 【变式1-1】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 利用三角函数的关系将转化为，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较和，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较与即可． 【详解】解：， 又在锐角范围内，余弦函数递减，且， ， 即． ，且正切函数在锐角范围内递增，， ， 又∵（余弦函数递减，）， ， 综上，． 故选：D． 【变式1-2】如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 【变式1-3】已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 题型7 互余两角三角函数的关系 【例1】设，则用a可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数的性质，熟练掌握两个互余角的正切值乘积为1是解题的关键．对于锐角，有，由题意即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【例2】在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【技巧归纳】 1. 互余两角，一角正弦等于另一角余弦，余弦等于另一角正弦。 2. 遇到直角三角形中两锐角转换，直接用该关系替换函数名快速化简。 3. 比较互余角三角函数大小时，借助互余关系统一函数再判断更简便。 【变式1-1】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了互余角的三角函数关系．利用互余角的三角函数关系将转化为，然后计算差值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-2】若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围 【例1】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，，，且正弦函数在锐角范围内单调递增，由此可推导的取值范围。 【详解】∵ ，，且当为锐角时，随的增大而增大， ∴ 由 ，得； 由，得 ； 故 ， 故选：A． 【例2】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 【技巧归纳】 1. 正弦、正切随锐角增大而变大，余弦随锐角增大而减小。 2. 已知函数值范围，对照增减性反向推出角度区间。 3. 遇不等关系先统一函数名称，再对比特殊角函数值分界。 4. 取值始终限定在0°到90°之间，结果不取边界直角。 【变式1-1】若是锐角，，则取值范围为________． 【答案】 【分析】先根据是锐角得到的初步范围，再结合特殊角的正弦值得到，根据锐角正弦函数的增减性即可求出的取值范围． 【详解】解：是锐角， ， ，锐角的正弦值随角度的增大而增大，且， ， 综上可得 ． 【变式1-2】若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 1．在，，若的三边都缩小到原来的，则的值（   ） A．放大5倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，，锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比值， ∵的三边都缩小到原来的， ∴的对边与斜边的比值不变， ∴的值不变． 故选：C． 2．已知为锐角，则的值不可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即． 根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答． 根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数． 【详解】解：∵ α为锐角， ∴， ∴． ∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2． 故选D． 3．如图，在Rt中，于点．下列不能表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出、、均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出即可. 【详解】解：如图，、、均为直角三角形， A、在中，故A可以表示； B、在中，故B可以表示； C、不能表示 D、，，，在中，，故D可以表示； 故选：C. 【点睛】本题考查了余弦的概念，熟练掌握余弦概念辨析是解题关键． 4．在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 5．如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 6．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于D，利用锐角三角函数的定义列式即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， 则点A到的距离为． 7．在中，，，，分别是，，的对边．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正弦的定义和勾股定理，掌握正弦的定义是解题关键． 在直角三角形中，利用正弦定义和勾股定理，求出a与b的比值即可． 【详解】解：由题意，可知， 设（），则， 由勾股定理，得， ∴， 故选：B． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，勾股定理，构造出直角三角形是解题的关键．过点C作于点D，则，，由勾股定理求出，再由余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点C作于点D， 则，，． ∴由勾股定理得． ． 故选：D． 9．如图，在中，斜边的长为m，，则直角边的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义． 由余弦的定义得到，再代入求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 故选：B． 10．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 11．已知为锐角，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了互余两角三角函数之间的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握互余两角三角函数之间的关系是解决问题的关键．根据互余两角三角函数之间的关系得出：，即可解答． 【详解】解：由互余两角三角函数之间的关系可得： ， ， 故选：D． 【点睛】 12．如图，在中，，若，则AB的长为_____． 【答案】9 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 直接利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 解得：． 故答案为：9． 13．在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 【答案】 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 14．在中，，，，则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、余弦的定义． 根据勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图： ， 在中，，，， 由勾股定理得AB= 所以． 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 16．已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 17．比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，角度越大，正弦值越大． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 18．计算： 【答案】 【详解】解：原式 19．计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，完全平方公式等计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】 = = = 【点睛】此题考查了实数的运算和特殊角的三角函数值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $