（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

**基本信息** 聚焦七年级下册六大核心考点，通过“考点汇总+跟踪训练”模式，整合规律归纳、图形验证、逻辑推理等解题方法，构建“概念-原理-应用”知识链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的乘除|4题|规律归纳、图形验证等式|从幂运算到公式推导，结合几何直观理解代数原理| |相交线与平行线|4题|逻辑推理、作图规范|性质与判定互推，通过辅助线构建平行关系| |概率初步|4题|列表/树状图、频率估计概率|从古典概型到统计概率，培养数据意识| |三角形|4题|全等证明、尺规作图|等腰三角形性质延伸，结合平行线证角平分线| |图形的轴对称|4题|轴对称性质应用、全等转化|对称性质与三角形全等结合，提升空间观念| |变量之间的关系|4题|表格分析、函数建模|从实际问题抽象变量关系，发展模型意识|

（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 考点汇总 考点一：整式的乘除 考点二：相交线与平行线 考点三：概率初步 考点四：三角形 考点五：图形的轴对称 考点六：变量之间的关系 跟踪训练 考点一：整式的乘除 1．计算： （1） （2）(用科学记数法表示) 2．某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现： ， 即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如：． （1）利用上述结论直接写出___________； （2）若两位数的十位数字为，请用代数式推理方式说明上述结论的准确性． 3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)． （1）上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个) A． B． C． （2）应用你从(1)选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 4．观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 请解答下列问题： （1）按照上述规律，第⑤个等式为_______；第⑩个等式为________； （2）猜想的结果，并证明你的猜想； （3）若对于用正整数n、表示的两个奇数和，它们的平方差结果为120．请求出所有满足条件的． 考点二：相交线与平行线 5．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）． 6．已知：如图，AD∥BC，∠B+∠BCD=180°，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E. 求证：∠CFE=∠E. 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠2=∠E　 　. ∵AE平分∠BAD（已知）， ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∴∠E=∠1　 　. 又∵∠B+∠BCD=180°（已知）， ∴AB∥　 　　 　. ∴∠1=　 　（两直线平行，同位角相等）. ∴∠CFE=∠E（等量代换）. 7．如图，在四边形ABDC中，点E在边AB上，连接CE，点F在CE上，连接DF， ∠B=∠DCE. （1）求证： AB∥CD； （2）若∠A=75°， ∠ACE=2∠DCE，求∠B的度数. 8． 【问题背景】 如图，已知直线AB∥DE，点C为直线AB，ED之间的一个动点，连接CB，CD，BE，DA，BE和DA交于点F，且BE平分∠ABC，DA平分∠CDE. （1）【问题提出】 如图1，试说明：∠BAD=∠ADC； （2）【拓展延伸】 如图2，连接CF，在点C运动过程中，当满足AD∥BC，CF∥AB时. ①∠CFB=50°，求∠BCD度数； ②若，求∠BCD度数. 考点三：概率初步 9．一个箱子中共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同. （1）从箱子中随机摸出一个球后，放回箱子，搅匀后再摸出一个球，请画树状图或列表求两次摸出的球都是白球的概率. （2）小慧向这个箱子中再放入m个红球，若此时从箱子中随机摸出一个球是红球的概率为，求m的值. 10．一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据： 摸球总次数 150 200 250 300 350 400 摸到红球的次数 a 98 126 150 173 202 摸到红球的频率 0.520 0.490 b 0.500 0.494 0.505 （1）上表中的a＝　 　 ，b＝　 　 （小数形式）； （2）“摸到红球”的概率估计为　 　 ；（精确到0.1） （3）若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共30个，其中白球的个数比黑球个数的3倍少1个，求摸到黑球的概率． 11．剪纸窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱.手工制作课上，小轩剪了4张窗花，然后将其粘在大小相同的正面是白色的卡片（背面完全相同）上，然后将这些卡片背面朝上洗匀，放置在桌面上. （1）若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的窗花图案是“中心对称图形”的概率是　 　； （2）若小轩从中随机抽取一张卡片，记录下窗花的图案，放回洗匀，再从中随机抽取一张，记录下窗花的图案.请用列表或画树状图的方法，求两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率. 12． 本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形)，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率m 0. 29 0. 3 0. 31 a 0. 296 （1）填空： a=　 　； b=　 　； （2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　 　；（结果精确到 0. 1) （3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗?为什么? 考点四：三角形 13．如图，已知△ABC，CA=CB，点D在BC的延长线上. （1）请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB.（保留作图痕迹，不写作法）； （2）当∠B=70°时，证明射线CP平分∠ACD. 14．如图，在△ABD中， AC是BD边上的高， 点E在AC上，AC=BC，CE=CD，连接BE并延长，交AD于点 F. （1） 求证： BE = AD： （2） 若BF平分∠ABD， AF = 2， 求BE的长. 15．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 16．已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B。 （1）【特例探究】如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若，则∠DAE的度数为　 　； （2）【一般推导】如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G。请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　 　； （3）【拓展应用】如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G。若，求∠B的度数。 考点五：图形的轴对称 17．如图，点D在AC边上，∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2. （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1=45°，求∠BDE的度数. 18．在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H． （1）求证： （2）若AH=AG； ①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由； ②说明．BH=2OE 19．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图． （1）在图1中作出关于直线对称的． （2）在图2中作出的高线． 20．如图，是的高，平分交于点E，过点作，垂足为点F，并交于点G，且． （1）求证：； （2）试探究线段，和三者间的数量关系，并证明你的结论． 考点六：变量之间的关系 21． 某快递公司同城快递的收费标准如下表(质量不足1kg按1kg计)： 质量/ kg 1 2 3 4 5 费用/元 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量，哪个是因变量? （2）随着交寄物品质量的增加，快递的费用是怎样变化的? 22．中国联通在某地的某套餐的月租金为59元，超出套餐部分国内拨打0.36元/分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）.下表是超出套餐部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … （1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果用 表示超出套餐部分的拨打时间， 表示超出套餐部分的电话费，那么 与 的关系式是什么？ （3）由于业务多，小明的爸爸上个月拨打电话的时间超出套餐部分25分钟，他需付多少电话费？ （4）某用户某月国内拨打电话的费用超出套餐部分的是54元，那么他该月拨打电话的时间超出套餐部分几分钟？ 23．如图，长方形是小丽家的部分结构示意图，现准备用一堵隔墙（点分别在边上）将长方形分成两个小长方形，分别作为客厅和餐厅．已知米，米，随着长度的变化，餐厅的面积也在不断变化． （1）若的长为米，餐厅（长方形）的面积为平方米，求与的关系式； （2）当时，求餐厅的面积． 24．如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示． （1）图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … （3）当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= 2．【答案】（1）9025 （2）解：由题意：这个两位数为：， 它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：， ， 末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25 3．【答案】（1）B （2）解：①∵，∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ②原式 ． ​​​​ 4．【答案】（1）；； （2）解：猜想：， 证明： （3）解：由题意可得：， 变形化简得到，， ∵n、都为正整数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意，舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意，舍去）， 此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意， 综上所述，符合题意的有：，，，． 5．【答案】解：如图所示，直线CF即为所求的直线． 6．【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；同旁内角互补，两直线平行；∠CFE 7．【答案】（1）证明：∵∠BDF+∠DFE=180°， ∴BD∥CE， ∴∠B=∠AEC， 又∵∠B=∠DCE， ∴∠DCE=∠AEC， ∴AB∥CD. （2）解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠ACD=180°， ∵∠A=75°， ∴∠ACD=180°-75°=105°， ∵∠ACE=2∠DCE， ∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=3∠DCE， 又∵∠B=∠DCE， ∴∠B=35°. 8．【答案】（1）证明：∵DA平分∠CDE， ∴∠ADE=∠ADC， ∵AB∥ED， ∴∠ADE=∠BAD， ∴∠BAD=∠ADC （2）解：①100°；②108° 9．【答案】（1）解：画树状图如下， 一共有9种等可能的结果，两次都是白球的结果有4种， 所以两次摸到都是白球的概率是​​​​​​​ （2）解：由题意，得， 解得m=5. 经检验，m=5是原方程的解 10．【答案】（1）78；0.504 （2）0.5 （3）解：设黑球 x 个，白球 (3x−1) 个， ∵摸到红球的概率为0.5， ∴红球 15 个。 ∴x+(3x−1)+15=30， 解得 x=4， ∴P (黑球)== 11．【答案】（1） （2）画树状图如图. 观察4张卡片上的窗花图案，是轴对称图形的有A和D两张卡片，共有16种等可能的结果，其中两次记录的窗花图案恰好都是轴对称图形的结果有4种，∴两次记录的窗花图案均是“轴对称图形”的概率为 12．【答案】（1）0. 305；148 （2）0.3 （3）解：游戏公平，理由如下： 观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份. ∴ P（小明获胜) P（小红获胜) ∵ P（小明获胜)=P（小红获胜)， ∴这个游戏公平。 13．【答案】（1）解：如图，在 AC的右侧作∠ACP=∠A，则射线 CP 即为所求. （2）解：∵CA=CB， ∴∠A=∠B=70°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=40°， ∴∠ACD=180°-∠ACB=140°. ∵CP∥AB， ∴∠ACP=∠A=70°， ∴射线 CP平分∠ACD. 14．【答案】（1）证明：∵AC是BD边上的高， ∴∠BCE=∠ACD=90°， 在△BCE和△ACD中， CE=CD，∠BCE=∠ACD，BC=AC， ∴△BCE≌△ACD(SAS)， ∴BE=AD； （2）解：由（1）知△BCE≌△ACD， ∴∠CBE=∠CAD， ∵∠ACD=90°， ∴∠CAD+∠D=90°， ∴∠CBE+∠D=90°， ∴∠BFD=∠BFA=90°， ∵BF平分∠ABD， ∴∠DBF=∠ABF， 在△DBF和△ABF中， ∠DBF=∠ABF，BF=BF，∠BFD=∠BFA， ∴△DBF≌△ABF(ASA)， ∴DF=AF， ∵AF=2， ∴DF=2， ∴AD=AF+DF=4， 由（1）知BE=AD， ∴BE=4． 15．【答案】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 16．【答案】（1）15° （2）∠EPG= （3）解：设∠EAD＝∠CAD＝2α， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝4α。 ∴∠BAD＝6α，∠BAC＝8α。 ∵∠ADE＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣6α。 ∵EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM， ∴∠PEM=∠AEM，∠PCM=∠ACM。 ∵∠EPC+∠PEC+∠PCE=180°，∠PCE+∠PCM=180°， ∴∠EPC＝∠PCM﹣∠PEM=∠ACM-∠AEM。 ∵∠AEM+∠AEB=180°，∠B+∠BAE+∠AEB=180°， ∴∠AEM＝∠B+∠BAE=90°﹣6α+4α=90°﹣2α。 ∵∠ACM+∠ACB=180°，∠ACB+∠B+∠BAC=180°， ∴∠ACM＝∠B+∠BAC=90°﹣6α+8α=90°+2α。 ∴∠EPC＝∠ACM-∠AEM＝2α，∠PCM=∠ACM=（90°+2α）＝45°+α。 ∵PG⊥BC， ∴∠PCG+∠CPG＝90°。 ∵∠CPG=（∠B+∠CPE）=（90°﹣6a+2α）=（90°﹣4a）， ∴（45°+α）+（90°﹣4a）＝90° 解得α＝9° ∴∠B＝90°﹣6α＝36° 17．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，∠2+∠BDE=∠ADE=∠1+∠C， ∴∠BDE=∠C， 在△AEC和△BED中， ∴△AEC≌△BED（AAS） （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴ED=EC， ∴∠C=∠EDC， ∵∠1=45°， ∴ ∴∠BDE=67.5°． 18．【答案】（1）证明：∵BE⊥OF于E点， ∴∠BEO=90°， ∴∠BAO=90°=∠BEO， ∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE， ∴∠ABH=∠AOF， 在△ABH和△AOF中， ∠ABH=∠AOH，∠BAH=∠OAF=90°，AB=AO， （2）解：①BE是△OBF是角平分线． 理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG， ∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD ∵AD⊥BO于D点， ∴∠GBD+∠BGD=90°， ∵∠BAO=90°， ∴∠ABH+∠AHB=90°， ∴∠GBD=∠ABH， ∴BE是△OBF是角平分线． ②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF， ∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF 在△BOE和△BFE中 ∠EBO=∠EBF，∠BEO=∠BEF=90°，BE=BE， ∴△BOE≌△BFE（AAS) ∴EF=OE= ∴BH=2OE． 19．【答案】（1）解：如图所示，点关于直线的对称点为点，即为所求； （2）​解：如图1所示， 可知， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴，即BE就是△ABC的高线. 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 21．【答案】（1）解：上表中反映的是质量和费用之间的函数关系，其中质量是自变量，费用是因变量. （2）解：根据表格中的数据可得，当交寄物品质量每增加1kg时，费用多交2元. 22．【答案】（1）解：国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量 （2）解：由题意可得：y=0.36x； （3）解：当x=25时，y=0.36×25=9（元）， 即如果打电话超出25分钟，需付59+9=68（元）的电话费； （4）解：当y=54时，x= =150（分钟）. 答：小明的爸爸打电话超出150分钟. 23．【答案】（1）解：长方形的面积， 因为米，米，米， 所以平方米， 故与的关系式是； （2）解：当，即时，（平方米）． 答：此时餐厅的面积为36平方米． 24．【答案】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与△ADP的面积之间关系； 点运动的路程为自变量，的面积是因变量 （2）； （3）解：由（2）得，. 由（1）当点P在AB边上运动时，即0≤x＜4时， ， ， 当点在上运动时，即7≤x＜11时， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $