湖北省武汉市江岸区2025-2026学年七年级下学期期末数学练习试卷

**基本信息** 融合《孙子算经》文化素材与超市进货等生活情境，梯度覆盖代数、几何、统计核心知识，通过动态几何、规律探究题培养推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平方根、不等式性质、坐标系、统计调查|第8题以《孙子算经》古题考查方程组建模，体现文化传承| |填空题|6题|折叠性质、不等式组、菱形与等腰直角三角形综合|第16题结合菱形动态探究BF取值范围，培养空间观念| |解答题|8题|平行线证明、统计图表分析、几何旋转综合|第24题通过线段旋转探究等腰三角形存在性，第22题以进货方案考查方程组与不等式应用，强化模型意识|

2025-2026学年湖北省武汉市江岸区七年级（下）期末数学练习试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 2．以下调查中，适宜全面调查的是（　　） A．检测北京市的空气质量 B．调查某湖泊中现有鱼的数量 C．选取某校八年级（3）班跑步最快的同学，代表班级参加校级运动会 D．了解朝阳区学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况 3．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到y轴的距离是4，到x轴的距离是5，则P点的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4） 4．若m＞n，则下列式子一定成立的是（　　） A．m + 3＜n + 3 B．﹣5m＞﹣5n C． D．m^2＞n^2 5．已知是方程2x+3y ＝ 5的解，则b的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠1+∠2＝180°，则下列结论中正确的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3+∠4＝180° C．∠3＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 7．x取哪些整数值时，3≤4x﹣5＜13成立（　　） A．2，3，4 B．3，4 C．4，5 D．3，4，5 8．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中有一个问题：“今有铜币八枚，铁币十二枚，称之重适等．交易其一，铜轻十两．问铜、铁一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有铜币8枚（每枚铜币重量相同），乙种袋子中装有铁币12枚（每枚铁币重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了10两（袋子重量忽略不计）．问铜币、铁币每枚各重多少两？设每枚铜币重x两，每枚铁币重y两，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 9．已知关于x，y的方程组的解都是正数，m+n ＝ 6，p ＝ 3m﹣5n﹣12，则p的取值范围为（　　） A．p＜﹣50 B．p＞﹣50 C．p＜﹣28 D．p＞﹣28 10．将点A（﹣1，﹣2）的横纵坐标分别求其相反数得到（1，2），再将（1，2）的横纵坐标分别求与1的和的倒数得到点，称为一次操作，记为（a1，b1），第二次操作是将（a1，b1）再进行上述操作得到A2（a2，b2），第三次操作是将（a2，b2）再进行上述操作得到A3（a3，b3）…以此类推．下列说法： ①a3＝﹣1，b3＝﹣2； ②； ③a9b9＝3； ④a1+b1+a2+b2+…+a72+b72＝32． 其中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．25的算术平方根是． 12．把方程4x+y﹣2 ＝ 0改写成含x的式子表示y的形式得． 13．将长方形纸条如图折叠，已知AC′∥BD′，∠EFD＝145°，则∠BFD＝　 　 °． 14．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是． 15．下列结论：①频数分布表中，组距是它本身的数只有1；②如果点P（m+n，mn）在第二象限，那么点Q（m，n）在第四象限；③已知是关于x，y的方程组的解，则m，n满足的条件为n ；④一个容量为50的样本中，最大数据为178，最小数据为135，取组距为7，则可分成7组．其中正确的是 （填写正确结论的序号）． 16．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（1）计算：；（2）解方程组． 18．计算： （1）； （2）sin﹣130°﹣|1|+2cos45°． 19．如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 20．某初级中学组织学生讲题大赛活动，参赛选手的选题分别分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实现四个学习领域、依据选题所展领域、选题数量，绘制了如图尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次活动所选题目总数量为　 　 ，在图1中，m＝　 　 ； （2）补全图2； （3）在属于综合与实践领域的4道题目中，有3道题与函数相关，1道题与图相关．若从中随机选取2道题目进行研讨，求选中的2道题目都是与函数相关的题目的概率． 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（1，1），C（6，2）． （1）将△ABC先向左平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′； （2）作射线AD交边BC于点D，使得∠BAD＝∠C．（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 22．某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售，购进40件甲商品和20件乙商品用了720元，购进30件甲商品和15件乙商品用了540元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元？（2）每件甲商品售价15元，每件乙商品售价8元，现购进甲、乙两种商品共400件．①若其中甲商品的件数不低于乙商品件数的2倍，总利润不低于1800元，问共有几种进货方案？②若超市促销，每件甲商品优惠a元，每件乙商品优惠b元，结果发现无论购进甲商品多少件，超市总利润恒为1000元，直接写出a的值为，b的值为． 23．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE． （1）如图1，求证：∠PEQ＝∠BPE+∠EQD； （2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F，求证∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝105°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒15°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的PH′边，请直接写出所有满足条件的t的值． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE，使得∠DAE＝∠BAC，连结CE，DE． （1）当AD＝BD时，求BD的长； （2）当△ACD是等腰三角形时，求CD的长； （3）当AD⊥AC时，求DE的长（用图2）． 2025-2026学年湖北省武汉市江岸区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．解题的切入点就是判断每个选项中二次根式的被开方数的正负性． 【解答】A选项：，被开方数﹣5＜0，二次根式无意义；B选项：，被开方数 5＞0，二次根式有意义；C选项：，被开方数 25＞0，二次根式有意义；D选项：，被开方数 25＞0，二次根式有意义．所以答案是A． 2．以下调查中，适宜全面调查的是（　　） A．检测北京市的空气质量 B．调查某湖泊中现有鱼的数量 C．选取某校八年级（3）班跑步最快的同学，代表班级参加校级运动会 D．了解朝阳区学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式；抽样调查是一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法．解题的切入点是根据调查对象的特征判断适合的调查方式． 【解答】A选项：检测北京市的空气质量，由于北京市范围大，全面检测难度大，适宜抽样调查；B选项：调查某湖泊中现有鱼的数量，鱼的数量众多，全面调查不易进行，适宜抽样调查；C选项：选取某校八年级（3）班跑步最快的同学，代表班级参加校级运动会，班级人数有限，可以进行全面调查，该选项正确；D选项：了解朝阳区学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，朝阳区学生数量多，适宜抽样调查．所以答案是C． 3．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，且点P到y轴的距离是4，到x轴的距离是5，则P点的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4） 【分析】先根据点P在第二象限判断横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的含义求出点P的坐标． 【解答】解：由条件可知点P的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点P横坐标的绝对值为4，纵坐标的绝对值为5， ∴点P的横坐标为﹣4，纵坐标为5， 即点P（﹣4，5）． 故选：B． 4．若m＞n，则下列式子一定成立的是（　　） A．m + 3＜n + 3 B．﹣5m＞﹣5n C． D．m^2＞n^2 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的性质有：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解题的切入点是根据不等式的性质逐一分析选项． 【解答】A选项：若m＞n，根据不等式性质，m+3＞n+3，该选项错误；B选项：若m＞n，不等式两边同时乘以﹣5，不等号方向改变，即﹣5m＜﹣5n，该选项错误；C选项：若m＞n，不等式两边同时除以3，��等号方向不变，即，该选项正确；D选项：当m ＝ 1，n ＝﹣2时，m＞n，但m^2 ＝ 1，n^2 ＝ 4，m^2＜n^2，该选项错误．所以答案是C． 5．已知是方程2x+3y ＝ 5的解，则b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念．将方程的解代入方程中，方程左右两边相等．解题的切入点是把给定的解代入方程，然后求解关于b的方程． 【解答】把代入方程2x+3y ＝ 5，得到2b+3×（﹣4）＝ 5，即2b﹣12 ＝ 5．移项可得2b ＝ 5+12，2b ＝ 17，解得b ＝ ．所以答案是A． 6．如图，∠1+∠2＝180°，则下列结论中正确的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠3+∠4＝180° C．∠3＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【分析】根据平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠3＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4， ∵∠4＝∠5，∠2＝∠3， ∴∠3＝∠5，∠1+∠3＝180°， 故C符合题意；A、B、D不符合题意； 故选：C． 7．x取哪些整数值时，3≤4x﹣5＜13成立（　　） A．2，3，4 B．3，4 C．4，5 D．3，4，5 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．先分别求解不等式组中的两个不等式，再找出它们的公共解集，最后在公共解集中找出整数解．解题的切入点是分别求解不等式3≤4x﹣5和4x﹣5＜13． 【解答】解不等式3≤4x﹣5，移项可得4x≥3+5，4x≥8，解得x≥2；解不等式4x﹣5＜13，移项可得4x＜13+5，4x＜18，解得x．所以不等式组的解集为2≤x，其中的整数解为2，3，4．所以答案是A． 8．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中有一个问题：“今有铜币八枚，铁币十二枚，称之重适等．交易其一，铜轻十两．问铜、铁一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有铜币8枚（每枚铜币重量相同），乙种袋子中装有铁币12枚（每枚铁币重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了10两（袋子重量忽略不计）．问铜币、铁币每枚各重多少两？设每枚铜币重x两，每枚铁币重y两，则可建立方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题根据题目中的等量关系来建立方程组．关键在于理解“称重两袋相等”和“交换一枚后甲袋比乙袋轻的重量”这两个条件．“称重两袋相等”意味着8枚铜币的重量等于12枚铁币的重量；“交换一枚后甲袋比乙袋轻10两”可据此列出另一个方程． 【解答】因为8枚铜币重量等于12枚铁币重量，所以8x＝12y；交换一枚后，甲袋是7枚铜币和1枚铁币，重量为7x+y，乙袋是11枚铁币和1枚铜币，重量为11y+x，且甲袋比乙袋轻10两，即（11y+x）﹣（7x+y）＝10．所以方程组为．逐一分析选项：A选项第一个方程12x＝8y错误；B选项第一个方程12x＝8y错误；C选项正确；D选项第二个方程（7x+y）+（11y+x）＝10错误． 9．已知关于x，y的方程组的解都是正数，m+n ＝ 6，p ＝ 3m﹣5n﹣12，则p的取值范围为（　　） A．p＜﹣50 B．p＞﹣50 C．p＜﹣28 D．p＞﹣28 【分析】先解方程组求出x、y关于m的表达式，再根据解都是正数得到关于m的不等式组，解出m的取值范围，然后根据m+n ＝ 6得到n关于m的表达式，代入p ＝ 3m﹣5n﹣12，进而求出p的取值范围． 【解答】解方程组，由4x﹣y＝3m﹣7两边同时乘以3得12x﹣3y＝9m﹣21，与x+3y＝4m+4相加得13x＝13m﹣17，解得；把代入x+3y＝4m+4得，解得．因为解都是正数，所以，���得．又因为m+n ＝ 6，所以n ＝ 6﹣m，代入p ＝ 3m﹣5n﹣12得p ＝ 3m﹣5（6﹣m）﹣12 ＝ 8m﹣42．因为，所以，．逐一分析选项：A选项错误；B选项正确；C选项错误；D选项错误． 10．将点A（﹣1，﹣2）的横纵坐标分别求其相反数得到（1，2），再将（1，2）的横纵坐标分别求与1的和的倒数得到点，称为一次操作，记为（a1，b1），第二次操作是将（a1，b1）再进行上述操作得到A2（a2，b2），第三次操作是将（a2，b2）再进行上述操作得到A3（a3，b3）…以此类推．下列说法： ①a3＝﹣1，b3＝﹣2； ②； ③a9b9＝3； ④a1+b1+a2+b2+…+a72+b72＝32． 其中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】按操作规则计算前几次操作的坐标，找出循环周期，再逐一验证各说法． 【解答】解：∵A（﹣1，﹣2）， ∴一次操作后； 二次操作：对，先求横、纵坐标相反数得，再求横、纵坐标与1的和的倒数，即，， ∴； 三次操作：对，先求横、纵坐标相反数得，再求横、纵坐标与1的和的倒数，即，， ∴A3（﹣1，﹣2），此时发现每3次操作循环一次， ①由上述计算，A3（﹣1，﹣2），即a3＝﹣1，b3＝﹣2，该说法正确； ②因为2026÷3＝675……1，余数为1，说明A2026与A1相同，即，该说法错误； ③因为9÷3＝3，没有余数，说明A9与A3相同，即A9（﹣1，﹣2），则a9＝﹣1，b9＝﹣2，a9b9＝（﹣1）×（﹣2）＝2≠3，该说法错误； ④一个循环周期（3次操作）内，， 72÷3＝24，即有24个循环周期， 则，该说法正确． 综上，正确的说法有2个， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．25的算术平方根是． 【分析】根据算术平方根的定义，若一个非负数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的算术平方根． 【解答】因为52＝25，所以25的算术平方根是5． 12．把方程4x+y﹣2 ＝ 0改写成含x的式子表示y的形式得． 【分析】通过移项等操作，将y单独放在等式一边，用含x的式子表示出来． 【解答】对4x+y﹣2 ＝ 0进行移项，把4x和﹣2移到等式右边，可得y ＝ 2﹣4x． 13．将长方形纸条如图折叠，已知AC′∥BD′，∠EFD＝145°，则∠BFD＝　110　 °． 【分析】根据折叠的性质可得∠EFD′＝∠EFD＝145°，利用邻补角的性质求得∠BFE＝35°，再据此计算求解． 【解答】解：∵长方形纸条如图折叠，根据折叠的性质得∠EFD′＝∠EFD＝145°， 又∵∠BFE和∠EFD′是邻补角， ∴∠BFE＝180°﹣∠EFD′＝35°， ∴∠BFD＝∠EFD﹣∠BFE＝145°﹣35°＝110°． 故答案为：110． 14．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是． 【分析】先解出不等式3x﹣4≥0的解集，再结合不等式组无解的条件，确定m的取值范围． 【解答】解不等式3x﹣4≥0，移项得3x≥4，解得．因为不等式组无解，所以． 15．下列结论：①频数分布表中，组距是它本身的数只有1；②如果点P（m+n，mn）在第二象限，那么点Q（m，n）在第四象限；③已知是关于x，y的方程组的解，则m，n满足的条件为n ；④一个容量为50的样本中，最大数据为178，最小数据为135，取组距为7，则可分成7组．其中正确的是 （填写正确结论的序号）． 【分析】本题需要分别对四个结论进行分析判断．对于①，根据组距的概念判断；对于②，根据点在象限的坐标特征，由点P的位置推出m、n的正负，进而判断点Q的位置；对于③，将方程组的解代入方程组，化简得出m、n的关系；对于④，根据组数的计算方法：组数 ＝ （最大值﹣最小值）÷组距，若结果不是整数则组数进一位，来判断组数是否正确． 【解答】①在频数分布表中，组距是一个确定的数值，一般不会是它本身的数只有1这种情况，所以①错误．②因为点P（m+n，mn）在第二象限，则，由mn＞0可知m、n同号，又m+n＜0，所以m＜0，n＜0，那么点Q（m，n）在第三象限，所以②错误．③把代入得，由（1）+（2）得：﹣3m﹣3n ＝﹣2，化简得n ，所以③错误．④（178﹣135）÷7＝43÷7≈6.14，组数需进一位，所以可分成7组，④正确．综上，正确的是④． 16．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接DE，以DE为斜边作等腰直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF的取值范围是 　BF≤2　 ． 【分析】画出BF最大值和最小值时相应的图形，再根据等腰直角三角形、菱形进行计算即可． 【解答】解：如图1，以AD为斜边在AD下方作等腰直角△AGD， ∴∠ADG＝∠EDF＝45°， ∴∠ADE＝∠GDF， ∴△ADE∽△GDF， ∴∠DGF＝∠DAE＝60°， ∴点F的运动轨迹是GF， ∴BF的最短距离为2； 如图2，当点E移动到点B时，BF最大， 在等腰直角三角形BDF中， BFBD＝2， 所以BF的取值范围为BF≤2， 故答案为：BF≤2． 三．解答题（共8小题） 17．（1）计算：；（2）解方程组． 【分析】（1）题根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质分别化简各项，再进行计算；（2）题可采用消元法解二元一次方程组，通过对两个方程进行适当的变形，消去一个未知数，进而求解． 【解答】（1） 3﹣4+2 1．（2）由（1）×3得：9x+3y ＝ 30 （3）（3）+（2）得：11x ＝ 34，解得x ＝ ．把x ＝ 代入（1）得：3y ＝ 10，解得y ＝ ．所以方程组的解为． 18．计算： （1）； （2）sin﹣130°﹣|1|+2cos45°． 【分析】（1）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可； （2）根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）解不等式①得，x＞﹣2， 解不等式②得，x＜1， 所以不等式组的解集为﹣2＜x＜1； （2）原式 ＝3． 19．如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCF＝∠1，结合已知证得∠DCF+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得EF∥DC； （2）先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠ACD的度数，最后根据平行线的性质即可求出∠2的度数． 【解答】（1）证明：∵DH∥AC， ∴∠DCF＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DCF+∠2＝180°， ∴EF∥DC； （2）解：∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB， ∵∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝64°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD+∠2＝180°， ∴∠2＝148°． 20．某初级中学组织学生讲题大赛活动，参赛选手的选题分别分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实现四个学习领域、依据选题所展领域、选题数量，绘制了如图尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次活动所选题目总数量为　40　 ，在图1中，m＝　40　 ； （2）补全图2； （3）在属于综合与实践领域的4道题目中，有3道题与函数相关，1道题与图相关．若从中随机选取2道题目进行研讨，求选中的2道题目都是与函数相关的题目的概率． 【分析】（1）由“统计与概率”在扇形统计图的占比与在条形统计图中的数量，求出总数量；再由扇形统计图，用1﹣10%﹣20%﹣30%，即可求出m； （2）由选题的总数量和“图形与几何”的占比，求出“图形与几何”的选题数量，即可作图； （3）列举出所有等可能的选取情况，数出2道题目都是与函数相关的情况数，再用符合条件的结果数除以总的结果数，从而得到相应的概率． 【解答】解：（1）“统计与概率”的选题数量有8道，占总数量的20%， ∴本次活动所选题目总数量为8÷20%＝40， 由扇形统计图可得， m%＝1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%， ∴m＝40， 故答案为：40，40； （2）由题意可得， “图形与几何”的选题数量为40×30%＝12． （3）设3道题与函数相关的题目分别为A1，A2，A3，1道与圆相关的题目为B， 从4道题目中随机选取2道题目的所有可能情况为：（A2，A3），（A2，B），（A3，B），（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），共6种， 其中2道题目都是与函数相关的情况有：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共3种， ∴选中的2道题目都是与函数相关的题目的概率为． 21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（1，1），C（6，2）． （1）将△ABC先向左平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，画出平移后的△A′B′C′； （2）作射线AD交边BC于点D，使得∠BAD＝∠C．（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）取格点J，作射线AJ交BC于点D，射线AD即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所作； （2）如图所示，射线AD即为所作． 22．某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售，购进40件甲商品和20件乙商品用了720元，购进30件甲商品和15件乙商品用了540元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为多少元？（2）每件甲商品售价15元，每件乙商品售价8元，现购进甲、乙两种商品共400件．①若其中甲商品的件数不低于乙商品件数的2倍，总利润不低于1800元，问共有几种进货方案？②若超市促销，每件甲商品优惠a元，每件乙商品优惠b元，结果发现无论购进甲商品多少件，超市总利润恒为1000元，直接写出a的值为，b的值为． 【分析】（1）设甲、乙商品的进价，根据已知条件列出方程组求解；（2）①设购进甲商品x件，则购进乙商品（400﹣x）件，根据甲商品件数与乙商品件数的关系以及总利润的要求列出不等式组求解；②根据总利润的表达式，结合利润恒为1000元，求出a、b的值． 【解答】（1）设甲商品每件进价为x元，乙商品每件进价为y元．则，化简第一个方程得2x+y ＝ 36，化简第二个方程得2x+y ＝ 36，所以x ＝ 12，y ＝ 12．即甲、乙两种商品每件的进价均为12元．（2）①设购进甲商品x件，则购进乙商品（400﹣x）件．由题意得解第一个不等式得x，解第二个不等式得x．因为x为正整数，且，，所以，x可取486到400之间的整数，共15种进货方案．②设购进甲商品m件，则购进乙商品（400﹣m）件．总利润W ＝ （15﹣12﹣a）m+（8﹣12﹣b）（400﹣m） ＝ （3﹣a）m+（﹣4﹣b）（400﹣m） ＝ （3﹣a+4+b）m﹣1600﹣400b．因为无论购进甲商品多少件，总利润恒为1000元，所以3﹣a+4+b ＝ 0，﹣1600﹣400b ＝ 1000，解得b ＝﹣6.5，a ＝ 0.5． 23．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE． （1）如图1，求证：∠PEQ＝∠BPE+∠EQD； （2）如图2，∠MPE的角平分线与∠CQE的角平分线相交于点F，求证∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系； （3）如图3，在第（2）问的条件下，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝105°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒15°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的PH′边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长PE交CD于点G，设PE、FQ交于点T，设∠BPE＝2α，则，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQT，然后结合△EQT和△PFT内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥AB， ∴∠PEF＝∠BPE， 由条件可知EF∥CD， ∴∠FEQ＝∠EQD， ∴∠PEQ＝∠BPE+∠EQD； （2）2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°，理由如下： 如图，延长PE交CD于点G，设PE、FQ交于点T， 设∠BPE＝2α，则， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠BPE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∴， ∵∠PEQ+∠TQE+∠ETQ＝180°，∠FPT+∠FTP+∠PFT＝180°，∠PTF＝∠ETQ， ∴， ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； （3）由条件可知∠PEQ＝∠H＝90°， 由（2）可知2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°， ∴∠PFQ＝135°， 由条件可知∠BPE＝180°﹣∠APE＝30°，，则∠PFT＝180°﹣∠FPE﹣∠PFQ＝30°， ∴∠TPH＝60°，∠HPB＝30°， 由题意可知∠PM′N＝∠M′ND＝105°﹣5t，∠H′PH＝∠F′PF＝15t， 如图，当M′N∥PH′时，∠PM′N＝∠H′PM′＝30°+15t， 105°﹣5t＝30°+15t， ∴， 如图，当NM′∥PF′时，∠PM′N＝∠F′PM′＝15t﹣15°， 105°﹣5t＝15t﹣15°， ∴t＝6， 如图，当M′N∥PH′时，∠PM′N+∠H′PM′＝180°， 360°﹣30°﹣15t+105°﹣5t＝180°， ∴， 如图，当NM′∥PF′时，∠PM′N+∠F′PM′＝180°， 360°﹣15t+15°+105°﹣5t＝180°， ∴t＝15； 综上所述，或t＝6或或t＝15． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是BC边上的一个动点，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE，使得∠DAE＝∠BAC，连结CE，DE． （1）当AD＝BD时，求BD的长； （2）当△ACD是等腰三角形时，求CD的长； （3）当AD⊥AC时，求DE的长（用图2）． 【分析】（1）可证明△ABD∽△CBA，从而，进一步得出结果； （2）分三种情形：当CD＝AC＝5时，△ACD是等腰三角形，当AD＝CD时，同理（1）可得：CD，当点D和点B重合时，AD＝AC，此时CD＝BC＝8； （3）作AF⊥BC于F，可证明△ACF∽△DCA，从而，从而求得AD的值，可推出△ABC∽△ADE，从而，进而得出结果． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠ACB， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴， ∴BD； （2）当CD＝AC＝5时，△ACD是等腰三角形， 当AD＝CD时， 同理（1）可得：CD， 当点D和点B重合时，AD＝AC，此时CD＝BC＝8， 综上所述：CD＝5或或8； （3）如图， 作AF⊥BC于F， ∴∠AFC＝90°， ∵AB＝AC， ∴CF＝BFBC＝4， ∴AF3， ∵AD⊥AC， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAC＝∠AFC， ∵∠ACD＝∠ACF， ∴△ACF∽△DCA， ∴， ∴， ∴AD， ∵线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE， ∴AE＝AD， ∵AB＝AC， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∴DE＝6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 9:53:06；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $