1.6.1 菱形的性质 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的定义、性质（边、角、对角线、对称性）及面积计算，通过观察平行四边形邻边相等的特征引入菱形，衔接矩形（平行四边形角的特殊化），搭建从平行四边形到特殊平行四边形的知识支架。 其亮点在于以折纸剪切活动引导学生观察发现（数学眼光），结合折叠探究对称性与性质猜想并逻辑证明（数学思维），用表格系统归纳性质（数学语言）。如折纸剪出菱形后折叠验证对称轴和边、对角线关系，例题规范几何语言表达。助力学生发展几何直观与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

湘教版·八年级下册数学 1.6.1 菱形的性质 第1章 四边形 1.6 菱形 下图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 通过观察发现这些平行四边形的邻边都相等，这就是本节课要研究的特殊平行四边形——菱形. 知识模块一　菱形的定义 自学互研 观察图中的平行四边形，它们有什么特点？ 它们的邻边相等. 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 有一个角是直角 菱形的性质 1 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可. 思考 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 菱形作为一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还具有哪些特殊性质？ 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量 上有什么关系? 菱形的两条对角线有什么关系? 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中 的图形(如图)，并回答以下问题： 问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是， 指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 中心对称 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称 轴对称 四条边都相等 对角相等 对角线互相平分且垂直 观察所示的菱形，将你的发现填入下表. 菱形有几条对称轴？ 对称中心在哪里？ 知识模块二　菱形的性质 菱形的四条边相等吗？ A B D C 菱形的四条边相等. 如图，菱形ABCD中，AD=AB. 由于菱形是平行四边形， 因此 AD=BC，AB=DC， 从而 AD=AB=BC=DC. 菱形的性质定理1： 菱形的四条边相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC=CD=AD. A B D C 例1 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 证明：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 证明：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB . ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA . ∴AO＝BE . 例2 如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 点O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB. A B C D O E 如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线. 由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质： 猜想1：菱形的四条边都相等. 猜想2：菱形的对角线互相垂直. 思考 如何证明这两个猜想？ A B C O D 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证: AC⊥BD. 证明：∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OB = OD. 在等腰△ABD 中，∵OB = OD， ∴AO⊥BD. 菱形的性质定理2： 菱形的对角线互相垂直. (2)∵AE＝AM， 1．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF交AD于点M，交AC于点N，交CD的延长线于点F. (1)试说明AM＝DM； (2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长． ∴∠AME＝∠AEM. ∵AB∥CD， ∴∠AEM＝∠F，又∠FMD＝∠AEM， ∴∠F＝∠FMD， ∴DF＝DM＝ AD， ∴AD＝4， ∴菱形ABCD的周长是4×4＝16. 菱形的面积 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 2 类比平行四边形的性质，从边、角、对角线、对称性四方面有条理的将菱形的性质结论归纳如下. 边 角 对角线 对称性 四条边都相等 对边平行 对角相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 每一条对角线平分一组对角 既是中心对称图形又是轴对称图形 由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分. 除此之外，菱形的对角线还有什么关系？ 菱形的对角线互相垂直. 如图所示，菱形ABCD中， 对角线AC，DB相交于点O. 求证：AC⊥BD. 根据菱形的性质定理 1 得， DA = DC，BA=BC. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”得，点 D和点B都在线段 AC 的垂直平分线上. 因此直线DB是线段AC的垂直平分线， 从而DB⊥AC. 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O. 求证：AC⊥BD. 例3 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长. 因此，菱形 ABCD 的周长为 2.5×4＝10 (cm). 典例精析 解：菱形 ABCD 的面积 在 Rt△ABO 中， 由勾股定理得 例4 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12 ＝ 30. ∴S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120. 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴13h＝120，得 h＝ . 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥DB. 菱形的性质定理2： 菱形的对角线互相垂直. 23 菱形的性质 性质 相关计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 底×高 = 两条对角线 乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 是中心对称图形和轴对称图形 对称性 $