1.7正方形 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质、判定及与平行四边形、矩形、菱形的关系。通过瓷砖情景导入，引导学生观察矩形邻边相等、菱形一个角是直角的变化过程，构建从一般四边形到特殊正方形的知识支架。 其亮点在于结构化呈现知识，如性质对比表格、判定路径图，结合数学眼光（情景观察）、数学思维（逻辑推理，如性质证明）、数学语言（符号与表格表达）。例题与练一练帮助学生巩固，教师可利用对比表格清晰教学，提升学生几何直观和推理能力。

1.7 正方形 第1章 四边形 情景导入 瓷砖（如下图）的形状大多是正方形，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形. 正方形是一组邻边相等的矩形. 正方形是有一个角是直角的菱形. 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么发现？ 正方形的性质 正方形 1 问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 知1－讲 感悟新知 知识点 正方形的定义 1 1. 正方形的定义：正方形是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，也可看作是一组邻边相等的矩形，或者有一个角是直角的菱形. 感悟新知 知1－讲 2. 四边形定义间的关系： 我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 知识模块一　正方形的定义及性质 自学互研 说一说，正方形具有哪些性质？ 正方形的四条边都相等. AB=BC=CD=DA 正方形的四个角都是直角. ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 正方形的对角线相等，且互相垂直平分. AC=BD且AC⊥BD，OA=OC，OB=OD 证明：∵四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°， AB = AD (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形(矩形的定义)， 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 证一证 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC，BD相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形， ∴AO = BO = CO = DO. ∵正方形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 归纳总结 知1－练 感悟新知 如图1.7-1，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四边形BEDF是正方形. 例1 解题秘方：紧扣正方形的定义进行判定. 知1－练 感悟新知 证明：因为DE⊥BC，∠ABC=90°， 所以DE∥ AB. 同理可得DF∥BC， 所以四边形BEDF是平行四边形. 因为BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， 所以DE=DF. 又因为∠ABC=90°， 所以四边形BEDF是正方形. 三者缺一不可 观察示意图，如何判断一个四边形是正方形？ 知识模块二　正方形的判定方法 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： A B C D 知识要点 证明 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 AD = CD，∠A =∠DCF = 90°. 因为 DF⊥DE， 所以∠EDF = 90°，即∠1 +∠3 = 90°. 又因为∠2 +∠3 = 90°，所以∠1 = ∠2. 因此△AED≌△CFD(角边角)， 从而 DE = DF. 例2 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意 一点，过点 D 作 DF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE = DF. 1 2 3 感悟新知 知2－讲 知识点 正方形的性质 2 1. 正方形的性质： 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 边 四条边都相等 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=BC=CD=AD 角 四个角都是直角 因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BAD =∠ABC =∠BCD =∠ADC=90° 对角线 对角线相等，且互相垂直平分 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥ BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD 感悟新知 知2－讲 性质 符号语言 图示 对 称 性 轴对称图形 四条对称轴： 两条对角线所 在直线，以及 过每一组对边 中点的直线 直线m，n，AC，BD 是正方形ABCD 的四条对称轴 中心对称图形 对称中心：对 角线的交点 AC 与BD 的交点O 是正方形ABCD 的对称中心 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F. 求证：四边形CFDE是正方形． 证明 过点D作DG⊥AB，垂足为G， 练 练 一 G C F A B E D ∵∠CFD＝∠CED＝∠C＝90°， ∴四边形CFDE是矩形． ∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线， ∴DF＝DG，DG＝DE， ∴DF＝DE， ∴四边形CFDE是正方形． 22 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE. (1)求证：四边形BECF是菱形． (2)当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？并证明你的结论． 解：(1)∵EF是BC的垂直平分线， 练 练 一 ∴CF＝BF，BE＝EC， 又∵EB＝CF， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 例3 如图，在正方形 ABCD 中， △BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴BE = CE = BC，∠EBC = ∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB = BC = CD，∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴AB = BE = CE = CD，∠ABE=∠DCE=30°. ∴△ABE，△DCE是等腰三角形. ∴∠BAE = ∠BEA = ∠CDE = ∠CED = 75°. ∴∠EAD = ∠EDA = 90° - 75° = 15°. 感悟新知 知2－讲 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 特殊四边形的常用判定方法 平行 四边形 （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； （4）两条对角线互相平分； （5）两组对角分别相等 矩形 （1）有三个角是直角； （2）有一个角是直角的平行四边形； （3）两条对角线相等的平行四边形 菱形 （1）四条边都相等； （2）有一组邻边相等的平行四边形； （3） 两条对角线互相垂直的平行四边形 正方形 （2）有一组邻边相等的矩形； （3）有一个角是直角的菱形 平行且相等； （1）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形； （3）一组对边 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对 角线， AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = 90°. ∴四边形 ABCD 是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角 一组邻边相等 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等且 一内角是直角 归纳总结 感悟新知 知3－讲 知识点 正方形的判定 3 1. 正方形的判定方法： (1) 从四边形出发：①四条边相等，三个角是直角的四边形是正方形；②对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形； 感悟新知 知3－讲 (2) 从平行四边形出发：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3) 从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4) 从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. $