2.1.2实数及相关概念-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦实数的概念、性质（相反数、绝对值、倒数）及与数轴的对应关系，通过将有理数表示为有限或无限循环小数，引导发现无理数是无限不循环小数，搭建从有理数到实数的学习支架。 其亮点在于结合探究活动（如分类数、画圆滚动理解π的数轴表示）和分层练习，培养抽象能力、推理意识与几何直观。易错点总结助力学生规避错误，学生能发展数学思维，教师可利用结构化资源提升教学效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 2.1.2实数及相关概念 第二章 实数 北师大版八年级上册2.1.2 实数及相关概念 练习题 本节核心考点：在认识实数的基础上，重点掌握实数的相反数、绝对值、倒数，以及实数在数轴上的对应关系、实数大小比较。有理数的相关性质、运算法则、运算规律对实数完全适用。任意实数都有相反数和绝对值，非零实数才有倒数。 核心公式：实数a的相反数为$$-a$$；实数a的绝对值$$|a|=\begin{cases}a & (a\ge0)\\-a & (a<0)\end{cases}$$；非零实数a的倒数为$$\frac{1}{a}$$。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. $$\sqrt{3}$$的相反数是________，绝对值是________。 2. $$2-\sqrt{5}$$的绝对值是________。 3. 实数$$\pi-3$$的相反数是________。 4. 比较大小：$$\sqrt{2}$$________$$1.414$$（填“>”“<”或“=”）。 5. 若一个实数的绝对值为$$\sqrt{7}$$，则这个实数是________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 实数$$3-\sqrt{10}$$的相反数是（） A. $$3+\sqrt{10}$$ B. $$\sqrt{10}-3$$ C. $$-3-\sqrt{10}$$ D. 3 2. 下列实数中，绝对值最大的是（） A. $$-\sqrt{6}$$ B. 2 C. $$\sqrt{3}$$ D. 0 3. 关于实数的说法正确的是（） A. 所有实数都有倒数 B. 实数的绝对值一定是非负数 C. 无理数没有相反数 D. 负数的绝对值是它本身 4. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$\sqrt{2}$$和$$-\sqrt{2}$$ B. 2和$$\frac{1}{2}$$ C. $$\sqrt{3}$$和<latex}\sqrt{-3} D. $$\pi$$和3.14 5. 实数a、b在数轴上对应点位置如图，若a<0，b>0，则$$|a-b|$$化简结果为（） A. $$a-b$$ B.$$b-a$$ C. $$a+b$$ D. $$-a-b$$ 三、计算与解答题（共60分） 1.（20分）求下列各数的相反数、绝对值： （1）$$\sqrt{7}$$ （2）$$\sqrt{3}-2$$ （3）$$\pi-3.14$$ （4）$$-\sqrt{11}$$ 2.（20分）比较下列各组实数的大小，写出完整过程： （1）4和$$\sqrt{15}$$ （2）$$\sqrt{6}$$和$$\sqrt{7}$$ （3）$$-\sqrt{2}$$和$$-\sqrt{3}$$ 3.（20分）已知实数a、b满足$$|a-\sqrt{5}|+|b+\sqrt{2}|=0$$，求a、b的值，并求a+b的相反数。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. $$-\sqrt{3}$$、$$\sqrt{3}$$ 2. $$\sqrt{5}-2$$ 3. $$3-\pi$$ 4. > 5. $$\pm\sqrt{7}$$ 选择题答案 1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 解答题详细解析 1. 解： （1）$$\sqrt{7}$$的相反数：$$-\sqrt{7}$$，绝对值：$$\sqrt{7}$$； （2）∵$$\sqrt{3}-2<0$$，∴相反数：$$2-\sqrt{3}$$，绝对值：$$2-\sqrt{3}$$； （3）∵$$\pi-3.14>0$$，∴相反数：$$3.14-\pi$$，绝对值：$$\pi-3.14$$； （4）$$-\sqrt{11}$$的相反数：$$\sqrt{11}$$，绝对值：$$\sqrt{11}$$。 2. 解： （1）$$4=\sqrt{16}$$，$$\sqrt{16}>\sqrt{15}$$，故$$4>\sqrt{15}$$； （2）被开方数越大，算术平方根越大，故$$\sqrt{6}<\sqrt{7}$$； （3）$$\sqrt{2}<\sqrt{3}$$，负数比较大小，绝对值大的反而小，故$$-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$$。 3. 解：∵绝对值具有非负性，两个非负数相加为0，则各自为0。 ∴$$a-\sqrt{5}=0，b+\sqrt{2}=0$$，得$$a=\sqrt{5}，b=-\sqrt{2}$$。 $$a+b=\sqrt{5}-\sqrt{2}$$，其相反数为$$\sqrt{2}-\sqrt{5}$$。 五、易错点总结 1. 负数无理数的绝对值易错：负数的绝对值等于它的相反数，如$$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$$； 2. 0没有倒数，所有实数都有相反数和绝对值； 3. 负数比较大小：先比较绝对值，绝对值大的负数更小； 4. 绝对值非负性是实数高频考点：若几个非负数的和为0，则每一项均为0。 问题 不是有理数的数都是无限不循环小数吗? 把下列有理数表示成小数，你发现了什么共同特征? 3，，，-，. 它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式. 3=3.0，=0.8， =0.5，- =0.17， =0.18. . . . . 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 知识点1 无理数 那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数， 无限不循环小数不是有理数. 3 无限不循环小数称为无理数. 无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 知识点1 无理数 4 上一节课得到的a2=2,b2=5中，a,b都是无理数. 还有我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65...也是一个无理数. 再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)， 也是无理数. 知识点1 无理数 5 探究点一：实数的概念及分类 活动1：请你把下面各数填入下面相应的集合内。 0.373 773 777 3··· (相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1)。 有理数集合 无理数集合 ．．． ．．． 0.373 773 777 3··· (相邻两个 3 之间的 7 的个数逐次加 1) 【知识要点】有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 探究点一：实数的概念及分类 问题1：你能仿照有理数的分类给实数分类吗 ? 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 分数 整数 1. 按定义分类 探究点一：实数的概念及分类 无理数和有理数一样，也有正、负之分. 思考：(1) 请你把下面各数填入下面相应的集合内. 负数集合 正数集合 ··· ··· 3.14，- ，0.57，0.1010001000001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 . . 3.14， 0.57 . . 0.1010001000001… - (相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2) 探究点一：实数的概念及分类 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 2. 按符号分类 0 正无理数 负无理数 (2) 实数还可以怎样分类 ? 【总结】实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏 探究点一：实数的概念及分类 π - 3.14 的绝对值是 π - 3.14. 探究点二：实数的性质 问题2：0.3 的相反数是什么? 的倒数是什么? π - 3.14 的绝对值是什么? · 根据以上问题，总结归纳出在实数 a 中，数 a 的相反数? 绝对值是什么? 当 a 不为 0 时，它的倒数是什么? 0.3 的相反数是 ， · －0.3 · 的倒数是－4， 2. a 是一个实数，它的相反数为 ， 【要点归纳】 1. 在实数范围内与有理数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 绝对值为 。 倒数是 (a≠0) ， -a | a | 探究点二：实数的性质 思考：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式是否成立。 2×π× = 2××π 2×π + 3×π = (2 + 3)×π π×2 = 2×π 【总结】有理数的运算及运算律对实数仍然适用。 探究点二：实数的性质 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 思考：每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 从图中可以看出，OO′ 的长是这个圆的周长 π，所以 O′ 对应的数是 π. 0 -2 -1 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O′ O 画一个直径 1 个单位长度的圆，它的周长等于 π. 如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点 O 到达点 O′，点 O′ 对应的数是多少？ 活动2：画一画 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 (1) 如图，OA = OB，数轴上点 A 对应的数是 a，b 中的哪一个？ －2 －1 0 1 2 A B O 【思考·交流】上节课讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a² = 2，b² = 5。 A 点对应的为 a . 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 (2) 你能在数轴上找到另一个对应的点吗？ －2 －1 0 1 2 1 C D O C 点对应的即为 b . 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 1.每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 实数和数轴上的点是一一对应的. 2. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 【要点归纳】 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 例1 有一组实数：①-|-3|； ④ 3.14，⑤ 0；⑥ 21% ；⑦ 0.8，⑧ 3.131 331··· ( 每相邻两个1之间的 3 的个数依次增加 1 ) 。将它们分类，把相应的序号填在横线内： · ② ； 整数：_________ ； 负有理数：________ ；无理数：_________ ； 分数：___________ . ①③ ②⑧ ①⑤ ③④⑥⑦ 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 例2 数轴上 A，B 两点表示的数分别为 π 和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有 (　 ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：∵ π ≈ 3.14，∴ π 和 5.1 之间的整数是 4，5. C ∴ A ，B 两点之间表示整数的点共有 2 个． 探究点三：实数与数轴上的点的对应关系 1. 教材P27例 下列五个数：， （相邻两个3之间0的个数依次加1）， ，， ，其 中无理数有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 21 2. 下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循 环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数 既是有理数又是无理数；⑤实数与数轴上的点一一对应．其 中正确的个数有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 22 3. 若， 为实数，则下列判断中正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则， 互为倒数 返回 中考考法 23 4. 如图是由16个边长为1的小正方形组成 的，连接这些小正方形的若干个顶点，得 到5条线段，，，， ，其中 长度是无理数的有( ) C A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 若是无理数，且，则 的值可 以是_________________. （答案不唯一） 返回 中考考法 24 6.把下列各数的序号填在相应的集合里： ；；；；；；； （相邻两个“3”之间依次多一个“0”）； . 整数集合：______ ； 负分数集合：________ ； 无理数集合：______ . ①④ ②⑥⑦ ③⑧ 返回 中考考法 25 7. 实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确 的是( ) （第7题） D A. B. C. D. 返回 中考考法 26 （第8题） 8. 如图是棱长为1的正方体，有一只聪明的蚂 蚁从点爬到点 去吃糖，它走的是最短路线， 则最短路线的长度是( ) A A. 无理数 B. 分数 C. 可能是有理数,也可能是无理数 D. 整数 返回 中考考法 27 9.在下列七个数：28，，0，，， ， （每两个2之间逐次增加一个0）中，无理 数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，则 ___. 9 返回 中考考法 28 10.［2025德州月考］如图，四个实数，，， 在数轴上 对应的点分别为，，，，若，则，， ， 四个数中，绝对值最大的是___. （第10题） 返回 中考考法 29 11.如图，将一枚直径为 的硬币放在数轴上，硬币上一 点与数轴的原点重合，将硬币沿数轴滚动一圈后，点 落在 数轴上的处，已知数轴的单位长度为,则点 表示的数 为______________. 或 （第11题） 返回 中考考法 30 12.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图 案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中 .如果把图②中的直角 三角形继续作下去，那么，，， ， 这些 线段中，有____条线段的长度为无理数. 20 中考考法 31 实数 有理数和无理数统称实数 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样 实数与数轴上的点一一对应 课堂小结 $