江苏宿迁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试卷

高二年级质量监测 数 学 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．的值为 A． B． C． D． 2．的展开式中的系数为 A． B． C． D． 3．某市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从110分以上的试卷中抽取 A．5份 B．10份 C．15份 D．20份 4．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 4.5 根据散点图分析知与线性相关，且求得经验回归方程为，则 A．与负相关 B． C．回归直线过点 D．时的残差为 5．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为3和9，侧棱长为5，则它的侧面积为 A．24 B．36 C．72 D．90 6．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，则 7．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 A． B． C． D． 8．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动8次，则下列说法正确的是 A．质点回到原点的概率为 B．质点回到原点的概率为 C．质点位于6的位置的概率为 D．质点位于6的位置的概率为 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是 A．独立性检验方法不适用于普查数据 B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的90百分位数是8 C．若散点图中所有的散点都落在一条直线上，则决定系数 D．若事件，相互独立，则 10．一只不透明的口袋内装有7个大小、质地均相同的小球，分别标有这7个自然数（1个小球上标1个数），从中依次不放回的抽取1个小球．“第一次抽取的小球标号为奇数”记为事件，“前两次抽取的小球标号之和为偶数”记为事件，则 A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，动点满足，其中，，，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则平面 C．平面与平面夹角的大小与，，都有关 D．若，则点到平面的距离是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若随机变量的方差，则________． 13．现有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种． 14．已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设，的展开式中所有二项式系数之和为1024． （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 （1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数； （2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？ （3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中主动预习的人数为，求的均值和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分） 如图，三棱锥中，底面，平面平面． （1）求证：； （2）若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 19．（17分） 某高中的足球社团组织甲、乙、丙三人进行传球游戏．传球规则如下：依据掷骰子的点数决定持球者将球传给谁．当足球在甲处时，若掷出骰子的点数大于4，则传给乙，否则留在甲处（也算一次传球）；当足球在乙处时，若掷出骰子的点数大于3，则传给甲，否则传给丙；当足球在丙处时，若掷出骰子的点数大于2，则传给甲，否则传给乙．假设初始时足球在甲处，经过次掷骰子（即次传球）后，足球在甲处的概率为． （1）求，； （2）三次掷骰子后，设足球在甲处的次数为，求的分布列和数学期望； （3）次掷骰子后，设足球在甲处的次数为，求数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级质量监测 数学参考答案与评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B C C D C D AC ACD ABD 12．12 13．36 14． 15．分 解析： （1）因为展开式中所有二项式系数之和为1024，即， 所以n=10 3分 故二项式系数最大的项为 6分 （2）令， 所以，令，可得． 8分 令，可得 10分 故 13分 16．（15分） 解析： （1）解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形AA1B1B为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 3分 因为平面AA1C1C，平面AA1C1C，所以平面AA1C1C． 7分 解法2：证明：A1B1取中点P，连结MP，NP，由M，N分别是AB1与B1C1的中点， 所以MP∥BB1∥AA1． 又因为平面AA1C1C，平面AA1C1C， 所以MP∥平面AA1C1C． 同理，PN∥平面AA1C1C． 又，平面MPN， 所以面MPN∥面AA1C1C． 4分 而MN平面MPN，所以MN∥平面AA1C1C． 7分 （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则． 则，，，，，， 所以，，． 9分 设平面MNC的一个法向量为n， 则n，n． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为n． 12分 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．（15分） 解析： （1）众数为590； 1分 中位数为． 3分 （2）由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有 人，则成绩优秀的有30人． 补全列联表如下： 5分 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 提出假设：学生成绩优秀与主动预习无关． 因为， 8分 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立． 即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关． 9分 （3）由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为， 则． 11分 所以，． 15分 18．（17分） 解析： （1）在面内，过A作交PB于， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 2分 平面，所以． 因为底面，底面，所以． 3分 又，且平面，所以平面． 4分 因为平面，所以． 5分 （2）解法1：如图所示，在内过点M作交PC于，连接AE， 由（1）知，AM⊥平面PBC，又PC平面PBC， 所以AM⊥PC． 又ME⊥PC，ME，AM平面AME，MEAM = M， 所以PC⊥平面AME． 又因为AE平面AME， 所以PC⊥AE．故为二面角A-PC-B的平面角． 7分 因为AM⊥平面PBC，ME平面PBC， 所以AM⊥ME． 因为AP⊥平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC， 所以AP⊥AB，AP⊥AC． 设AB=x，则在中，，中，PA=AC=2，． 在中，，即． 解得，即 11分 解法2：以A为原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A—xyz，则, , , 设，则． 设平面PBC的一个法向量， 又， 所以，即，取，则，， 所以． 7分 由题意得，平面PAC的一个法向量 因为二面角A-CP-B的正弦值为， 所以二面角A-CP-B的余弦值的绝对值为． 所以． 9分 即，将代入得，． 解得，． 当时，，此时，与C重合，舍； 当时，，此时． 11分 （3）解法1：以A为原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A—xyz，则, , , ． 因为，D为平面ABC内一点， 所以D在以AC为直径的圆上，则设． 设平面PBC的一个法向量n， 则，即，取，则． 所以n． 14分 D到平面PBC的距离为． 因为，所以D到平面PBC的距离最大值为． 17分 解法2：因为AP⊥平面ABC，所以AP为三棱锥P-ABC的高， 由（1）知，BC⊥平面ABP，平面ABP，所以BC⊥BP． 在直角三角形中，，，所以． 由（1）知， 设D到平面PBC的距离为h， 因为，所以，即． 14分 又D在平面ABC内，且，所以D在以AC为直径的圆上， 所以面积的最大值为． 故D到平面PBC的距离h的最大值为． 17分 19．（17分） 解析： （1）由题意，当掷次骰子后，球在甲处，共有种情况： ，其概率为 ；，其概率为； 所以掷次后，球在甲处的概率为． 2分 当掷次骰子后，球在甲处，共有种情况： ，其概率为； ，其概率为； ，其概率为； ，其概率为； 所以掷次后，球在甲处的概率为． 5分 （2）由题意知，, ， ， ， ， 9分 所以随机变量的分布列为： X 0 1 2 3 P 随机变量X的数学期望为； 11分 （3）设掷次后，球仍在的概率为， 所以当时，， 12分 ， 13分 所以． 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以． 所以符合该式． 所以． 15分 所以． ． 17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $