精品解析：江苏南京市第十二中学2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

江苏南京市第十二中学2025-2026学年高二下学期6月期末 数学试题 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的值是（ ） A. 11 B. 17 C. 126 D. 132 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 下列函数中存在极值点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，利用极值的定义依次判断可解． 【详解】对于A，的定义域为， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，不存在极值点，故A不符合题意； 对于B，的定义域为， 因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故B不符合题意； 对于C，的定义域为， 因为，所以在上单调递增，不存在极值点，故C不符合题意； 对于D，因为是周期函数，不妨取其中一个周期， 而，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处取到极大值，在处取得极小值， 所以存在极值点，故D符合题意. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，所以， 则 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 5. 被5除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由利用二项式定理展开，分析得出结果. 【详解】因为 故， 因是正整数，所以被除所得的余数是. 6. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】根据列联表确定卡方公式中各参数的取值，代入公式计算后对比已知的即可求得. 【详解】由表格可知，，，，，总样本量， 则， 解得. 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A. 144 B. 114 C. 94 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】使用先分组后分配，间接法求解. 【详解】将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法. 8. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某实验小组为研究弹簧所受拉力（单位：）与伸长量（单位：）之间的关系，根据收集的实验数据，计算得出线性回归方程为．已知，，下列说法中，正确的有（ ） A. 变量与呈负相关 B. 回归直线经过点 C. D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，线性回归方程的斜率为，说明随的增大而增大， 即变量与呈正相关，故A错误； 选项B，线性回归直线一定经过样本中心点， 因为，，所以回归直线经过点，故B正确； 选项C，将点代入回归直线方程可得，解得，故C正确； 选项D，当时，，故D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 直线是曲线的对称轴 C. 直线是曲线的切线 D. 有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确， 对于B，由题意得，， 得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误， 对于C，设切点为，令， 得到，解得，则切点为， 可得切线方程为，化简得， 得到直线是曲线的切线，故C正确， 对于D，令，则， 因式分解得，解得或或， 则有三个零点，故D正确. 11. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用换元法化简已知二项式，得出二项式展开式的通项，进而利用二项式的性质结合选项逐一分析判断． 【详解】令，则，原式化为， 由二项式定理，展开式通项为； 选项A：已知，代入通项，当时， ，等式成立，故A正确； 选项B：令，则，故B错误； 选项C：令，代入展开式， 故，则，故C正确； 选项D：，则，代入， 则 ，故D正确． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】 13. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出和的坐标，结合向量夹角公式计算夹角的余弦值，进而确定角度大小. 【详解】如图所示，以正八面体中心为原点，设各顶点坐标为：，，，，可得：， 根据异面直线夹角公式可得： 因为异面直线夹角范围是， 所以，即与的夹角为. 14. 8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】8名同学围成一圈，球回到甲手中等价于传递总点数之和是8的倍数，每轮骰子点数为，总点数为，故只能是和，用隔板法分别计算两种情况的数量，再除以总情况即可． 【详解】每轮掷骰子有6种可能结果，三轮共种， 总点数为8的情况，即求方程的正整数解，， 由隔板法，三个数最小和为3，最大单个点数为6，故和为8的正整数解总数为， 令，，方程转化为， 正整数解个数为，所有解均满足，故和为的情况总数为6， 综上符合条件的总数为，故所求概率为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 【答案】（1）样本相关系数约为 （2）经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【解析】 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【小问1详解】 样本均值，， 则， ， 因此. 【小问2详解】 回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 16. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义求出，再根据二倍角公式求出，最后利用正切的两角和公式求出答案. （2）先求出，再利用同角三角函数关系式求出，然后分两种情况计算. 【小问1详解】 已知角的终边经过点，. ，. 【小问2详解】 已知角的终边经过点，，. ，. . 当时，. 当时，. 综上，或. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【解析】 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【小问1详解】 因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； 【小问2详解】 ①因为， 所以； ②略； 18. 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点的坐标为，求直线的方程； （3）若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【解析】 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【小问1详解】 将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. 【小问2详解】 设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. 【小问3详解】 略 19. 设函数，为函数的导函数. （1）求证：； （2）设函数. （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合基本不等式即可求解； （2）（i）由（1）得，分类讨论的取值范围即可；（ii）根据函数的单调性，判断函数的最值即可. 【小问1详解】 函数，则，当且仅当时等号成立， 所以. 【小问2详解】 （i）函数，则， 由（1）可知，， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，解得，， 由于，则有，即， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由（i）可知： ①当时，在上单调递增；恒成立； ②当时，在上单调递减，，与题设矛盾， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏南京市第十二中学2025-2026学年高二下学期6月期末 数学试题 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 的值是（ ） A. 11 B. 17 C. 126 D. 132 2. 下列函数中存在极值点的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 被5除所得的余数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某中学对100名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则（ ） 主动预习 不太主动预习 合计 学习兴趣高 36 14 50 学习兴趣一般 12 38 50 合计 48 52 100 参考公式：，其中． A. 240 B. 280 C. 300 D. 320 7. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A. 144 B. 114 C. 94 D. 78 8. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 某实验小组为研究弹簧所受拉力（单位：）与伸长量（单位：）之间的关系，根据收集的实验数据，计算得出线性回归方程为．已知，，下列说法中，正确的有（ ） A. 变量与呈负相关 B. 回归直线经过点 C. D. 当时， 10. 设函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 直线是曲线的对称轴 C. 直线是曲线的切线 D. 有三个零点 11. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 在如图所示的正八面体中，棱与所在直线的夹角为________． 14. 8名同学围成一圈玩传球游戏，初始时球在甲同学手中．每轮抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，根据掷出的点数，沿顺时针方向依次传递个人．经过三轮，球回到甲手中的概率是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 （1）求样本相关系数；（精确到0.01） （2）求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 16. 已知角的终边经过点． （1）求的值； （2）若，求的值． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值; （2）设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 18. 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点的坐标为，求直线的方程； （3）若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19. 设函数，为函数的导函数. （1）求证：； （2）设函数. （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $