江苏宿迁市2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷

高一年级质量监测 数 学 本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。） 1．的值为 A． B． C． D．0 2．某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为 A．16 B．40 C．80 D．90 3．已知，，是空间中三条不重合的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 D．若，，则 4．从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为 A． B． C． D． 5．已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为 A． B． C． D． 6．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 7．如图，正方体中，，分别是，的中点，则平面与平面的夹角为 A． B． C． D． 8．在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．若复数，，则下列命题中正确的是 A．当或2时，是纯虚数 B．当时， C．当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限 D．若，则 10．已知事件，相互独立，满足，，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 11．在四棱锥中，是菱形对角线的交点，平面，，为底面内的一动点，则下列说法正确的是 A．若，则四棱锥为正四棱锥 B．若，，则动点的轨迹长度为2 C．若，，为对角线上靠近的四等分点，为中点，则和所成角的余弦值为 D．若，且与底面所成角为，则的轨迹与底面围成的几何体的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________． 13．求值：________． 14．在中，，且的平分线交于点，为的中点．若，，则的长为________． 四、解答题（本题共5大题，共77分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分） 已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 16．（15分） 设为实数，已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）若，，，均为锐角，求． 17．（15分） 在中，，． （1）若为延长线上一点，，且，求的长； （2）若为外接圆上任一点（，在直线的两侧），，求． 18．（17分） 某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数） （2）在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差； （3）通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？ 19．（17分） 如图所示，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，． （1）若平面平面，求证：； （2）求四面体外接球的半径； （3）过的中点作平面与棱，，分别交于点，，，记，，，探究是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高一年级质量监测 数学 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题意要求的。) 1-4 ACBD;5-8 ACDD. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.BD;10.BCD;11.ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.0；13.3；14.25 四、解答题（本题共5大题，共77分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.(13分) 解析： (1)因为0A+20B=1,2)-2(2,1)=(←3,0)，xOA+30B=x1,2)+3(2,1)=(x+6,2x+3). 且(OA+2OB)⊥(xOA+3OB), 所以(OA+2OB)(xOA+3OB)=0,… …3分 (-3,0)(x+6,2x+3)=0,即3(x+=0,解得x=-6. …6分 (2)(法一)设OP=(x,),P是直线OM上的一个动点 所以OP∥OM,即y=-3x.… …8分 所以PA.PB=1-x,2-y)(2-x,1-y)=(1-x)(2-)+(2-y)1-) =10x2+6x+4 10 …11分 所以当x=-时，，P西最小值为别 此时点P的经标为（品品 …13分 10 10 (法二)设OP=0M(aeR),则O严=(-1,3). …8分 PA.PB=(OA-OP).(OB-OP) =1022-6+4 …11分 所以当天=时，PA防最小位为 1 39 ,此时点P的坐标为(0：1司 …13分 第1页共5页 16.(15分) 解析： (1))sincocosin4x+cosm 2 2 2 2 2 =√3sinx-cosx+m-2 23. 1 2 sinx-cosx)+m-2 =2sin(x-）+m-2… …4分 6 因为x∈R,所以sin(x-)的最小值为-1，故函数f)的最小值为m-4. 又因为f(x)的最小值为-2，所以m=2.…6分 (2)因为f()=2sin6c+2,所以fa+君=2sinu= 7√2 从而sima=75 …8分 10 又因为a为锐角，所以cosa=V1-sin2a=,1 98-V2 …10分 10010 7N2 故tana= 12=10e7.11 coSa √2 10 tan a+tan B 74 tan(a+β) 3=-1.…13分 1-tan tan p1-7×3 4 又a,B均为锐角，所以a+B∈(0，)，从而a+B=3江 …15分 4 17.(15分) 解析： AB (1)在△ABC中，由正弦定理知 BC sin∠4CB sin A' 得sin LACB=ABsm4_ 2x3 ,2=3,5 …2分 BC 3 =3<2 则∠ACB<A=60°，知∠BCD=180°-∠ACB>120°. 即∠BCD为钝角，则cos∠BCD=-V1-sin∠BCD= _VG …4分 3 在△BCD中，由余弦定理知 第2页共5页 BD=BC2+CD-2BC.CDco9∠BCD=9+6-2×3×V6x-N6=27 3 则BD=3√5.… …6分 (2)白4C=而4如，4C而--亚 得DC∥AB,且DC=3 。 则四边形ABCD为梯形，且∠ABC+∠DCB=180°， 又四边形ABCD为圆内接四边形， 则∠ABC+∠ADC=180°. 有∠DCB=∠ADC, 则四边形ABCD为等腰梯形，则AD=BC=3,… …10分 在△ABD中，由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0S∠BAD=13-12c0S∠BAD. 在△BCD中，由余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC.CD cos∠BCD=18-18cos∠BCD=18+18cos∠BAD. 则13-12c0s∠BAD=18+18cos∠BAD,解得coS∠BAD=- ……12分 6 则BD.AC=(AD-AB)·(AD+DC) -而--而+丽 丽+分 2 =9-6-1、5 22 15分 18.(17分) 解析： (1)由频率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1, 解得a=0.02..… …2分 设60百分数对应的成绩为x,则 0.05+0.2+0.3+035×(x=80)=0.6 10 解得x≈814.… …4分 (2)记y,x,分别表示5名男生和5名女生的成绩(i=1,2,3,4,5) f得x总=5X85+5×81=83. o 第3页共5页 所以86-列+4-门0，-列+c-时1 i=1 i-1 Ge]暖+gan》 =5×84+5×85-83y2+5×36+5×81-83P]》 10 =64. 所以标准差为S总8.… 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …9分 (3)设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为· 前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局. 若甲最终赢了比赛，可能是4：1或4：2或4：3.…11分 1 当4：1时，甲赢得概率为2： 1、11 当4：2时，甲赢得概率是(1-)× 224 当4：3时，甲赢得概率是(1- ·14分 111=7 打成3：1后，甲获得胜利的概率为二+二+。 乙获得胜利的概率为1-7=} 2488 88 所以应该按照7：1的比例分配奖金更合理，而不是3：1.…17分 19.(17分) 解析： (I)证明：因为ABI/CD,CDC面PCD,ABa面PCD, 所以AB/面PCD,…2分 又ABC面PAB,面PAB∩面PCD=I, 所以l/AB.. 4分 (2)设O为四面体P-ACD外接球的球心，外接球的半径为R, 取CD的中点N,连接PN,因为△PDC是等边三角形， 所以PN L CD.…6分 由面PDC⊥面ABCD,面PDC∩面ABCD=CD,PNC面PCD 所以PN⊥面ABCD· 连接AC,BN交于点H,取PB的中点T,连接HT 所以H为AC的中点. 因为∠ADC=90°，故AH=HD=HC. 所以TH/PN. 第4页共5页 所以TH⊥面ABCD. 所以球心O在TH上.… …8分 R2=OH2+HC 所以 R-oy R2=(3-O0+Hw2’ 则 R=5-0m+ ，解得R=5 6 故四面体P-ACD外接球的半径为5V …10分 6 (3)在直角梯形ABCD中， 1 SAABD 3 S梯形ABCD 1 1 SA4BC=SMACD=S梯形ABcD· C 2 3 因 Vp-ABC= -49+G4_-十+"8AA B Vp-ABCD VP-ABCD VP-ABCD VP-ABCD ,48照十+-2- VA-PBD+ 一+ 一+ Va-PBD 3Vp-ABD Vp-D 3VA-PBD VC-PBD PBPD PB'PC PD 6PB.PD 3 PB.PC.PD 323+2222-321+42》.…13分 6 3 6 同理可得： ,-A4c4-23+3五=2(2%+4). Vp-ABCD 3 6 所以名4+4松)= 6 2(2%十4.15分 7元31+4入)=元，(2入3+2)，两边同除233 得号+4=2+1 即+-14 乃方方 所以2+克左是定值4一 …7分 (备注：学生用特殊位置猜出定值4，给2分) 第5页共5页