精品解析：上海市青浦高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期末考试 高一 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知角的终边经过点，则 _____ 2. 已知，则_______ 3. 复数的虚部为______． 4. 三角函数的单调增区间为________． 5. 已知等差数列，，公差为1，则前n项和________． 6. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 7. 在等比数列中，，，则________． 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量是______． 9. 如图，矩形中，为 中点，与交于点 ，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 10. 青浦高级中学高一数学组开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．某小组成员在旗杆附近找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和．则该旗杆的高度为________． 11. 函数，的值域为_________． 12. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点 、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 已知复数、在复平面内对应的点分别为 、，（ 为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） A. B. C. 的周长 D. 的面积 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 设，复数． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 18. 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的 的值． 19. 在中，，，．点 为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点 为的外心，求、的值. 20. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． （1）当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 21. 设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. （1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； （2）若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； （3）设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2025学年第二学期期末考试 高一 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 已知角的终边经过点，则 _____ 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 故答案为：. 2. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 3. 复数的虚部为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部. 【详解】由复数的除法法则得，因此，复数的虚部为 . 故答案为 . 【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数四则运算法则将复数表示为一般形式即可，考查计算能力，属于基础题. 4. 三角函数的单调增区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调增区间，通过换元法，解关于 的不等式，即可求得函数的单调增区间. 【详解】正弦函数的单调增区间为. 令，由， 解得， 所以函数的单调增区间为. 5. 已知等差数列，，公差为1，则前n项和________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知数列是等差数列，所以， 因为，， 所以，即， 所以， 所以. 6. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 7. 在等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 所以，解得， 所以. 8. 已知向量，，则在方向上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以，， 所以在方向上的投影向量为. 9. 如图，矩形中，为 中点，与交于点 ，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为______（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由已知， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 10. 青浦高级中学高一数学组开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．某小组成员在旗杆附近找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和．则该旗杆的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设旗杆的高度为 ，建筑物底部与旗杆底部的水平距离为，根据已知条件列方程，联立消去，即可求出旗杆的高度. 【详解】设旗杆的高度为 ，建筑物底部与旗杆底部的水平距离为， 如图，则，所以； ，所以， 所以，解得. 11. 函数，的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将原三角函数转化为初等函数，先确定换元后参数的取值范围，再利用单调性求解值域． 【详解】令，由辅助角公式得， 因为，所以， 因为，所以，所以， 代入的表达式得， 所以原函数可化为，， 因为与在上单调递增，所以在上单调递增， 所以时，； 时，． 综上所述，函数的值域为． 12. 如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点 、在八边形的内部（含边界），则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大， 因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点 为 点， 则点在直线上的投影在的延长线， 当点与 重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反， 此时取得最小值，，， ， 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦函数、余弦函数、正切函数的性质可知： 为偶函数，最小正周期为，A错误； 为奇函数，最小正周期为，B错误； 为奇函数，最小正周期是，C正确； 为奇函数，最小正周期为，D错误. 14. 已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件以及必要条件的定义，举例说明，即可得出答案. 【详解】令，显然，所以数列是递增数列，但； 令，显然成立. 又，，所以，， 所以数列不是递增数列. 所以，数列是递增数列是的既不充分也不必要条件. 15. 已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的，当时，都有，则正整数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解. 【详解】因为，所以与在方向上的数量投影相同. 将，，…，，平移到同一起点， 以所在直线为 轴，同一起点为坐标原点建系， 因为，所以，，…，的终点在半径为1或2的圆上， 如图，作与 轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点， 此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个. 故选：B. 16. 已知复数、在复平面内对应的点分别为 、，（ 为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） A. B. C. 的周长 D. 的面积 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论. 【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为 、，（ 为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值， 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 设，复数． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)若复数为纯虚数，则实部为0且虚部不为0，结合条件求解即可； (2)若复数在第四象限，则实部大于0，虚部小于0，求解即可. 【小问1详解】 ，若为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 若在复平面内表示的点位于第四象限，则，解得，则的取值范围为. 18. 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的 的值． 【答案】（1）， （2）最大值是2， 的最小值是， 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程； （2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时 的值. 【小问1详解】 函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的图象对称轴方程为． 【小问2详解】 由（1）知，在上，， 故当，即时，取得最大值为2， 当，即时，取得最小值为， 故的最大值是2，此时的最小值是，此时． 19. 在中，，，．点 为所在平面上一点，满足（、且）． （1）若，用，表示； （2）若点 为的外心，求、的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【小问1详解】 因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. 【小问2详解】 取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 20. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． （1）当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； （2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得； （2）借助 表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由，，故， 由余弦定理可得， 即，由正弦定理可得， 即， 则， 故有， 故， ； 【小问2详解】 ， ， 故， 则， 其中，，则当， 即时，草坪ABCD的面积最大， 此时， 即此时小路BD的长度为. 21. 设数列的前n项和为.若（），则称是“紧密数列”. （1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； （2）若数列的前n项和为（），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； （3）设数列是公比为q的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求q的取值范围. 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“紧密数列”的定义，列不等式，即可求解； （2）首先根据公式求通项公式，再根据“紧密数列”的定义，即可列式判断； （3）首先根据数列是“紧密数列”，结合等比数列的性质，确定的范围，再在这个范围内分，和三个范围，结合数列是“紧密数列”，列式求解. 【小问1详解】 由题意得：，所以. 【小问2详解】 由数列的前n项和（），得 时，， 时，， 验证，当时，，成立， 所以 所以，， 因为对任意，，即， 所以，，即是“紧密数列”. 【小问3详解】 由数列是公比为q的等比数列，得， 因为是“紧密数列”，所以. ①当时，，， 因为， 所以时，数列为“紧密数列”，故满足题意. ②当时，，则. 因为数列为“紧密数列”， 所以，对任意恒成立. （i）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，， 所以，， 所以，当时，，对任意恒成立. （ii）当时，， 即，对任意恒成立. 因为，，. 所以，解得， 又，此时q不存在. 综上所述，q的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“紧密数列”的定义，对于第三问，关键是根据数列是“紧密数列”，找到命题的必要条件，再在范围内，分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $