专题01 实数及其运算（5年汇编）（重庆专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合重庆2022-2026年中考数与式真题及模拟题，聚焦9个高频考点，兼具考情分析与分层训练 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|4分/题|实数概念（倒数、相反数）、规律探究（图形/数字）、科学记数法|基础题纯数字设问，规律题跨学科情境（化学分子模型），本土素材（重庆马拉松）| |填空|4-8分|二次根式估算、实数运算、新定义（如“勾股和数”）|新定义融合整数约束与分类讨论，运算题侧重零次幂、绝对值化简| |解答|8分/题|整式分式计算、化简求值|分式化简求值强调步骤规范，整式计算结合平方差公式应用|

专题01 数与式及其运算 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01倒数、相反数、绝对值 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以选择题填空题等小题形式考查。命题极少复杂情境，仅纯数字简单设问出现。核心围绕三类实数基础定义辨析展开，重点考查定义区分、简单符号计算两大内容，同时常设易混概念辨析类考题。整体难度极低，近五年命题无复杂混合运算，仅单一概念设问，概念辨析类基础题占比100%。 考点02 图形与数字规律探究 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以选择题第 6、7 题形式考查，分值稳定 4 分。命题采用跨学科情境化设计，几何拼接图案、化学烷烃/醇类分子模型、圆点木棍模型等素材频繁出现。核心围绕等差数列通项推导展开，重点考查找第 n 项数值、简单递推规律两大内容，同时常设图形计数类基础考题。整体难度偏低，近三年命题跨学科素材逐年增多，仅基础等差规律，不涉及复杂分段、等比综合探究。 考点03 整式相关的新定义题型 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 多以选择题或填空题压轴小题形式考查。命题纯代数创新自定义设计，“勾股和数、递减数、天真数、整式 M、加算操作” 全新代数名词每年轮换出现。核心围绕整数约束、分类讨论、因式判定展开，重点考查多结论正误判断、整数限定推理两大内容，同时常设不等式结合代数综合考题。整体难度全卷选择题最高，近五年命题固定 3 个说法判断正确个数，融合因式、分式、不等式多模块综合，代数推理类设问占比逐年提升。 考点04 科学记数法 2026重庆卷 2025重庆卷 均以选择题形式考查，分值稳定4 分。命题采用重庆本地时事情境化设计，重庆马拉松参赛人数等本土文旅、经济素材频繁出现。核心围绕规范书写展开，重点考查大数表示、指数正负区分两大内容，同时常设生活大数转化类考题。整体难度偏低，近三年命题全部贴合重庆本地热点，极少考查极小小数科学记数法。 考点05 有理数大小的比较 2024重庆卷 多以选择题第 1 题轮换考查。命题无复杂情境，仅正负整数、0、简单分数混合素材。核心围绕有理数比较法则展开，重点考查负数比较、0 分界大小判定两大内容，同时常设多数字排序辨析类考题。整体难度极低，常与相反数、倒数轮换作为卷首送分题，无多层复合数字设问。 考点06 二次根式的大小估算 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 此前以选择题 6-8 号位置考查，近两年改为填空题考察，分值稳定 4 分。命题无复杂生活情境，仅单纯无理数估算设问。核心围绕无理数区间锁定展开，重点确定根式在哪两个相邻整数之间两大内容，同时常设简单根式不等式配套考题。整体难度偏低，近五年命题仅单一估算，不结合方程、函数综合设问。 考点07 实数的运算 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 固定考查形式：填空题。命题无复杂情境，纯实数混合计算素材。核心围绕实数基础运算规则展开，重点考查零次幂、负整数指数、绝对值化简、开方四大模块，同时常设分步混合计算类考题。整体难度基础。 考点08 整式与分式的计算 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题基础小问形式考查，单道分值8 分。命题纯代数式子素材，无情境包装。核心围绕整式乘法、分式四则运算展开，重点考查平方差、完全平方公式、分式因式分解约分两大内容，同时常设通分、符号易错类计算考题。整体难度中等偏易，近五年分式计算必考，整式运算为辅，极少搭配复杂参数讨论。 考点09 化简求值大题 2026重庆卷 2025重庆卷 均以解答 18/19 题固定大题形式考查，分值稳定 8 分。命题仅简单特殊自变量素材，无复杂情境。核心围绕 “先化简后代入求值” 流程展开，重点考查分式约分化简、分式有意义取值筛选两大内容，同时常设规避分母为 0 陷阱类考题。整体难度偏低，近三年设问流程完全固定，自变量均选用简单特殊值，规范书写步骤类阅卷得分点占比逐年重视。 考点01 倒数、相反数、绝对值 1.（2026·重庆·中考真题）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 2.（2025·重庆·中考真题）6的相反数是（   ） A． B． C． D．6 3.（2023·重庆·中考真题）8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 4.（2023·重庆·中考真题）4的相反数是（　　） A．4 B．﹣4 C． D．- 5.（2022·重庆·中考真题）5的相反数是(    ) A． B． C． D． 6.（2022·重庆·中考真题）2的相反数是（   ） A．2 B．－2 C． D． 7.（2026·重庆·中考真题）若实数，同时满足，，则的值为____． 8.（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 考点02 图形与数字规律探究 1.（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 2.（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 3.（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 4.（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 5.（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（    ）    A．39 B．44 C．49 D．54 6.（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（    ）    A．14 B．20 C．23 D．26 7.（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）    A．32 B．34 C．37 D．41 8.（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（    ） A．15 B．13 C．11 D．9 考点03 整式相关的新定义题型 1.（2026·重庆·中考真题）已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5.（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 7.（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 8.（2023·重庆·中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 9.（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 10.（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 11.（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 考点04 科学记数法 1.（2026·重庆·中考真题）2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2.（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 考点05 有理数大小的比较 1.（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．3 D． 2.（2024·重庆·中考真题）下列各数中最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．2 考点06 二次根式的大小估算 1.（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 3.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 4.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5.（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间 6.（2022·重庆·中考真题）估计的值在（    ） A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 7.（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 8.（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 考点07 实数的运算 1.（2024·重庆·中考真题）计算：______． 2.（2024·重庆·中考真题）计算：______． 3.（2023·重庆·中考真题）计算 __． 4.（2023·重庆·中考真题）计算：________． 5.（2022·重庆·中考真题）计算：_________． 6.（2022·重庆·中考真题）_________． 考点08 整式与分式的计算 1.（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 2.（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 3.（2023·重庆·中考真题）计算： (1)； (2) 4.（2023·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 5.（2022·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 6.（2022·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 考点09 化简求值大题 1.（2026·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2.（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1.（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 2.（2026·重庆·三模）下列四个数中，值最小的是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·重庆武隆·一模）估计的值应在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4.（2026·重庆渝中·三模）如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 5.（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 6.（2026·重庆·二模）估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7.（2026·重庆·模拟预测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8.（2026·重庆·二模）已知整式，其中n为正整数，均为整数，，，，下列说法： ①n的最大值为5； ②当，，满足条件的整式M共有14个； ③当，若x取任意实数时，M的值一定为正数，则W的值至少为6． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.（2026·重庆·三模）已知整式：，其中，，…，，均为整数，为正整数，且，若，且为奇数．则下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有个； ②若，，(，，)，则满足条件的整式的各项系数之和的最小值为； ③若，且关于的方程有实数解，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10.（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为______． 11.（2026·重庆·二模）截至年底，我国高铁营业里程达公里，超过世界上其他国家高铁营业里程总和，数据用科学记数法表示是______． 12.（2026·重庆·二模）若为正整数，且满足，则________． 13.（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________． 14.（2026·重庆·三模）已知m为正整数，若，则________． 15.（2026·重庆·二模）我们规定：一个各个数位数字均不为的四位数，如果满足，则称这个四位数为“二七数”，例如四位数，因为，所以是“二七数”．按照这个规定，最小的“二七数”是______；已知一个“二七数”的千位数字等于十位数字与个位数字之和，将的首位数字放在末尾产生第一个新数，记为，再将新数首位的数字放在末尾，产生第二个新数，记为，以此类推得到，记，，若，均是整数，则满足条件的所有的和为______． 16.（2026·重庆·二模）先化简，再求值：，其中． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式及其运算 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01倒数、相反数、绝对值 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以选择题填空题等小题形式考查。命题极少复杂情境，仅纯数字简单设问出现。核心围绕三类实数基础定义辨析展开，重点考查定义区分、简单符号计算两大内容，同时常设易混概念辨析类考题。整体难度极低，近五年命题无复杂混合运算，仅单一概念设问，概念辨析类基础题占比100%。 考点02 图形与数字规律探究 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以选择题第 6、7 题形式考查，分值稳定 4 分。命题采用跨学科情境化设计，几何拼接图案、化学烷烃/醇类分子模型、圆点木棍模型等素材频繁出现。核心围绕等差数列通项推导展开，重点考查找第 n 项数值、简单递推规律两大内容，同时常设图形计数类基础考题。整体难度偏低，近三年命题跨学科素材逐年增多，仅基础等差规律，不涉及复杂分段、等比综合探究。 考点03 整式相关的新定义题型 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 多以选择题或填空题压轴小题形式考查。命题纯代数创新自定义设计，“勾股和数、递减数、天真数、整式 M、加算操作” 全新代数名词每年轮换出现。核心围绕整数约束、分类讨论、因式判定展开，重点考查多结论正误判断、整数限定推理两大内容，同时常设不等式结合代数综合考题。整体难度全卷选择题最高，近五年命题固定 3 个说法判断正确个数，融合因式、分式、不等式多模块综合，代数推理类设问占比逐年提升。 考点04 科学记数法 2026重庆卷 2025重庆卷 均以选择题形式考查，分值稳定4 分。命题采用重庆本地时事情境化设计，重庆马拉松参赛人数等本土文旅、经济素材频繁出现。核心围绕规范书写展开，重点考查大数表示、指数正负区分两大内容，同时常设生活大数转化类考题。整体难度偏低，近三年命题全部贴合重庆本地热点，极少考查极小小数科学记数法。 考点05 有理数大小的比较 2024重庆卷 多以选择题第 1 题轮换考查。命题无复杂情境，仅正负整数、0、简单分数混合素材。核心围绕有理数比较法则展开，重点考查负数比较、0 分界大小判定两大内容，同时常设多数字排序辨析类考题。整体难度极低，常与相反数、倒数轮换作为卷首送分题，无多层复合数字设问。 考点06 二次根式的大小估算 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 此前以选择题 6-8 号位置考查，近两年改为填空题考察，分值稳定 4 分。命题无复杂生活情境，仅单纯无理数估算设问。核心围绕无理数区间锁定展开，重点确定根式在哪两个相邻整数之间两大内容，同时常设简单根式不等式配套考题。整体难度偏低，近五年命题仅单一估算，不结合方程、函数综合设问。 考点07 实数的运算 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 固定考查形式：填空题。命题无复杂情境，纯实数混合计算素材。核心围绕实数基础运算规则展开，重点考查零次幂、负整数指数、绝对值化简、开方四大模块，同时常设分步混合计算类考题。整体难度基础。 考点08 整式与分式的计算 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题基础小问形式考查，单道分值8 分。命题纯代数式子素材，无情境包装。核心围绕整式乘法、分式四则运算展开，重点考查平方差、完全平方公式、分式因式分解约分两大内容，同时常设通分、符号易错类计算考题。整体难度中等偏易，近五年分式计算必考，整式运算为辅，极少搭配复杂参数讨论。 考点09 化简求值大题 2026重庆卷 2025重庆卷 均以解答 18/19 题固定大题形式考查，分值稳定 8 分。命题仅简单特殊自变量素材，无复杂情境。核心围绕 “先化简后代入求值” 流程展开，重点考查分式约分化简、分式有意义取值筛选两大内容，同时常设规避分母为 0 陷阱类考题。整体难度偏低，近三年设问流程完全固定，自变量均选用简单特殊值，规范书写步骤类阅卷得分点占比逐年重视。 考点01 倒数、相反数、绝对值 1.（2026·重庆·中考真题）3的倒数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数， ， 的倒数是． 2.（2025·重庆·中考真题）6的相反数是（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 3.（2023·重庆·中考真题）8的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 4.（2023·重庆·中考真题）4的相反数是（　　） A．4 B．﹣4 C． D．- 【答案】B 【详解】试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 所以4的相反数-4． 故选B． 考点：相反数． 5.（2022·重庆·中考真题）5的相反数是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 6.（2022·重庆·中考真题）2的相反数是（   ） A．2 B．－2 C． D． 【答案】B 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 7.（2026·重庆·中考真题）若实数，同时满足，，则的值为____． 【答案】 【分析】根据得到，由绝对值的非负性推出，则可推出，进而得到，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，此时不满足题意； 当时，，此时满足题意； ∴． 8.（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 图形与数字规律探究 1.（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（     ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第个图形中氢原子个数的公式，将代入计算即可． 【详解】解：第①个图中有个氢原子， ； 第②个图中有个氢原子，； 第③个图中有个氢原子，； 第④个图中有个氢原子， 第个图中氢原子的个数为 ， ∴当时，氢原子的个数为． 2.（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 3.（2024·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 4.（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 5.（2023·重庆·中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（    ）    A．39 B．44 C．49 D．54 【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了根木棍， 第②个图案用了根木棍， 第③个图案用了根木棍， 第④个图案用了根木棍， ……， 第⑧个图案用的木棍根数是根， 故选：B． 【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键． 6.（2023·重庆·中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（    ）    A．14 B．20 C．23 D．26 【答案】B 【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，； 第②个图案中有5个圆圈，； 第③个图案中有8个圆圈，； 第④个图案中有11个圆圈，； …， 所以第⑦个图案中圆圈的个数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键. 7.（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（    ）    A．32 B．34 C．37 D．41 【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 8.（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（    ） A．15 B．13 C．11 D．9 【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可． 【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：； 第②个图案中菱形的个数：； 第③个图案中菱形的个数：； … 第n个图案中菱形的个数：， ∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律． 考点03 整式相关的新定义题型 1.（2026·重庆·中考真题）已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意和的取值，分别确定相应的值，进而可得的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可． 【详解】解：①当时，，即， ∵，为正整数， ∴， 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或（舍去），此时； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得或，此时或； 当时，则，解得，此时， 则满足条件的所有整式的和为，说法①正确； ②当时，，，即， 由题意可知，为正整数，，为整数，且， ∴， ∵函数的图象关于轴对称， ∴，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 又∵为正整数， ∴，， ∴或（舍去）， ∴满足条件的整式，有且仅有1个；说法②正确； ③∵整式是二次二项式， ∴，且只有两个非零项， 同②可得：，为正整数， ∴在这个二次二项式中，或， （Ⅰ）当时，，，， ∴， ∴， ∴当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当时，，能在有理数范围因式分解； 当时，，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当时，，，， ∴， ∴只有符合，此时，能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 2.（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 3.（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 4.（2023·重庆·中考真题）在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 5.（2022·重庆·中考真题）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确． 【详解】解：∵ ∴①说法正确 ∵ 又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号 ∴②说法正确 ③第1种：结果与原多项式相等； 第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n； 第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n； 第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n； 第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n； 第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n； 第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n； 第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意； ∴共有8种情况 ∴③说法正确 ∴正确的个数为3 故选D． 【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键． 6.（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 7.（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【详解】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 8.（2023·重庆·中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 【答案】 8165 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 9.（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 6200 9313 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 10.（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析 (2)8109或8190或4536或4563． 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴1022不是“勾股和数”； ∵， ∴5055是“勾股和数”； （2）∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或8190或4536或4563． 【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 11.（2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析 (2)数A可能为732或372或516或156 【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可； （2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴357不是15“和倍数”； ∵， ∴441是9的“和倍数”． （2）∵三位数A是12的“和倍数”， ∴， ∵， ∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数， ∴， ∵为整数， 设（k为整数）， 则， 整理得：， 根据得：， ∵， ∴，解得， ∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数， ∴， ∴， ∴， 把代入得： ， 整理得：， ∵，k为整数， ∴或， 当时，， ∵， ∴，， ，，，或，，， 要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数， 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴不是12的“和倍数”， ∵， ∴不是12的“和倍数”； 当时，， ∵， ∴， ，，，组成的三位数为516或156， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 综上分析可知，数A可能为732或372或516或156． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度． 考点04 科学记数法 1.（2026·重庆·中考真题）2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为人．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用科学记数法表示为． 2.（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 考点05 有理数大小的比较 1.（2024·重庆·中考真题）下列四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握比较大小的法则．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最小的数是； 故选：A． 2.（2024·重庆·中考真题）下列各数中最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断． 【详解】是负数，其他三个数均是非负数，故是最小的数； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 考点06 二次根式的大小估算 1.（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 3.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 4.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得． 【详解】解：， ， ，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 5.（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】先化简，利用，从而判定即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键． 6.（2022·重庆·中考真题）估计的值在（    ） A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】根据49<54<64，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵49<54<64， ∴， ∴，即的值在3到4之间， 故选：D． 【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 7.（2026·重庆·中考真题）满足的整数的值可以是_____（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一，，，任选其一即可） 【分析】先估算无理数和的取值范围，再确定范围内的整数，任选一个整数即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且n是整数， ∴n的值可以是3或4或5， ∴满足题意的n的值可以是3． 8.（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 考点07 实数的运算 1.（2024·重庆·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算法则，根据零指数幂和负整数指数幂即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2024·重庆·中考真题）计算：______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，分别计算绝对值和零指数幂，然后相加即可． 【详解】解：因为，， 所以； 故答案为 3． 3.（2023·重庆·中考真题）计算 __． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则即可． 【详解】解：原式 故答案为： 4.（2023·重庆·中考真题）计算：________． 【答案】6 【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 5.（2022·重庆·中考真题）计算：_________． 【答案】5 【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 6.（2022·重庆·中考真题）_________． 【答案】3 【分析】先计算绝对值和零指数幂，再进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要掌握负数的绝对值等于它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1． 考点08 整式与分式的计算 1.（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据单项式乘以多项式和完全平方公式法则分别计算，然后合并同类项即可； （）先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简； 本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 2.（2024·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶ （1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3.（2023·重庆·中考真题）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘多项式，平方差公式，再合并同类项即可； （2）先通分计算括号内，再利用分式的除法法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 4.（2023·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项； （2）根据分式混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键． 5.（2022·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6.（2022·重庆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可． 【详解】（1）解： = = （2）解： = = = 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 考点09 化简求值大题 1.（2026·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【详解】 解： ，且时分式有意义 当时，原式． 2.（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 1.（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∵，，且 ∴， ∴ 因此最小的数是. 2.（2026·重庆·三模）下列四个数中，值最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据10的指数判断数的范围，再比较同指数下的系数大小，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴值最小的是． 3.（2026·重庆武隆·一模）估计的值应在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先将原式化简得到，估算出的范围，再估算出的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 的值在和之间． 4.（2026·重庆渝中·三模）如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第6个图形需要的小棒数量为（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了根据图形的变化探索规律．观察图案发现，从第二个图案开始，每个图案比上一个图案增加了2根小棒，结合第一个图案有3根小棒，即可探索得出第6个图案中小棒的数量． 【详解】解：第①个图案有3根小棒， 第②个图案有根小棒， 第③个图案有根小棒， …… 第⑥个图案有根小棒． 5.（2026·重庆·三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图有个圆点，第②个图有个圆点，第③个图有个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中的圆点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察前三个图形中圆点的个数，发现后一个图形比前一个图形多个圆点，归纳出第个图形圆点个数的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图有个圆点， 第②个图有个圆点，， 第③个图有个圆点，， 每增加一个图形，圆点个数增加个． ∴第个图中圆点的个数为． 当时，圆点个数为． 6.（2026·重庆·二模）估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】D 【分析】先根据二次根式的运算法则把化简为，然后估算的取值范围，再根据不等式的性质变形即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7.（2026·重庆·模拟预测）对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题意知：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换得到的整式串是，，，整式串之和为； 第2次变换得到的整式串是，，，，，整式串之和为； 第3次变换得到的整式串是，，，，，，，，，整式串之和为； 以此类推，第n次变换得到的整式串之和为． ①由题意得， ∵不含的一次项， ∴，解得，①正确； ②当时，由题意得，整理得， 则， 因此，②正确； ③∵第n次变换得到的整式串之和为， ∴当时，整式串之和为，③正确． 8.（2026·重庆·二模）已知整式，其中n为正整数，均为整数，，，，下列说法： ①n的最大值为5； ②当，，满足条件的整式M共有14个； ③当，若x取任意实数时，M的值一定为正数，则W的值至少为6． 其中正确的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别对三个说法逐一验证，结合整数性质，二次函数性质计算判断． 【详解】解：①要得到最大的，需让个递增整数的绝对值和最小，最小绝对值和为包含的连续递增整数． 若，共个系数，取，满足，，且，符合条件； 若，共个递增整数，最小绝对值和为，不存在符合条件的情况，故最大值为，故①正确； ②当时，，满足，，，分类计数： ，则，得，符合条件的共个； ，得，符合条件的整数对共个； ，得，符合条件的整数对共个； 总个数为，故②正确； ③当时，， 对任意实数，恒为正数，则，且， 若，则，，不满足条件，故； 由，且均为整数，得最小取值为， 此时，满足条件， 此时，不存在更小的，故至少为，故③正确． 综上所述，正确个数为． 9.（2026·重庆·三模）已知整式：，其中，，…，，均为整数，为正整数，且，若，且为奇数．则下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有个； ②若，，(，，)，则满足条件的整式的各项系数之和的最小值为； ③若，且关于的方程有实数解，则满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的整数系数、绝对值递减、为奇数的条件，逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：① ，，且， ， 为奇数，是奇数， 为偶数，即为偶数， 满足条件的为，，共个整式，故①正确； ②，，均为正整数，要求最小， 最小的组合是，，，平方和为，是偶数，不符合要求，且无其他符合条件的组合， 下一个最小组合为，，，平方和为，是奇数，满足所有条件，系数和为，故②正确； ③，按最高次分类讨论： 1、，平方和，仅，满足条件，一次方程必有实根，、各有种符号，共个整式； 2、，三个不同正绝对值平方和为，仅，，满足条件，判别式，得，即与异号，可正可负，共个整式； 3、 时，个系数的最小平方和为，，，无符合条件的组合， 4、时，个系数的最小平方和为，无符合条件的组合， 故总共有个整式，③正确； 三个说法都正确，正确个数为， 故选：A． 10.（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉第一个绝对值，再分和两种情况讨论，解方程组得到，的值，再计算． 【详解】解：由移项得， 绝对值为非负数， ，即， ， ∴， 将代入，得， 整理得， ①当时，即，得， 此时，代入得， 把代入得，即，矛盾，方程组无解； ②当时，即，得，结合得， 此时，代入得：， 整理得， 把代入得， 解得，即，则，满足和， ∴． 11.（2026·重庆·二模）截至年底，我国高铁营业里程达公里，超过世界上其他国家高铁营业里程总和，数据用科学记数法表示是______． 【答案】 【详解】． 12.（2026·重庆·二模）若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合为正整数和已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴ ， ∴ ， 为正整数，且满足 ， ． 13.（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________． 【答案】 【分析】先通过估算无理数的范围，确定整数的值，再根据求出整数，结合二次根式有意义的条件舍去不符合题意的，最后代入计算得到结果． 【详解】解：， ． 又为整数，且满足， ， 把代入得， ． 当时， ，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ． 14.（2026·重庆·三模）已知m为正整数，若，则________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，再推导的取值范围，结合已知条件和为正整数，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，为正整数， ． 15.（2026·重庆·二模）我们规定：一个各个数位数字均不为的四位数，如果满足，则称这个四位数为“二七数”，例如四位数，因为，所以是“二七数”．按照这个规定，最小的“二七数”是______；已知一个“二七数”的千位数字等于十位数字与个位数字之和，将的首位数字放在末尾产生第一个新数，记为，再将新数首位的数字放在末尾，产生第二个新数，记为，以此类推得到，记，，若，均是整数，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 【分析】找最小“二七数”，需让千位、百位依次取最小满足条件的正整数，个位取最小非零数即可；先化简得出是的倍数，结合和为整数的条件，枚举所有符合条件的数后求和． 【详解】四位数各个数位数字均不为，即，，，且为整数，满足， 要使四位数最小，先让千位尽可能小，当时，， 再让百位尽可能小，当时，，得，满足条件， 个位最小取， 最小的“二七数”是； 设，则，，， ， ， 是整数，与互质， 是的倍数， 的千位数字等于十位数字与个位数字之和， ， ，，且为整数， ， 代入得，， ， ， 是的倍数； ， 是整数， 是整数， ，， ， ， 的可能值为，，， 分情况讨论： 当时，， 且为整数， ， 为整数， 整除，验证所有可能的均不满足条件，全部舍去； 当时，， 为整数，且整除， 时，，，代入得，，符合条件，得； 时，，，代入得，，符合条件，得； 当时，得，，代入得，不符合各数位不为的要求，舍去； 满足条件的所有的和为． 16.（2026·重庆·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，原式 【分析】先根据整式乘法法则和分式混合运算法则化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； ， 把代入得，原式． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $