广东省广州市天河区2025-2026学年七年级下学期期末数学练习试卷

**基本信息** 这份七年级下册期末数学试卷以生活情境与文化素材为载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，全面考查实数、几何、统计等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|实数、不等式、平行线|第7题以五线谱为背景考查平行线性质，体现文化情境| |多选题|2题|对顶角、方程组|第10题结合参数讨论方程组解的关系，考查推理意识| |填空题|6题|点到直线距离、坐标|第16题动点距离最小值，考查空间观念| |解答题|9题|统计分析、新定义、几何证明|第21题跳绳活动统计分析，第24题“k属派生点”新定义，第25题平行四边形中心对称证明，综合考查数据意识与创新思维|

2025-2026学年广东省广州市天河区七年级（下）期末数学练习试卷 一．选择题（共8小题） 1．如图，矩形ABCD中，图中五个小矩形的周长和为14，BC＝4，则对角线AC的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．14 2．4的平方根是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．﹣2 3．下列四个选项中，为无理数的是（　　） A．1 B． C．﹣2 D．3.15 4．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　） A．2m＞n + 2 B． C．﹣m＞﹣n D．2m + 1＞2n + 1 5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A．调查某种电池的使用寿命 B．选出某校跳远最快的学生参加全市比赛 C．了解嫦娥七号探测器的零部件是否正常 D．调查某班学生的绘画水平情况 6．一元一次不等式组的解集为（　　） A．0＜x＜6 B．x＞4 C．4＜x＜6 D．x＜6 7．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 8．下列命题中，假命题是（　　） A．直角都相等 B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（在同一平面内） D．如果m∥n，n∥p，那么m∥p 二．多选题（共2小题） （多选）9．下列说法正确的是（　　） A．同旁内角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．垂线段最短 （多选）10．关于x，y的二元一次方程组，下列说法正确的是（　　） A．当a ＝ 1时，x ＝ y B．x，a满足关系式x ＝ 3a + 2.5 C．若x + y＜0，则a D．若x + 2y ＝ 3，则a ＝ 三．填空题（共6小题） 11．． 12．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10，则点B到AC的距离是 　 　 ． 13．语句“x的3倍与5的和是正数”用不等式可以表示为． 14．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣1，2），图书馆位置的坐标是（2，4），则实验楼位置的坐标是　 　 ． 15．如图，直线AB，CD相交于点O，OP⊥AB，O为垂足，若∠BOC＝144°，则∠POD＝　 　 °． 16．在平面直角坐标系中，已知动点A（x，4）（x是任意实数）和定点B（﹣3，﹣4），则线段AB的长的最小值为． 四．解答题（共9小题） 17．解不等式4﹣2（2x﹣1）＞﹣7x． 18．解方程组． 19．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠1＝∠2，试探究AB与DC的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：AB与DC的位置关系是①　 　 ． ∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线（已知）， ∴∠2∠②　 　 ，∠3∠③　 　 （④　 　 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠2＝∠⑤　 　 ． 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（⑥　 　 ）， ∴AB∥DC． 20．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是　 　 ； ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是　 　 ； （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD． 21．为推进健康校园建设，丰富校园体育生活，某校开展“跃动青春•绳彩飞扬”跳绳活动周． 【数据收集】数学兴趣小组从参加活动的八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A：x＜180，B：180≤x＜190，C：190≤x＜200，D：200≤x＜210，E：x≥210）． 【数据整理】 九年级学生一分钟跳绳个数条形统计图和八年级学生一分钟跳绳个数扇形统计图绘制如下（不完整）： 九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：190，195，193，195，195，194． 八年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：193，192，196，193，196，196，196，196． 【数据分析】两个年级学生一分钟跳绳个数分析如表： 年级 统计量 平均数/个 中位数/个 众数/个 方差 九年级 194 a 195 32.3 八年级 194 196 b 45.5 【问题解决】 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）补全条形统计图． （3）根据以上数据分析，你认为哪个年级的一分钟跳绳成绩更好？并说明理由（至少从两个统计量角度说明）． （4）若该校参加此次跳绳活动的八年级学生有200名，九年级学生有260名，请你估计两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数． 22．张老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.6元/度，谷时充电的电价为0.2元/度，某月张老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为200度，共花去电费80元．求这个月张老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 23．在平面直角坐标系中，已知点N（3a+b，b+d）在第四象限．（1）若已知3a﹣2的算术平方根是5，3b+3的立方根是﹣3，d是的整数部分．试判断通过计算得到的点N是否满足题意，并说明理由；（2）若﹣4≤b＜0，请结合画图判断点M（3a﹣d，3b+12）所在位置的区域，并说明理由． 24．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（m，n），若点Q′的坐标为（m+4n，4m+n）（其中4为常数，且4≠0），则称点Q′为点Q的“4属派生点”．例如：Q（1，5）的“4属派生点”为Q′（1+4×5，4×1+5），即Q′（21，9）．（Ⅰ）点Q（﹣3，4）的“4属派生点”Q′的坐标为；（Ⅱ）若点Q的“5属派生点”Q′的坐标为（4，﹣10），求点Q的坐标；（Ⅲ）若点Q在x轴的正半轴上，点Q的“k属派生点”为Q′点，且线段QQ′的长度为线段OQ长度的3倍，求k的值． 25．定义：若两个点关于某个点中心对称，这两个点就称作完美对称点，那个点是对称中心． 如图1：平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，点A、点C是关于点O中心对称，所以点A、C是完美对称点，点O为对称中心． 如图2：平行四边形ABCD中对角线交于点O，MN过点O分别交AD、BC于点M、N． （1）求证：点M与点N是完美对称点． （2）如图3，当MN⊥AD，AC⊥BD时，，请写出长度为4AM的线段． 2025-2026学年广东省广州市天河区七年级（下）期末数学练习试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，矩形ABCD中，图中五个小矩形的周长和为14，BC＝4，则对角线AC的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．14 【分析】根据平移的性质得出矩形ABCD的周长与这五个小矩形的周长和相等，求出AB的长，再根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：根据平移的性质可知，矩形ABCD的周长与这五个小矩形的周长和相等，都是14， 所以AB14﹣4＝3， 所以AC5， 故选：A． 【点评】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质以及勾股定理是正确解答的前提． 2．4的平方根是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．﹣2 【分析】本题考查平方根的概念．如果一个数x的平方等于a，即x2＝ a，那么这个数x就叫做a的平方根．正数有两个平方根，它们互为相反数．解题的切入点是根据平方根的定义来求解4的平方根． 【解答】因为（±2）2＝ 4，所以4的平方根是±2．逐一分析选项：A选项±2，正确；B选项±4，错误；C选项2，只是其中一个平方根，不完整，错误；D选项﹣2，只是其中一个平方根，不完整，错误． 【点评】本题考查平方根基础知识点，要注意正数的平方根有两个，不要遗漏． 3．下列四个选项中，为无理数的是（　　） A．1 B． C．﹣2 D．3.15 【分析】本题考查无理数的概念．无理数，也称为无限不循环小数．解题的切入点是根据无理数的定义来判断每个选项． 【解答】A选项1是整数，属于有理数；B选项是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；C选项﹣2是整数，属于有理数；D选项3.15是有限小数，属于有理数． 【点评】本题考查无理数的概念，关键是要理解无理数是无限不循环小数，能准确区分有理数和无理数． 4．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（　　） A．2m＞n + 2 B． C．﹣m＞﹣n D．2m + 1＞2n + 1 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的性质有：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．解题的切入点是根据这些性质对每个选项进行分析． 【解答】A选项：仅由m＞n，不能得出2m＞n+2，例如当m ＝ 2，n ＝ 1时，2×2 ＝ 4，1+2 ＝ 3，虽然m＞n，但2m ＝ n+2不成立，错误；B选项：因为m＞n，根据不等式性质，两边同时除以3，不等号方向不变，应该是，错误；C选项：因为m＞n，根据不等式性质，两边同时乘以﹣1，不等号方向改变，应该是﹣m＜﹣n，错误；D选项：因为m＞n，两边同时乘以2得2m＞2n，再两边同时加1得2m+1＞2n+1，正确． 【点评】本题考查不等式的性质，关键是要熟练掌握不等式的各种性质，并能准确运用来判断不等式是否成立． 5．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A．调查某种电池的使用寿命 B．选出某校跳远最快的学生参加全市比赛 C．了解嫦娥七号探测器的零部件是否正常 D．调查某班学生的绘画水平情况 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．全面调查是对调查对象的所有单位进行调查的调查方式；抽样调查是一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法．解题的切入点是根据不同调查内容的特点来判断适合的调查方式． 【解答】A选项：调查某种电池的使用寿命，由于测试电池使用寿命具有破坏性，不能对所有电池进行测试，所以适合采用抽样调查，正确；B选项：选出某校跳远最快的学生参加全市比赛，需要对每个学生的跳远成绩进行准确测量，适合全面调查，错误；C选项：了解嫦娥七号探测器的零部件是否正常，因为探测器零部件关系到探测器的安全和正常运行，需要对每个零部件进行检查，适合全面调查，错误；D选项：调查某班学生的绘画水平情况，班级学生数量相对较少，可以对每个学生的绘画水平进行调查，适合全面调查，错误． 【点评】本题考查全面调查与抽样调查的区分，关键是要理解不同调查方式的特点和适用场景． 6．一元一次不等式组的解集为（　　） A．0＜x＜6 B．x＞4 C．4＜x＜6 D．x＜6 【分析】本题考查解一元一次不等式组．解一元一次不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分．解题的切入点是分别求解不等式x﹣3＞1和2x＜12，然后找出解集的公共部分． 【解答】解不等式x﹣3＞1，移项可得x＞1+3，即x＞4；解不等式2x＜12，两边同时除以2可得x＜6．所以不等式组的解集为4＜x＜6．逐一分析选项：A选项0＜x＜6，错误；B选项x＞4，不完整，错误；C选项4＜x＜6，正确；D选项x＜6，不完整，错误． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，关键是要正确求解每个不等式的解集，并准确找出它们的公共部分． 7．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1＝125°，∠2＝35°，则∠BEC的度数为（　　） A．90° B．85° C．95° D．80° 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：如图， ∵AB∥EM∥CD， ∴∠1+∠BEM＝180°，∠CEM＝∠2， ∵∠1＝125°，∠2＝35°， ∴∠BEM＝55°，∠CEM＝35°， ∴∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝90°， 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 8．下列命题中，假命题是（　　） A．直角都相等 B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（在同一平面内） D．如果m∥n，n∥p，那么m∥p 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及多个基本的几何定理和性质．需要对每个选项所涉及的知识点进行准确理解和判断． 【解答】A选项：直角的度数都是90°，所以直角都相等，该命题是真命题．B选项：根据平行线的性质，两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，该命题是真命题．C选项：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题．D选项：如果m∥n，n∥p，根据平行公理的推论，那么m∥p，该命题是真命题．而B选项中，两条直线被第三条直线所截，只有在两条直线平行的条件下，同位角才相等，原表述缺少平行条件，所以是假命题． 【点评】本题考查了常见的几何命题，关键在于对每个命题所涉及的定理和性质的准确把握，注意一些命题成立的前提条件． 二．多选题（共2小题） （多选）9．下列说法正确的是（　　） A．同旁内角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．同位角相等 D．垂线段最短 【分析】根据平行线的性质、对顶角的性质、垂线的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故本选项不符合题意； B、对顶角相等，说法正确，符合题意； C、只有在平行线中，同位角才相等，故本选项不符合题意； D、垂线段最短，说法正确，故本选项符合题意； 故选：BD． 【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质、垂线的性质等知识点，熟练掌握平行线、垂线的性质是解答本题的关键． （多选）10．关于x，y的二元一次方程组，下列说法正确的是（　　） A．当a ＝ 1时，x ＝ y B．x，a满足关系式x ＝ 3a + 2.5 C．若x + y＜0，则a D．若x + 2y ＝ 3，则a ＝ 【分析】本题考查二元一次方程组的解的相关性质．先通过解方程组得到x、y关于a的表达式，再逐一分析各个选项． 【解答】对于方程组，将两个方程相加可得：2x＝6a+5，解得x＝3a+2.5．将x＝3a+2.5代入x+y＝3a+5，可得y＝2.5．A选项：当a ＝ 1时，x＝3×1+2.5＝5.5，y＝2.5，x≠y，A错误．B选项：x＝3a+2.5，B正确．C选项：若x+y＜0，即3a+5＜0，解得，C正确．D选项：若x+2y＝3，即3a+2.5+2×2.5＝3，3a+2.5+5＝3，3a＝﹣4.5，解得a＝﹣1.5，D错误． 【点评】本题考查二元一次方程组的解法以及根据方程组的解进行相关计算和判断，关键在于准确求解方程组并代入选项进行验证． 三．填空题（共6小题） 11．． 【分析】本题考查实数的运算，涉及立方根和算术平方根的计算．先分别计算出立方根和算术平方根的值，再进行加法运算． 【解答】先计算立方根：，因为（﹣2）3＝﹣8．再计算算术平方根：，因为42＝16．然后进行加法运算：﹣2+4＝2． 【点评】本题主要考查立方根和算术平方根的基本运算，计算时要注意符号和运算顺序． 12．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10，则点B到AC的距离是 　4.8　 ． 【分析】过点B作BD⊥AC交AC于点D，则BD为点B到AC的距离，根据三角形的面积公式求出BD即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC于点D，则BD为点B到AC的距离． ∵∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，AC＝10， ∴SRt△ABCAB•BCAC•BD， ∴BD4.8， ∴点B到AC的距离是4.8． 故答案为：4.8． 【点评】本题考查点到直线的距离，掌握其定义是解题的关键． 13．语句“x的3倍与5的和是正数”用不等式可以表示为． 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式．关键是理解题目中数量之间的关系，根据“和”“正数”等关键词列出不等式． 【解答】x的3倍即3x，与5的和表示为3x+5，因为和是正数，正数大于0，所以可表示为3x+5＞0． 【点评】本题考查一元一次不等式的抽象，关键在于准确理解文字表述中的数量关系和关键词语． 14．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣1，2），图书馆位置的坐标是（2，4），则实验楼位置的坐标是　（3，﹣1）　 ． 【分析】根据条件找到原点，进而解题． 【解答】解：教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（﹣1，2），图书馆位置的坐标是（2，4），由题意知，坐标系如下图， ∴实验楼位置的坐标为（3，﹣1）． 故答案为：（3，﹣1）． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．如图，直线AB，CD相交于点O，OP⊥AB，O为垂足，若∠BOC＝144°，则∠POD＝　54　 °． 【分析】根据平角的定义求出∠BOD的度数，再根据垂直的定义求出∠POD的度数． 【解答】解：∵∠BOC＝144°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣144°＝36°， ∵OP⊥AB， ∴∠BOP＝90°， ∴∠POD＝90°﹣∠BOD＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题考查平面图形中角的计算，平角的定义和垂直的定义，结合图形计算是解题的关键． 16．在平面直角坐标系中，已知动点A（x，4）（x是任意实数）和定点B（﹣3，﹣4），则线段AB的长的最小值为． 【分析】本题考查点的坐标以及两点间距离的相关知识．动点A的纵坐标固定，求线段AB长的最小值，可根据两点间距离公式，结合点的坐标特点进行分析． 【解答】根据两点间距离公式，A（x，4），B（﹣3，﹣4），则．因为（x+3）2≥0，当x ＝﹣3时，（x+3）2取得最小值0，此时AB取得最小值，． 【点评】本题主要考查两点间距离公式以及完全平方数的非负性，通过分析完全平方数的取值来确定线段长度的最小值． 四．解答题（共9小题） 17．解不等式4﹣2（2x﹣1）＞﹣7x． 【分析】先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：4﹣2（2x﹣1）＞﹣7x， 4﹣4x+2＞﹣7x， ﹣4x+7x＞﹣4﹣2， 3x＞﹣6， x＞﹣2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 18．解方程组． 【分析】本题可利用加减消元法求解二元一次方程组．观察方程组发现两个方程中y的系数互为相反数，可将两个方程相加消去y，进而求出x的值，再将x的值代入其中一个方程求出y的值． 【解答】将方程组中两个方程相加得：（2x+3y）+（4x﹣3y）＝8+（﹣2）2x+3y+4x﹣3y＝66x＝6解得x＝1．把x＝1代入2x+3y＝8得：2×1+3y＝82+3y＝83y＝6解得y＝2．所以方程组的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组的基本方法，关键是掌握加减消元法的运用，计算时要仔细． 19．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∠1＝∠2，试探究AB与DC的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：AB与DC的位置关系是①AB∥DC ． ∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线（已知）， ∴∠2∠②ABC ，∠3∠③ADC （④　角平分线定义　 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠2＝∠⑤　3　 ． 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（⑥　等式的基本事实　 ）， ∴AB∥DC． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【解答】解：AB与DC的位置关系是①AB∥DC． ∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的平分线（已知）， ∴∠2∠②ABC，∠3∠③ADC（④角平分线定义）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠2＝∠⑤3． 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（⑥等式的基本事实）， ∴AB∥DC． 故答案为：AB∥DC；ABC；ADC；角平分线定义；3；等式的基本事实． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 20．（1）如图，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示河流与铁路． ①请画图说明从火车站到码头怎么走最近？画图的依据是　两点之间线段最短　 ； ②请画图说明从火车站到河流怎么走最近？画图的依据是　点到直线间垂线段最短　 ； （2）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点C变换为点D，点A、B的对应点分别是点E、F．在图中请画出△ABC平移后得到的△EFD． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据平移的性质作出图形即可． 【解答】解：（1）①如图所示，线段AB即为所求，画图的依据是两点之间线段最短； ②如图所示，线段AC即为所求，画图的依据是点到直线间垂线段最短； 故答案为：①两点之间线段最短；②点到直线间垂线段最短； （2）如图2所示，△DEF即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换，熟记平移变换的性质是解题的关键． 21．为推进健康校园建设，丰富校园体育生活，某校开展“跃动青春•绳彩飞扬”跳绳活动周． 【数据收集】数学兴趣小组从参加活动的八年级和九年级的学生中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A：x＜180，B：180≤x＜190，C：190≤x＜200，D：200≤x＜210，E：x≥210）． 【数据整理】 九年级学生一分钟跳绳个数条形统计图和八年级学生一分钟跳绳个数扇形统计图绘制如下（不完整）： 九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：190，195，193，195，195，194． 八年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据：193，192，196，193，196，196，196，196． 【数据分析】两个年级学生一分钟跳绳个数分析如表： 年级 统计量 平均数/个 中位数/个 众数/个 方差 九年级 194 a 195 32.3 八年级 194 196 b 45.5 【问题解决】 （1）填空：a＝　194.5　 ，b＝　196　 ． （2）补全条形统计图． （3）根据以上数据分析，你认为哪个年级的一分钟跳绳成绩更好？并说明理由（至少从两个统计量角度说明）． （4）若该校参加此次跳绳活动的八年级学生有200名，九年级学生有260名，请你估计两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数． 【分析】（1）九年级先算出各组人数，定位第10、11位数据求平均数得中位数a；八年级利用扇形占比算出各组人数，统计C组出现最多的数得众数b； （2）用九年级总人数20减去A、B、C、E已知人数，求出D组人数，画出对应条形； （3）两年级平均数相同，从中位数对比，八年级中位数更高，判定八年级成绩更好； （4）分别算出九年级D、E占样本比例、八年级D+E扇形占比，结合各自总人数相乘后相加，得到不少于200个的总预估人数． 【解答】解：（1）将九年级学生一分钟跳绳个数在C组的数据重新排序为：190，193，194，195，195，195． 年级A组3人、B组6人、C组6人、D组2人、E组3人，第10、11位均在C组，按C组数据190，193，194，195，195，195排序后第4、5位为194和195，中位数194.5， 根据八年级学生一分钟跳绳数扇形统计图发现，除C组外，其余各组人数分别为： A组：10%×20＝2人，B组：20%×20＝4人，D组：20%×20＝4人，E组：10%×20＝2人，而C组中，出现次数最多的数据为196，共出现5次，则八年级一分钟跳绳个数的众数为b＝196； 故答案为：194.5；196； （2）由题意，C组数据有6人，则A组人数为：20﹣6﹣6﹣2﹣3＝3，由此可补充条形图． 补全条形统计图如图： （3）答案不唯一，例如：八年级的成绩更好． 理由：从平均数来看，八年级和九年级一分钟跳绳个数的平均数都是194个；从中位数来看，八年级一分钟跳绳个数的中位数为196个，大于九年级一分钟跳绳个数的中位数191.5个，所以八年级的一分钟跳绳成绩更好； （4）（名）． 答：两个年级一分钟跳绳个数不少于200个的总人数约为125名． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．张老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.6元/度，谷时充电的电价为0.2元/度，某月张老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为200度，共花去电费80元．求这个月张老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【分析】本题可通过设未知数，根据峰时和谷时的充电量之和以及电费之和列出二元一次方程组求解．设峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据总充电量可列方程x+y＝200，根据总电费可列方程0.6x+0.2y＝80，然后联立求解． 【解答】设这个月张老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度．根据题意可得方程组由x+y＝200可得y＝200﹣x，将其代入0.6x+0.2y＝80得：0.6x+0.2（200﹣x）＝800.6x+40﹣0.2x＝800.4x＝40解得x＝100．把x＝100代入y＝200﹣x得y＝200﹣100＝100．所以这个月张老师的电动汽车峰时充电量为100度，谷时充电量为100度． 【点评】本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，关键是找准等量关系列出方程组，注意计算的准确性． 23．在平面直角坐标系中，已知点N（3a+b，b+d）在第四象限．（1）若已知3a﹣2的算术平方根是5，3b+3的立方根是﹣3，d是的整数部分．试判断通过计算得到的点N是否满足题意，并说明理由；（2）若﹣4≤b＜0，请结合画图判断点M（3a﹣d，3b+12）所在位置的区域，并说明理由． 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据无理数的估算求出d的值，进而求出点N的坐标，判断其是否在第四象限��（2）根据已知条件分析3a﹣d和3b+12的取值范围，结合平面直角坐标系的特点判断点M所在位置的区域． 【解答】（1）因为3a﹣2的算术平方根是5，所以3a﹣2＝52＝25，3a＝27，解得a＝9．因为3b+3的立方根是﹣3，所以3b+3＝（﹣3）3＝﹣27，3b＝﹣30，解得b＝﹣10．因为，所以d＝3．则点N的坐标为（3×9﹣10，﹣10+3），即（17，﹣7），在第四象限，满足题意．（2）由（1）知a＝9，d＝3，则3a﹣d＝3×9﹣3＝24．因为﹣4≤b＜0，所以3×（﹣4）≤3b＜3×0，即﹣12≤3b＜0，那么﹣12+12≤3b+12＜0+12，即0≤3b+12＜12．所以点M（24，3b+12）在第一象限（不含x轴）． 【点评】本题综合考查算术平方根、立方根、无理数的估算以及平面直角坐标系的相关知识，关键是准确计算和分析取值范围． 24．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（m，n），若点Q′的坐标为（m+4n，4m+n）（其中4为常数，且4≠0），则称点Q′为点Q的“4属派生点”．例如：Q（1，5）的“4属派生点”为Q′（1+4×5，4×1+5），即Q′（21，9）．（Ⅰ）点Q（﹣3，4）的“4属派生点”Q′的坐标为；（Ⅱ）若点Q的“5属派生点”Q′的坐标为（4，﹣10），求点Q的坐标；（Ⅲ）若点Q在x轴的正半轴上，点Q的“k属派生点”为Q′点，且线段QQ′的长度为线段OQ长度的3倍，求k的值． 【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”的定义直接计算点Q′的坐标；（Ⅱ）设点Q的坐标为（x，y），根据定义列出方程组求解；（Ⅲ）先设出点Q的坐标，再根据定义求出点Q′的坐标，然后根据线段长度关系列出方程求解k的值． 【解答】（Ⅰ）点Q（﹣3，4）的“4属派生点”Q′的坐标为（﹣3+4×4，4×（﹣3）+4），即（13，﹣8）．（Ⅱ）设点Q的坐标为（x，y）．因为点Q的“5属派生点”Q′的坐标为（4，﹣10），所以由x+5y＝4可得x＝4﹣5y，将其代入5x+y＝﹣10得：5（4﹣5y）+y＝﹣1020﹣25y+y＝﹣10﹣24y＝﹣30解得．把代入x＝4﹣5y得．所以点Q的坐标为．（Ⅲ）因为点Q在x轴的正半轴上，所以设点Q的坐标为（a，0）（a＞0）．则点Q的“k属派生点”Q′的坐标为（a+k×0，k×a+0），即（a，ka）．因为线段QQ′的长度为线段OQ长度的3倍，所以|ka﹣0|＝3a，即|ka|＝3a．因为a＞0，所以|k|＝3，解得k＝±3． 【点评】本题考查坐标与图形性质以及新定义问题，关键是理解“k属派生点”的定义并准确运用其进行计算和求解． 25．定义：若两个点关于某个点中心对称，这两个点就称作完美对称点，那个点是对称中心． 如图1：平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，点A、点C是关于点O中心对称，所以点A、C是完美对称点，点O为对称中心． 如图2：平行四边形ABCD中对角线交于点O，MN过点O分别交AD、BC于点M、N． （1）求证：点M与点N是完美对称点． （2）如图3，当MN⊥AD，AC⊥BD时，，请写出长度为4AM的线段． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出OD＝OB，AD∥BC，进而利用ASA证明△DOM≌△BON解答即可； （2）根据菱形的判定得出▱ABCD是菱形，进而利用菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出AC＝AD，进而解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，AD∥BC， ∴∠MDO＝∠NBO， ∵∠DOM＝∠BON， ∴△DOM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON， ∴点M与点N关于点O中心对称， 即点M与点N是完美对称点； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝BC＝AB， ∵tan∠ADC， ∴∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AC＝AD， ∵▱ABCD是菱形， ∴∠DAC＝60°， ∵MN⊥AD， 在Rt△AMO中，∠AOM＝30°， ∴AO＝2AM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO， ∴AC＝4AM， ∴AD＝DC＝BC＝AB＝AC＝4AM， 答：长度为4AM的线段为AB、BC、CD、AD、AC． 【点评】此题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出OD＝OB，AD∥BC解答． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 9:45:17；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $