专题特训 根与系数的关系的运用（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

专题特训 根与系数的关系的运用【新教改变化】 类型由根与系数的关系直接求值或判断 类型3 求与两根有关的对称型代数式的值 根的情况 方法点拨：一元二次方程的两根分别为1，x2,在运 1.(湖北中考)已知一元二次方程x2一4x十3=0 用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有： 的两个实数根为x1,x2,则下列结论正确 x好十x号=(1十x)2-2x1x4, 1 +1=x十2 的是 ( (x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2, A.x1十x2=-4 B.C1十x2=3 |x1-x2|=√（x1十x2)2-4x1x2, C.x1x2=4 D.x1x2=3 2.已知x1,x2是关于x的方程x2一2x一m2=0 xix2十x1x2=x1x2(x1十x2). 的两个实数根，下列结论不一定正确的是 5.(乐山中考)若方程x2一x一2=0的两个根 是x1和x2,则xx2十x1x2的值为(（) A.x1+x2>0 A.-1B.1 C.-2D.2 B.x1x2<0 6.已知x1,x2是方程4x2一3x=4x+3的两个 C.x1≠x2 实数根，不解方程，求下列代数式的值： D.方程的根有可能为0 类型2已知一根，求另一根或待定字母的值 (2)x1+x. 3.（苏州中考)已知x1,x2是关于x的一元二 次方程x2+2x一m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2= 4.已知关于x的方程x2十ax十a-3=0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方 程的另一个根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个 不相等的实数根. 【变式题1】与根的定义结合进行降次构造对 称式 （东营中考)若x1,x2是关于x的一元二次 方程x2一25x一1=0的两个实数根，则代数 式x一24x1+x2的值为 () A.0 B.25 C.26 D.-1 16 数学九年级上册人教版 【变式题2】与根的定义结合构造新的一元二8.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2一 次方程，再求对称式的值 (2m+3)x+m2+2=0的两个实数根. 若a,b是互不相等的两个实数，且分别满足 (1)求实数m的取值范围； a2-a-1=0,b2-b-1=0,求a+b+2ab (2)若x1,x2满足x+x2=16+x1x2,求实 的值. 数m的值. 9.已知关于x的一元二次方程x2一4x一2m+ 5=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的实 类型4求方程中待定字母的值或取值范围 数，当m是最小整数时，求该方程的根. 7.已知关于x的一元二次方程x2-6x十2m十 1=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且 2x1x2+x1十x2≥20，求m的取值范围. 易错总结：利用根与系数的关系解决方程ax2十bx十 c=0相关问题时，需注意使用的前提是a≠0，△≥0. 提示 清完浅阶段小测（一）[25.1~25.2] 第二十五章一元二次方程17两个根是x1=n,x2=一3，且与方程a.x2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，n=一1或3. 专题特训一元二次方程的解法【热点】 1,解：1)移项，得红=25.二次项系数化为1，得2-空根据平方根的意义，得x 土号∴=号=一号.(2)移项，得(x一1=25，根据平方根的意义，得x-1= .5 士5.∴x-1=5,或x-1=-5..=6,x2=-4.(3)配方，得x2-23x+(W3)2=1十 (W3)2,即(x-√3)2=4..x-√5=2，或x-√3=-2..x1=√3+2，x2=√5-2.(4)移 项，得x2-7x十12=0.，a=1,b=-7,c=12,.△=2-4ac=(-7)2-4×1×12=1> 0.方程有两个不相等的实数根。=二（2生-7生.=4，=8，(5)整 2×1 理，得2x2-7x+7=0.a=2,b=-7,c=7,∴.△=b-4ac=（-7)2-4×2×7=-7< 0.∴.原方程无实数根.(6)左边因式分解，得(x一1)(x-3)=0.∴x-1=0,或x-3= 0..x1=1,x2=3.(7)整理，得2x2十2V2x十1=0.a=2,b=2√2，c=1,∴.△=b2- 4如c=(2v②)-4X2X1=0.∴方程有两个相等的实数根.==一号-一. 2X2 2· (8)移项，得(2x一1)2一(3-x)2=0.左边因式分解，得(2x一1十3-x)(2x一1-3十x) =0,即(x十2)(3x-)=0.∴x十2=0，或3x-4=0.∴=-2，=手(9)整理，得 x2十9x十20=0.a=1,b=9,c=20,.△=b2-4ac=92-4×1X20=1>0..∴.方程有 两个不相等的实数根.=装-号=一4=-5. 2×1 2.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十2)=0..x十1=0，或x+2=0..x1=一1，x2 =-2.(2)左边因式分解，得(x-4)(x十2)=0.∴.x-4=0,或x十2=0.∴.x=4,x2= -2.(3)左边因式分解，得(2x-3)(x十2)=0.2x-3=0,或x十2=0.a=号， =一2.(4)左边因式分解，得(x-√2)(x一1)=0.∴x一√2=0，或x-1=0.∴.x1=√2， x2=1. 3.解：(1)设3x一5=y,则原方程可化为y2十4y十3=0，解得y=-3,y2=一1.∴.3x一 5=-3,或3x-5=-1.函=号w=专(2)设2=y,则原方程可化为-y一6= 0,解得y=3,y2=-2(舍去).x2=3.∴.x1=√3，x2=一√3.(3)设x2-x=y,则原方 程可化为y(y-4)=-4,解得1=y2=2.x2一x=2..x1=2,x2=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.C2.B3.D 4.解：函十=-吾4=0.2a+名=-2E,=-号.(8)方程化为5 3z3=0.心西十2三号，x4=-号 5.B6.47.m>号 8.解：(1)，一元二次方程x2一(2k十1)x十2+1=0有两个不相等的实数根，.△= [-(2+1DP-4(+1)>0,解得>.(2)答案不唯一，如：选①.由题意，得= 皮+1=2解得k=士1.由(1)，得>k=1. 9.D10.D11.C 12.解：西是方程2x+3x一8=0的两个根，面十=-一多，=-1.(1 十店+a=(国十-=（是）-(-10=终.(2)要+号- 西+-2盟-+2（) -2= -2=-17 X1X2 X1X2 一1 Γ4 13.解：(1)，关于x的一元二次方程kx2十x一3=0有两个不相等的实数根，∴.△=12 一4X(一3)>0，解得>-立又：≠0，实数及的取值范围为>一立且≠0. (2由根与系数的关系，得西十=一名函=一是“（西一）十5函=（国十 )+-(-安)》-是=4，阁得=6-1.心一立且0=子 1 14.C【解析】设菱形的两条对角线的长分别为a,6.“菱形的面积为11，之ab=11, 即ab=22.由根与系数的关系，得a+6=10.菱形的边长为√（受）+（名）= 7Va+6-2a6=710-2x2=Vm. 专题特训根与系数的关系的运用【新教改变化】 1.D2.B3.-3 4.(1)解：将x=1代入方程x2十ax+a一3=0，得1十a+a一3=0，解得a=1.∴.原方程 为x2十x一2=0.设另一个根为x1,则1·x1=一2，解得x1=一2..该方程的另一个根 为一2.(2)证明：，△=a2一4(a一3)=(a一2)2+8>0，.不论a取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根。 5.C 6.解：方程化为4x2-7x-3=0,.x1十x2 、 x2= 7 =-子2+=+2-2=(）‘-2x(-）=得 4 【变式题1】C 【变式题2】解：·a,b是互不相等的两个实数，且分别满足a2-a-1=0,-b-1=0, ∴.a,b可看作方程x2-x-1=0的两个实数根.∴.a十b=1,ab=-1.∴.a十b十2ab=1 +2×(-1)=-1. 7.解：(1)根据题意，得△=(-6)2-4(2m十1)≥0，解得m≤4.(2)根据题意，得x十x2 =6,x1x2=2m+1.2x1x2十1十x2≥20，.2(2m十1)+6≥20，解得m≥3.m≤4， .3≤m4. 8.解：1)由题意，得4=[-(2m+3)]3-4(m+2)≥0，解得m≥-立(2)根据题意， 得x十x2=2m+3,x1x2=m2+2.x号+x号=16十x1x2,.(1十x2)2=16+3x1x2. .(2m十3)2=16+3(m2+2),解得m=-13(不合题意，舍去)，m2=1..m的值为1. 9.解：1)根据题意，得4=（一42-4(-2m十5）>0，解得m>号，(2)设，a是方程 的两根根据题意，得=-2m十5>0，解得m<号.“m>名合<m<号∴m 的最小整数值是1.当m=1时，原方程是x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.4 3.解：设一直角边的长为xcm,根据勾股定理，得(24一10-x)2十x2=102,解得x1=6, x2=8.当x=6时，24一10-x=8:当x=8时，24一10-x=6.答：这个直角三角形两直 角边的长分别为6cm和8cm. 4.B 5 5.解：设小路的宽为xm(0<x8).根据题意，得(16一2x)(9一x)=112,解得x1=1, x2=16(舍去)..x=1.答：小路的宽应为1m. 6.D7.5 8.解：设甲、乙、丙三块绿地周围的硬化路面的宽为x(0<x<15).根据题意，得(60一 4x)(40-2x)=60×40×7,解得x1=5,=30(舍去).·x=5.答：三块绿地周围的 硬化路面的宽为5m. 9.解：(1)根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,.AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm.四 边形ABCD为矩形，∠A=90.Sm=号DQ·AP=6,即2（4-)(6-2)=6， 解得i=1,t=6(不合题意，舍去)..当t的值为1时，△PDQ的面积为6cm2.(2)不 存在.理由如下：由(1)，得AQ=tcm,AP=(6-2t)cm,DQ=(4-t)cm..PQ=AQ+ AP=t+(6-2t)2.,△PDQ为等腰三角形，∴DQ=PQ.∴.DQ=PQ,即(4-t)2= +(6-2t)2.整理，得t-4t十5=0.，△=(-4)2-4×1×5=-4<0，.原方程无实 数根.∴.不存在t的值，使△PDQ为等腰三角形. 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 1.A2.8 3.解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x人.根据题意，得1十x十(x十1)x=144,解得 x1=11,x2=一13（不合题意，舍去）.答：每轮传染中平均一人传染了11人.(2)144十11 ×144=1728(人).答：经过三轮传染后共有1728人患流感. 4.A5.A 6.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x.由题意，得20(1+x)2=24.2,解得 x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增长率为 10%.(2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场七月份投人资金 将达到26.62万元. 7.C8.6 9.解：(1)设该市近两年商品房成交均价平均每年的降价率为x.根据题意，得10000(1 -x)2=10000×(1一36%)，解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意，舍去).答：该市 近两年商品房成交均价平均每年的降价率为20%.(2)10000×(1一36%)×(1一20%) =5120(元/m2).答：明年该市商品房的成交均价约为5120元/m2. 10.解：设每个人每天把消息转发给了x个人.根据题意，得9(1十x)2=1089.解得x1 =10,x2=一12（不合题意，舍去）.答：每个人每天把消息转发给了10个人. 11.解：(1)20000÷20=1000(kg/亩).答：去年种植南瓜的亩产量为1000kg/亩. (2)20(1+2x)(3)根据题意，得1000(1十x)·20(1十2x)=26400,解得x1=0.1= 10%,x2=一1.6（不合题意，舍去）.答：今年平均亩产量的增长率为10%. 第3课时循环、数字与销售问题 1.7x(x一1)=45【变式题1 2.解：设数学兴趣小组的人数是x.根据题意，得x(x一1)=210，解得x1=15,x2=一14 (不合题意，舍去).答：数学兴趣小组的人数是15. 3.D 4.解：设最小的数为x,则最大的数为x十10.根据题意，得x(x十10)=144，解得x1= 8,x2=-18(舍去)..x十10=18.答：最小的数为8，最大的数为18. 5.(x-3)(x+3)=160136.(1)①(130+x)②(70-x)(2)(130+x-120)(70 -x)=1600(3)x1=x2=30(4)160(5)1607.A8.89.36 10.解：(1)(20+2x)(40-x)(2)根据题意，得(20十2x)(40-x)=1200,解得x1= 10,x2=20.,要尽快减少库存，.x=20.答：每件大衣应降价20元. 6