精品解析：上海市进才中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市进才中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题共12题，满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 {4,5} 【解析】 【详解】由题意，. 2. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 3. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得，，解得，. 4. 设等差数列的前项和为，若，，则________. 【答案】100 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可. 【详解】设该数列公差为d，由题意可知， 则. 5. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 6. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 7. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 8. 已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________． 【答案】1或3 【解析】 【详解】由复数可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，因此的最小值为. 的几何意义是圆上的点到点的距离，点到圆心的距离，因此的最小值为. ∴，即或. 9. 已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由全概率公式计算可得. 【详解】记“从甲盒取出红球放入乙盒”的事件，“从乙盒中抽取个球，此球恰为红球”的事件， 则，，， 由全概率公式得. 所以从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率为. 10. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 【答案】 【解析】 【详解】，， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以， 所以 11. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解． 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 12. 在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合直线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】设，因为， 所以，且， 即，且，显然， 设，因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，代入中， 得， ， 因此直线与圆有两个不同的交点， 因为，所以直线的斜率的取值范围为， 如下图所示： 由 直线与圆的交点坐标为， 又因为直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称， 所以当时， 因为， 所以的取值范围是. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．） 13. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 14. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据极差的定义判断；对B，举反例说明；对C，根据平均数的定义，利用反证法证明；对D，举反例说明. 【详解】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差， 若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误； 对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2， 去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误； 对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得，由于原数据不全相等，则， 故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确； 对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误. 故选：C. 15. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 16. 设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A. ①和②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17. 已知函数，其中实数． （1）若的最小正周期为π，求在处的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得到，结合最小正周期求出；根据导数的几何意义求解即可. （2）根据题意可得，再结合函数零点个数，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 . 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，，，，则， 又在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 故的取值范围为. 18. 如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行得到线线平行； （2）先由基本不等式得到时，三棱锥体积最大，进而得到即为二面角的平面角，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得四边形为边长为2的正方形，， 由已知，由勾股定理得， ，当且仅当时，等号成立， 则， 故当时，三棱锥的体积最大， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥，故即为二面角的平面角， 则，所以. 19. 某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 （1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； （3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 【答案】（1）有的把握认为购买手机与顾客的性别有关，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断的把握认为购买手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有位购买手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【小问1详解】 作原假设：购买手机与顾客的性别无关，取， 根据题意，代入数据，得 ， 因为，所以否定原假设，即有的把握认为购买手机与顾客的性别有关． 【小问2详解】 由题意得. 【小问3详解】 解法一：由题意得，随机变量的可能取值为 ， 而，， ，， ，， 故的分布列为 期望． 解法二：设第次抽中奖金为（），则， 由题设可得（）的分布列为 从而，而，相互独立， 故． 20. 已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； （3）已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程即可求得渐近线方程； （2）设，根据可得，结合即可求得，利用三角形面积公式即可求解； （3）分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【小问1详解】 对于双曲线，， 故双曲线C的渐近线方程为，即； 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 由，得， 即， 又M在双曲线上，故，则， 结合，得，则， 由于，故， 又，故的面积. 【小问3详解】 设，由知 若直线斜率不存在，则，此时，不符合题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， 得， 化简得，即， 解得，结合，解得， 则点的坐标为. 21. 设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】（1） （2）或 或 （3）必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 【解析】 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论， ， ，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【小问1详解】 由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. 【小问2详解】 由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学2025-2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题共12题，满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．） 1. 已知集合，，则________． 2. 不等式的解集为______． 3. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 4. 设等差数列的前项和为，若，，则________. 5. 的展开式中常数项为______． 6. 已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 7. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 8. 已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________． 9. 已知甲盒中有个红球和个黄球，乙盒中有个红球和个黄球.现从甲盒中随机抽取个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取个球，此球恰为红球的概率是__________. 10. 如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达处，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡度为，则__________（精确到） 11. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 12. 在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．） 13. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 14. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 15. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 16. 设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A. ①和②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①和②都错误 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置．） 17. 已知函数，其中实数． （1）若的最小正周期为π，求在处的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 18. 如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为的正方形，是该圆柱底面圆周上异于、两点的点． （1）设平面平面，求证：； （2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的大小． 19. 某商场为了解顾客购买手机的意愿，随机调查了位顾客购买手机的情况，得到数据如下表． 购买手机 购买无技术的手机 总计 男性顾客 女性顾客 总计 （1）根据表中数据，判断是否有的把握认为购买手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这位男性顾客中随机挑选位，求其中至少有位购买手机的概率（精确到）； （3）为促进手机的销量，该商场为购买手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励元、元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望． 参考公式及数据：①，其中． ②，，，． 20. 已知双曲线，、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点． （1）求双曲线C的渐近线方程； （2）若M是双曲线上在第一象限的点，，求的面积； （3）已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段上，若，求点P的坐标． 21. 设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. （1）设，，若，求实数的值； （2）设，，若，且，求的值； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $