精品解析：上海市奉贤区2025-2026学年高二下学期期末练习数学试卷

2025学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 已知全集为，集合，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以或. 故答案为：或. 2. 函数的定义域是______. 【答案】（或） 【解析】 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 3. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为： 4. 设、为正数，且，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ，当且仅当时取等号. ， ，即，解得， 当时，取等号，故的最大值为． 5. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人. 岁未成年人的身高的主要百分位数 岁 男 女 岁 男 女 数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）. 【答案】 【解析】 【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可. 【详解】小明今年岁，从表中可以得出，岁男性身高的主要百分位数中，，，小明的身高为，介于和之间，说明至少有的男性同龄人身高低于小明， ∵小明所在城市男性同龄人约有万人， ∴小明的身高至少高于（万人）. 故答案为：. 6. 在中，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得,由于,所以或， 故答案为：或 7. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， ， 所以. 故答案为：. 8. 已知数列的前项和，若数列为等比数列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给的关系式，求，再结合等比数列的性质，列式求解. 【详解】根据题意，等比数列的前项和， 则，，， 则有，解得， 故答案为：. 9. 已知 为实数，若关于的二次方程有一个虚根为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】已知关于的二次方程有一个虚根为，则， 解得，故， 由韦达定理，由复数模的性质可知，故， ，故的取值范围是． 10. 要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍.则当蓄水池的底面半径为__________时，才能使总造价最低. 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱体积公式可得，构造总造价与底面半径的函数关系式，利用导数可求得的最小值点，结合最小值点可得结论. 【详解】设池侧面单位造价为，则池底单位造价为， ，， 又池底面积为，池侧面面积为， 设总造价为，则，， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 即当时，总造价最低. 11. 曲线的离心率为，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据离心率确定方程为双曲线的方程，然后按照焦点位置分类讨论，进而利用离心率公式得到关于的方程，即可得答案； 【详解】因为可化为， 因为曲线的离心率为，所以曲线必然为双曲线， 所以当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则； 当时，双曲线的焦点在轴上，， 所以，则，所以； 综上，或. 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出点、的轨迹方程，由向量的数量投影可得即求的范围，根据，的范围，结合图象求解即可. 【详解】设，则 又因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 又因为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 设，则向量在向量方向上的数量投影为：， 因为点在圆上，所以， 又因为，所以， 所以当取最大、取最小值时，此时与反向， 则取最小值，为； 当、同时取最大值时，此时与同向， 取最大值，为； 所以， 即向量在向量方向上的数量投影的取值范围是. 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 14. 若是以1为首项、以 为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（ ） A. 是以 为首项、以为公比的等比数列 B. 是以为首项、以为公比的等比数列 C. 是以为首项、以为公比的等比数列 D. 是以 为首项、以为公比的等比数列 【答案】B 【解析】 【详解】因为是以1为首项、以为公差的等差数列， 所以， 因为数列满足（为正整数）， 所以， 则， 则， 当时，， 则是以为首项，以为公比的等比数列，故选项B正确. 15. 在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，，，再结合平面向量基本定理和三点共线充要条件即可求解. 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即， 则 由，可得， 即， 则 、 、 三点共线 存在实数 ，使得， 即， 因为不共线，由平面向量基本定理可得： ， 解得：，代入， 得：， 即 化简得： ， 即 . 16. 在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（ ） A. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B. 命题（1），命题（2）都是假命题 C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D. 命题（1），命题（2）都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】由向量模长公式得到曲线方程，对于命题（1）通过对称性判断，对于命题（2）通过特殊点判断即可. 【详解】由题意， 又， 由模长公式得： ， 平方整理得曲线方程：， 命题（1）：当 时，，（双纽线，图象横卧的8字）， 当时，可得，即图象过原点， 当时，可得， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，换成，上式成立，即点对应的曲线关于原点对称， 图①符合，故命题（1）是真命题， 命题（2）：当时，令， 得：，关于的方程无解， 即点对应的曲线与轴没有交点，图②不符合，命题（2）是假命题. 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 若函数表达式为，. （1）若函数经过点，判断函数的奇偶性； （2）在（1）的条件下，设，求函数的最大值. 【答案】（1）函数为偶函数 （2）最大值为 【解析】 【小问1详解】 将点代入得， ，所以， 又，所以， 所以， 易知函数的定义域为R， 因为， 所以函数为偶函数； 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，所以， 所以当或时，函数取到最大值，最大值为. 18. 某服装公司生产的衬衫每件定价元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（即每元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到元，但提价后每年的销量会减少万件．设代理商收取的年代理费为万元． （1）试将表示为的函数； （2）求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于万元． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出代理费的表达式，再结合实际意义确定定义域，进而求出表示为的函数； （2）根据代理费不少于万列出不等式，解不等式求出的取值范围，再结合定义域求出的取值范围． 【小问1详解】 提价后衬衫单价为元，年销量为万件，故年总销售额为： ， 代理费， 销量需为正数且代理费比例小于1，即，解得， 故函数为． 【小问2详解】 由题意知，， 由定义域可知，则， 化简整理得，解得， 区间位于定义域内，故的取值范围为． 19. 如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于. （1）若，证明； （2）若，，，，求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为，面，面， 所以面， 又因为面，面面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线平行推出线面平行，再借助线面平行的性质定理即可证明； （2）先由两个平面同时垂直底面推出面，然后计算底面三角形的面积，利用等体积法即可计算三棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为面面，面面，且面面， 所以面. 因为，，， 所以， 所以三棱锥的体积为：. 20. 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. （1）求点的坐标和渐近线方程； （2）以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； （3）对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 【答案】（1），渐近线方程为：； （2）直线的方程为； （3）存在两个不同的点，使得与均以为顶点的等腰三角形，理由如下： 假设存在满足题意的点， 则有, 所以的中点重合，且的中垂线重合， 当时， 设直线的方程为，， 由，可得， 设, 则, , 所以中点为； 由，得，即； 由，得，即； 所以中点为； 由此可得的中点重合， 所以直线两直线的中垂线方程为：， 即， 由，得， 则， 所以原方程始终有两个不同实数根， 即直线与双曲线始终有两个不同交点， 所以此时存在两个不同的点，满足题意； 当时，直线的方程为， 此时当为双曲线的左、右顶点时，满足题意； 综上，存在两个满足题意的点. 【解析】 【分析】（1）将双曲线化成标准形式，求出,即可得答案； （2）由题意可求得此圆的方程为，，分和两种情况分别求解即可； （3）假设存在满足题意的点，则可得的中点重合，两直线的中垂线也重合，当时，求通过联立直线与双曲方程，求出中点，中垂直线方程，与双曲线方程联立，通过判别式的正负即可得结论；当时，为双曲线的左、右顶点时，满足题意，从而即可得结论. 【小问1详解】 将双曲线化成标准形式为：， 所以， 所以， 所以； 渐近线方程为：； 【小问2详解】 因此，渐近线方程为：， 设以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切的圆的半径为， 点到直线的距离为， 则， 所以此圆的方程为， 又因为此圆与直线切于点， 所以，又因为， 解得， 所以， 因为直线倾斜角为 ，且， 当时，直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 即， 所以， 即，无解； 当时，直线的方程为； 综上，直线的方程为； 【小问3详解】 略. 21. 已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. （1）求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； （2）求函数和的单调区间和极值； （3）是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 【答案】（1） ，函数上一点处的切线方程为 （2）在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值；在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； （3）存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）先根据函数过点求出的值，在对求导，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系求出单调区间和极值； （3）先分析和的单调性和极值情况，再假设存在 满足条件，通过分析交点情况和等差数列的性质来判断是否存在； 【小问1详解】 已知函数经过点， 将点代入可得： ，即 ，解得 ， 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 将 代入，可得， 所以函数上一点处的切线方程为， 化简得， 因此，实数 ，函数上一点处的切线方程为. 【小问2详解】 由 可得 ，其定义域为 ，对求导可得 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则 ，所以在上单调递增； 所以在 处取极小值，极小值为 ，无极大值； 由 可得 ，其定义域为，求导可得， 令 ，即 ，解得， 当 时， ，则 ，所以在上单调递减； 当 时，，则，所以在上单调递增； 所以在处取极小值，极小值为，无极大值； 因此在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； 在上单调递减，在上单调递增，极小值为 ，无极大值； 【小问3详解】 证明存在直线满足条件，观察可知， 由（2）可知 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为 ； 在上单调递减，在上单调递增， 极小值为；两函数的最小值均为， 构造共同点：设，满足（即），整理得， 零点存在性定理，令，其定义域为， 对求导，可得， 令，求导得， 当时，，但时，， 所以存在，使得，即， 在上，单调递减，在上，单调递增， 因此的最小值为， 令，则，上式变为，因为，所以， 即，所以在上恒成立，故在上单调递增， 又因为 ， ， 所以存在，使得，即公共点存在，有， 找三个交点：令，则，因为，且，解得和； 由，因为，且，解得和； 又因为三交点横坐标为，有，即中间项的倍等于两边之和，故成等差数列； 因此，存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期奉贤区高二数学练习卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.） 1. 已知全集为，集合，则______． 2. 函数的定义域是______. 3. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 4. 设、为正数，且，则的最大值为______． 5. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人. 岁未成年人的身高的主要百分位数 岁 男 女 岁 男 女 数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）. 6. 在中，，则________． 7. 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中的概率是______. 8. 已知数列的前项和，若数列为等比数列，则______. 9. 已知 为实数，若关于的二次方程有一个虚根为，则的取值范围是______． 10. 要建造一个给定容积的圆柱体蓄水池（无盖），已知池底单位造价为池侧面单位造价的2倍.则当蓄水池的底面半径为__________时，才能使总造价最低. 11. 曲线的离心率为，则______. 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点、、，若，.则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是______. 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 13. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 14. 若是以1为首项、以 为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（ ） A. 是以 为首项、以为公比的等比数列 B. 是以为首项、以为公比的等比数列 C. 是以为首项、以为公比的等比数列 D. 是以 为首项、以为公比的等比数列 15. 在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（ ） A. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B. 命题（1），命题（2）都是假命题 C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D. 命题（1），命题（2）都是真命题 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 若函数表达式为，. （1）若函数经过点，判断函数的奇偶性； （2）在（1）的条件下，设，求函数的最大值. 18. 某服装公司生产的衬衫每件定价元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售金额的（即每元销售额收取元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到元，但提价后每年的销量会减少万件．设代理商收取的年代理费为万元． （1）试将表示为的函数； （2）求的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于万元． 19. 如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于. （1）若，证明； （2）若，，，，求三棱锥的体积. 20. 已知曲线的标准方程为，直线过点，，，直线倾斜角为 ，，设直线与交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，其中、在第一象限，在第四象限，是双曲线的右焦点. （1）求点的坐标和渐近线方程； （2）以为圆心的圆，与双曲线的两条渐近线相切，同时又与直线相切于点，求直线的方程； （3）对任意一条直线，双曲线上是否存在点，使得与均以为顶点的等腰三角形，请说明理由. 21. 已知函数的表达式为，函数的表达式为，其中函数经过点. （1）求实数的值，并求函数上一点处的切线方程； （2）求函数和的单调区间和极值； （3）是否存在直线 ，使得其与两条曲线和一共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $