13.1 三角形的概念（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦三角形概念核心知识点，从定义（不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接）切入，梳理边、内角、顶点三要素及规范表示方法，明确边角邻对关系，再按边（含等边三角形从属等腰三角形）和内角分类，构建从基础到分类的完整学习支架。 资料通过易错提醒强化定义准确性（数学眼光），即学即练与变式巩固提升推理意识（数学思维），规律探究题型培养创新意识，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，体现应用意识，是实用的初中数学教学资源。

第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 课标要点 1．熟记三角形标准定义，分清三角形边、内角、顶点三要素，掌握三角形规范书写符号。 2．能准确区分三角形每个内角对应的邻边与对边，理清边角之间相对、相邻关系。 3．掌握三角形按边长分类标准，明确等边三角形是特殊等腰三角形这一从属关系。 4．记住三角形按内角大小的分类方式，能辨别锐角、直角、钝角三类三角形。 学习重难点 重点： 1．理解三角形定义，识别三角形的边、角、顶点，会用符号正确表示三角形。 2．掌握三角形两种分类方法，理清等腰三角形与等边三角形的包含关系。 难点： 1．准确区分每个内角对应的邻边和对边，熟练判断边角相对、相邻位置关系。 2．理解分类逻辑，分清等边三角形归属于等腰三角形的特殊分类依据。 知识点一 三角形及其相关概念 一、三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 二、三角形的基本要素 1．边：组成三角形的三条线段。△ABC的三边为； 2．内角：相邻两边组成的角，简称三角形的角。△ABC的内角为； 3．顶点：相邻两边的公共端点。△ABC的顶点为点。 三、三角形的表示方法 用符号“”表示三角形，顶点为的三角形记作，读作“三角形”。 四、角的对边、邻边关系 在中：以为例：两条边与有公共顶点，称作的邻边；边不经过顶点，称作的对边。 易错提醒 容易忽略三角形定义中“不在同一直线上”这一条件，误以为任意三条线段都能构成三角形。 即学即练 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 【答案】 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 知识点二 三角形的分类 一、按边的相等关系分类 1．不等边三角形：三条边长全都不相等； 2．等腰三角形：至少有两条边相等，细分两类： （1）腰与底不相等的等腰三角形； （2）等边三角形（三边全部相等）。 补充说明：等边三角形属于特殊的等腰三角形，包含在等腰三角形范畴内。 二、按内角大小分类 1．锐角三角形：三个内角均为锐角（小于90°）； 2．直角三角形：有一个内角是直角（等于90°），记作； 3．钝角三角形：有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）。 补充：锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 即学即练 3．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 4．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 题型01 三角形的识别 解题贴士 1．判断依据严格遵循定义：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接，三个条件缺一不可。 2．快速排除技巧：出现三点共线、线段未首尾相连、图形存在开口的，都不属于三角形。 典｜例｜精｜析 【例1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【例2】观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-2】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 【变式1-3】下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由三角形定义可知A，B，C均不是三根木棒拼成的三角形，只有D是三根木棒拼成的三角形， 故选：D． 题型02 判断三角形的对边对角，邻边邻角 解题贴士 1．邻边判断：与角共用同一个顶点的两条边，就是该内角的邻边。如邻边为。 2．对边判断：不经过这个角顶点的那条边，就是此角的对边。如对边为。 典｜例｜精｜析 【例3】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【例4】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 【变式2-2】如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 【变式2-3】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 【答案】 ，， ，， 【分析】 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 题型03 数三角形的个数 典｜例｜精｜析 【例5】图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【例6】已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【变式3-2】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 【变式3-3】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 题型04 三角形的分类 解题贴士 1．按边长分类判断：三边全不等为不等边三角形；至少两边相等为等腰三角形，等边三角形归属于等腰三角形。 2．按内角分类判断：三个锐角为锐角三角形；有直角为直角三角形；有钝角为钝角三角形。 3．易错提醒：分类题不可将等边三角形与等腰三角形并列，牢记从属关系。 典｜例｜精｜析 【例7】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【例8】在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【答案】锐角三角形：③ ⑤；直角三角形：① ④ ⑥；钝角三角形：② ⑦ 【详解】解：观察图形可得①，④，⑥中都有一个标注直角符号的内角，说明有一个内角是直角，因此①④⑥是直角三角形； ②，⑦中都有一个内角是钝角，因此②⑦是钝角三角形； ③，⑤中三个内角都是锐角，因此③⑤是锐角三角形． 【变式4-2】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 【变式4-3】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 题型05 三角形个数的规律探究 解题贴士 1．按边长分类判断：三边全不等为不等边三角形；至少两边相等为等腰三角形，等边三角形归属于等腰三角形。 2．按内角分类判断：三个锐角为锐角三角形；有直角为直角三角形；有钝角为钝角三角形。 3．易错提醒：分类题不可将等边三角形与等腰三角形并列，牢记从属关系。 典｜例｜精｜析 【例9】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【例10】（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【分析】 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 【答案】C 【详解】图（1）中，三角形的个数是 , 图（2）中，三角形的个数是 , 图（3）中，三角形的个数是 , 第n个图形中三角形的个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． 【变式5-2】观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【分析】 【详解】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 【变式5-3】小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 基础通关 1．（ 2025·26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 2．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 3．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 4．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 5．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 7．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 8．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 9．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 10．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 11．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】 【详解】（1）解：如图，以为一边的三角形有：，，，共3个， 故答案为：3； （2）如图，以A为顶点的三角形有：，，，，，，共6个； 故答案为：6． 12．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 素养提升 13．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根；5根、5根、2根， 所以，最多能围成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 14．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 【答案】C 【分析】 【详解】解：初始状态：平面未被分割时，区域数为1． 第1个三角形：将平面分成2部分，即新增1部分，累计区域数， 第2个三角形：每条边与第1个三角形的两条边相交，产生个交点，新增6部分，累计区域数， 第3个三角形：每条边与前2个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增12部分，累计区域数， 第4个三角形：每条边与前3个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增18部分，累计区域数， 第5个三角形：每条边与前4个三角形的各两条边相交，产生个交点，新增24部分，累计区域数， 综上，5个三角形最多将平面划分成62个部分， 故选C． 15．（ 2025·26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 16．（ 2025·26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 17．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 18．若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】或 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、、， ∵ ∴能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是或． 故答案为或． 19．个底边长为，腰长为的等腰拼成如图所示，则图中的所有线段之和是_______．      【答案】 【详解】解：由图可知：当有1个等腰三角形时，线段和为：， 当有2个等腰三角形时，线段和为：， 当有3个等腰三角形时，线段和为：， ∴当有n个等腰三角形时，线段和为：， 故答案为：． 迁移创新 20．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 21．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画______条． 【答案】 【分析】 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，连接，则为等腰三角形，，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则为等腰三角形，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，，则为等腰三角形，，为等腰三角形，，直线，符合题意． ∴符合题意的直线最多可画条． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 课标要点 1．熟记三角形标准定义，分清三角形边、内角、顶点三要素，掌握三角形规范书写符号。 2．能准确区分三角形每个内角对应的邻边与对边，理清边角之间相对、相邻关系。 3．掌握三角形按边长分类标准，明确等边三角形是特殊等腰三角形这一从属关系。 4．记住三角形按内角大小的分类方式，能辨别锐角、直角、钝角三类三角形。 学习重难点 重点： 1．理解三角形定义，识别三角形的边、角、顶点，会用符号正确表示三角形。 2．掌握三角形两种分类方法，理清等腰三角形与等边三角形的包含关系。 难点： 1．准确区分每个内角对应的邻边和对边，熟练判断边角相对、相邻位置关系。 2．理解分类逻辑，分清等边三角形归属于等腰三角形的特殊分类依据。 知识点一 三角形及其相关概念 一、三角形定义 由________的三条线段________顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 二、三角形的基本要素 1．边：组成三角形的三条线段。△ABC的三边为； 2．内角：________两边组成的角，简称三角形的角。△ABC的内角为； 3．顶点：相邻两边的________。△ABC的顶点为点。 三、三角形的表示方法 用符号“”表示三角形，顶点为的三角形记作________，读作“三角形”。 四、角的对边、邻边关系 在中：以为例：两条边与有公共顶点，称作的________；边不经过顶点，称作的________。 易错提醒 容易忽略三角形定义中“不在同一直线上”这一条件，误以为任意三条线段都能构成三角形。 即学即练 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________． 知识点二 三角形的分类 一、按边的相等关系分类 1．不等边三角形：三条边长全都________； 2．等腰三角形：至少有________条边相等，细分两类： （1）腰与底________相等的等腰三角形； （2）________三角形（三边全部相等）。 补充说明：等边三角形属于特殊的等腰三角形，包含在等腰三角形范畴内。 二、按内角大小分类 1．锐角三角形：三个内角________锐角（小于90°）； 2．直角三角形：有________内角是直角（等于90°），记作________； 3．钝角三角形：有________内角是钝角（大于90°且小于180°）。 补充：锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 即学即练 3．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 4．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 题型01 三角形的识别 解题贴士 1．判断依据严格遵循定义：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接，三个条件缺一不可。 2．快速排除技巧：出现三点共线、线段未首尾相连、图形存在开口的，都不属于三角形。 典｜例｜精｜析 【例1】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【例2】观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【变式1-3】下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 判断三角形的对边对角，邻边邻角 解题贴士 1．邻边判断：与角共用同一个顶点的两条边，就是该内角的邻边。如邻边为。 2．对边判断：不经过这个角顶点的那条边，就是此角的对边。如对边为。 典｜例｜精｜析 【例3】在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】如图，在中，顶点F的对边是______． 【变式2-2】如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是____________，以为一个内角的三角形是________；在中，的对边是________． 题型03 数三角形的个数 典｜例｜精｜析 【例5】图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【例6】已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【变式3-2】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式3-3】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 题型04 三角形的分类 解题贴士 1．按边长分类判断：三边全不等为不等边三角形；至少两边相等为等腰三角形，等边三角形归属于等腰三角形。 2．按内角分类判断：三个锐角为锐角三角形；有直角为直角三角形；有钝角为钝角三角形。 3．易错提醒：分类题不可将等边三角形与等腰三角形并列，牢记从属关系。 典｜例｜精｜析 【例7】如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例8】在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【变式4-2】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式4-3】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 题型05 三角形个数的规律探究 解题贴士 1．按边长分类判断：三边全不等为不等边三角形；至少两边相等为等腰三角形，等边三角形归属于等腰三角形。 2．按内角分类判断：三个锐角为锐角三角形；有直角为直角三角形；有钝角为钝角三角形。 3．易错提醒：分类题不可将等边三角形与等腰三角形并列，牢记从属关系。 典｜例｜精｜析 【例9】如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【例10】（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 【变式5-2】观察以下图形，回答问题： （1）图②有____个三角形；图③有_____个三角形；图④有_____个三角形；…猜测第七个图形中共有_____个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有_______个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【变式5-3】小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 基础通关 1．（ 2025·26八年级上·云南昭通·期末）如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 4．同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 5．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 6．如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 7．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 8．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 9．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 10．请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 11．如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． (1)其中以为一边可以画______个三角形； (2)其中以A为顶点可以画______个三角形． 12．如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 素养提升 13．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 14．平面上有5个三角形，这些三角形最多将平面划分成（   ）个部分 A．45 B．54 C．62 D．72 15．（ 2025·26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 16．（ 2025·26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 18．若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 19．个底边长为，腰长为的等腰拼成如图所示，则图中的所有线段之和是_______．      迁移创新 20．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 21．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画______条． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $