1.2.1 二次函数的图象（第1课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象及特征，通过复习二次函数定义，令b=0、c=0引出研究对象，搭建从一般到特殊的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点是以描点法作图为基础，通过合作探究对比不同a值的抛物线特征，结合小球下落、正方形面积等典例培养几何直观与模型意识，课堂小结结构化梳理作图步骤、图象特征及a的影响，帮助学生形成系统知识，教师可高效开展教学。

1.2.1二次函数的图象 （第1课时） 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，能准确说出图象名称是抛物线。 掌握y=ax2的图象特征：顶点、对称轴、开口方向，能区分a>0和a<0时抛物线的差异。 理解a的绝对值大小对抛物线开口宽窄的影响：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 复习导入 什么是二次函数？形如y=ax²+bx+c满足什么条件? 二次项系数a≠0 当b=0，c=0时，得到y=ax2，今天研究它的图象。 左图中是什么函数?它们的图象有什么特点呢？讨论一下 合作学习 活动 用描点法画出二次函数y=x2的图象 (1)完成自变量与函数的对应值表。 x ... -3.5 -3 -2 -1 0 y=ax2 ... 0 x ... 3.5 3 2 1 y=ax2 ... 12.25 9 4 1 4 9 12.25 1 （2）建立适当的直角坐标系，并以表中各应值 作为点的坐标，在直角坐标系中描出的点，用光滑曲线顺次连结各点。 4 新知探究 合作学习 2.观察图中的图象，它有什么特征？从形状、位置、对称性等方面进行讨论。 形状：为开口向上的二次函数 位置：顶点在原点，是图象的最低点 对称性：关于y轴对称 总结 如图，二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线。像二次函数y=x2的图象这样的曲线叫作抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点。例如，抛物线y=x2的顶点是坐标原点，也是图象的最低点。 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=-2x2和y=4x2的图象，并根据图象回答下列问题。 1.说出y=2x2，y=-2x2这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 由图可得：二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0);二次函数y=-x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标 为(0,0). 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=-x2和y=4x2的图象，并根据图象回答下列问题 (2)抛物线y=2x2,当x 时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最____点； ≠0 低 (3)函数y=-x2，对于一切x的值，总有函数y____0;当x 时，y有最______值是___. ≤ =0 大 0 新知探究 合作学习 二次函数y=2x²的图象与y=-2x²的图象关于什么对称?如果已知y=ax²(a≠0)的图象，你认为可怎样更方便地得到y=-ax²的图象? 总结 二次函数y=ax²(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 a影响抛物线的开口大小和方向。 |a| 越大，开口越小 |a| 越小，开口越大。 典例1 已知抛物线y=ax²经过点A(-2,-8). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 典例分析 (1)∵抛物线y=ax²经过点A(-2,-8), ∴把点A(-2,-8)代入抛物线中：a=-2, ∴此抛物线的函数解析式为：y=-2x2; 不在 (3）：此抛物线上一点的纵坐标为-18， ∴把y=-18代入此抛物线中得：x=±3， ∴此抛物线上纵坐标为-18的点的坐标为(3，-18)或（-3，-18). 练一练 已知函数是关于x的二次函数. (1)求满足条件的m的值； (2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点的坐标 典例分析 （1）解：根据题意得，m2+m-4=2且m+2≠0，解得m=2或m=-3； m的值为－3或2； (2)解：当m=2时，m+2=4>0，抛物线开口向上，该抛物线有最低点， 此时抛物线解析式为y=4x2，则最低点坐标为(0,0) 典例分析 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的象. ①；②；③；④； 典例2 典例分析 (1)在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2和y=x2的图象 (2)从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点 练一练 典例分析 小球从高处自由下落，下落距离h(米)与下落时间t(秒)满足函数关系h=at²，已知当t=3秒时，下落距离h=45米。 (1)求h关于t的函数表达式； (2)填写下表： 典例3 （3）画出该函数的图象； （4）若小球从 125 米高处下落，要在落地前接住小球，最多允许小球自由下落多长时间？ t/秒 0 1 2 3 4 h/米 45 h=5t2（t＞0） 典例分析 典例3 t/秒 0 1 2 3 4 h/米 45 0 5 20 80 典例分析 正方形的边长为x(cm)，正方形面积S(cm2)与边长满足S=ax2 （1）直接写出S关于x的函数表达式，并确定a的值； （2）完成对应值表格： 练一练 x/cm 0 1 2 3 4 S/cm2 （3）画出S关于x的函数图象； （4）现有一块面积为100cm2的正方形板材，切割小正方形，要求小正方形面积不超过64cm2，求小正方形边长最大为多少？ 典例分析 练一练 x/cm 0 1 2 3 4 S/cm2 0 1 4 9 16 知识与技能 （1）作图方法 画y=ax²图象统一用描点法， 三步：列表→描点→平滑曲线连线； 1.列表：取互为相反数的x值，利用对称性简化计算； 2.描点：在平面直角坐标系精准标出对应坐标点； 3.连线：用光滑曲线连接，不能画折线，图象名称叫抛物线。 课堂小结 知识与技能 （2）基础通用图象特征 1.对称轴：直线x=0（y轴）； 2.顶点：(0,0)，是抛物线与对称轴的唯一交点； 3.对称性：图象关于y轴对称，若点(m，y)在抛物线上，则(-m，y)也在图象上。 课堂小结 知识与技能 三、a对抛物线的影响(核心知识点) 1.a的正负决定开口方向与最值 当a>0：抛物线开口向上，顶点(0,0)是最低点； 增减性：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大； 最值：x=0时，y最小值=0。 当a<0：抛物线开口向下，顶点(0,0)是最高点； 增减性：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小； 最值：x=0时，y最大值=0 课堂小结 |a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽； 课堂练习 1.下列各点在函数y=x2的图象上的是( ) A . (0，1) B .(1，2) C .(2，2) D .(4，4) 2.抛物线y=x2，y=-2x2，y=x2的图象开口最大的是( ) A.y=x2 B.y=-2x2 C y=x² D.无法确定 课堂练习 3.已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是( ) A.a1＜a2＜a3 B.a3＜a1＜a2 C .a1＜a3＜a2 D.a3＜a2＜a1 课堂练习 4.如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点O为坐标原点，水平方向为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A . B . C . D . 课堂练习 5..如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=x2与y=x2的图像，则阴影部分的面积是 . 8 课堂练习 6 . 在同一坐标系内作出下列函数的图象. 课堂练习 7.已知抛物线y=ax2+n( an>0)与抛物线y= -2x2的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3 (1)求a，n的值； (2)写出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)解：:抛物线y=ax2+n(an>0)与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相反， a=2,则抛物线为y=2x2+n(an>0). 对称轴为直线.即对称轴为y轴，开口方向向上 图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3，且an>0，n=3; 课堂练习 7.已知抛物线y=ax2+n( an>0)与抛物线y= -2x2的形状相同，开口方向相反，且图象上离x轴最近的点与x轴的距离为3 (1)求a，n的值； (2)写出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)解：由（1）得a=2，n=3，对称轴为y轴，开口方向向上， 解析式为y=2x2+3 把x=0代入y=2x2+3，得y=3 即顶点坐标(0,3). $