1.1.2勾股定理的图形验证-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的图形验证，核心为面积割补法，通过回顾上节课勾股定理内容，以“如何验证”“去方格纸能否验证”等问题导入，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合赵爽弦图、伽菲尔德梯形等多种验证方法，培养学生几何直观（数学眼光）与推理意识（数学思维），结合航模测距、台风路径等实际情境题，发展模型意识（数学语言）。实例如赵爽弦图面积推导、卡车过隧道计算，助力学生提升推理与应用能力，教师可借助系统练习高效教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 1.1.2勾股定理的图形验证 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册1.1.2 勾股定理的图形验证 练习题 本节核心考点：勾股定理的图形验证核心思想为面积割补法，依据“图形拼接前后总面积不变、无重叠、无空缺”的原理，通过不同几何图形的面积等量关系，推导证明勾股定理$$a^2+b^2=c^2$$。主流验证方法：赵爽弦图证法、伽菲尔德梯形证法、外作正方形割补证法。 一、基础概念填空题（每题4分，共20分） 1. 验证勾股定理最常用的方法是________法，其核心依据是图形拼接前后________保持不变。 2. 经典赵爽弦图由四个________的直角三角形和一个小正方形围成一个大正方形。 3. 赵爽弦图中，若直角三角形长短直角边为a、b（$$a>b$$），则大正方形边长为________，内部小正方形的边长为________。 4. 伽菲尔德证法是将三个直角三角形拼接成一个________，利用梯形面积公式推导勾股定理。 5. 以直角三角形三边向外作正方形，两个直角边对应的小正方形面积之和________斜边对应的大正方形面积。 二、图形理解选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于赵爽弦图的说法正确的是（） A. 四个直角三角形形状不同 B. 大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和 C. 只能验证特定直角三角形 D. 无法推导平方等量关系 2. 利用割补法验证勾股定理，始终不变的量是（） A. 图形形状 B. 单条边长 C. 整体总面积 D. 三角形单个面积 3. 赵爽弦图中，直角边分别为3和4，则中间小正方形的面积为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 伽菲尔德证法所构建的基础图形是（） A. 正方形 B. 直角梯形 C. 长方形 D. 菱形 5. 直角三角形三边向外作正方形，若两小正方形面积为9和16，则大正方形面积为（） A. 7 B. 25 C. 30 D. 36 三、核心推导解答题（共60分） 1.（20分）利用赵爽弦图完整证明勾股定理。已知四个全等直角三角形直角边长为a、b，斜边长为c，结合面积关系推导$$a^2+b^2=c^2$$。 2.（20分）采用伽菲尔德证法验证勾股定理：将两个全等直角三角形（直角边a、b，斜边c）与一个等腰直角三角形拼成直角梯形，通过梯形面积公式完成推导。 3.（20分）在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以三边为边长向外作正方形，请利用面积割补思想，证明两直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积。 四、参考答案与完整解析 填空题答案 1. 面积割补、总面积；2. 全等；3. c、$$a-b$$；4. 直角梯形；5. 等于 选择题答案 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 解答题详细解析 1. 赵爽弦图证法：大正方形的边长为直角三角形斜边c，总面积为$$c^2$$。四个全等直角三角形的总面积：$$4\times\frac{1}{2}ab=2ab$$。内部小正方形边长为$$a-b$$，面积：$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$。根据面积守恒：$$c^2=2ab+(a^2-2ab+b^2)$$，化简后得$$a^2+b^2=c^2$$，勾股定理得证。 2. 伽菲尔德证法：拼接所得直角梯形上底为a、下底为b、高为$$a+b$$，梯形总面积：$$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$$。梯形由三个直角三角形组成，总面积：$$2\times\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$。联立面积等式化简：$$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$$，最终推出$$a^2+b^2=c^2$$。 3. 外作正方形割补证法：设直角边a、b对应的正方形面积分别为$$S_1=a^2$$、$$S_2=b^2$$，斜边c对应的正方形面积为$$S_3=c^2$$。通过图形分割、平移、拼接，可将两个小正方形无重叠、无空缺地拼接成大正方形，根据面积守恒可得$$S_1+S_2=S_3$$，即$$a^2+b^2=c^2$$。 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？ 问题 分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗? 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 4 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 (1)图中正方形的面积由小到大依 次表示为a2，b2，c2，(a+b) 2； 三角形的面积都表示为ab. a2 b2 c2 (a+b) 2 ab ab ab ab 5 思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到下面两幅图. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来. 知识点1 勾股定理的验证 (1)图中正方形的面积由小到大依 次表示为(b-a) 2，a2，b2，c2； 三角形的面积都表示为ab. (b-a) 2 a2 b2 c2 ab 6 (2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？ (2)图中正方形 ABCD的面积表示为(a+b) 2 或ab×4+c2=2ab+c2. 知识点1 勾股定理的验证 ab ab ab ab (a+b) 2 c2 7 (3)你能利用下图验证勾股定理吗? 知识点1 勾股定理的验证 (3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变， 即(a+b)2=2ab+c2， 所以a2+b2=c2. a2+b2+2ab 8 (2)图中正方形 ABCD 的面积，你有哪些表示方式？ (2)图中正方形 ABCD的面积表示为(b-a) 2 或cab×4=c2-2ab. 知识点1 勾股定理的验证 ab ab ab ab (b-a) 2 c2 9 知识点1 勾股定理的验证 (3)你能分别下图验证勾股定理吗? a2+b2-2ab (3)能.图中正方形 ABCD 的面积不变， 即(b-a)2=c2-2ab， 所以a2+b2=c2. 10 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用 代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证 明勾股定理的有( ) D A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 返回 中考考法 11 2. 如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知 米，米.为了避免行人继续踩踏草坪 走线段，小梅分别在， 处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( ) D A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 返回 中考考法 12 勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实.开方除之，即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把左图称为“赵爽弦图”. 知识点1 勾股定理的验证 2002年国际数学家大会会标的主要图案(如右图)就取材于此图. 13 例1 伽菲尔德的“总统证法”：如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2 =c2. 知识点1 勾股定理的验证 证明： 因为S梯形=(a+b)(a+b)=(a2+b2+2ab)， S梯形=ab+ab+c2= (2ab+c2)， 所以(a2+b2+2ab)= (2ab+c2)， 即a2+b2=c2 . 14 例2 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公 路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m;过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗? 知识点2 勾股定理的应用 公路 B C A 400m 500m 解：根据题意画图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置. 15 由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角. 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以BC=300. 蓝方汽车10 s行驶了300 m， 那么它平均每秒行驶300÷10=30(m)， 即蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s. 知识点2 勾股定理的应用 公路 B C A 400m 500m 16 【教材P8 习题1.1 第1题】 1. 求出图中直角三角形未知边的长度。 y2 = 132 - 52 = 144 y = 12 随堂练习 2. 求斜边长为 17 cm、一条直角边长为 15 cm 的直角三角形的面积。 【教材P8 习题1.1 第2题】 解：如图，在Rt△ABC中， AB=17cm，BC=15cm， 由勾股定理得AC2=AB2－BC2=172－152 = 64，即AC=8cm，S△ABC= BC·AC=60(cm2)。 随堂练习 【教材P8 习题1.1 第3题】 3.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处。旗杆折断之前有多高？ 解：如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 m，BC = 4 m。 由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5 m， 旗杆的高度 AC +AB = 3 + 5 = 8（m）， 即旗杆折断之前有 8 m 高。 A C B 随堂练习 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。 【教材P8 习题1.1 第4题】 S①= S ③ + S ④ S ① = S ⑦ + S ⑨ + S ⑧ + S ⑩ 随堂练习 3. 2024年11月4日，神舟 十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着 陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 ●蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如 10米 图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点处 米，空中点 处有一只风筝，无人机上的测距仪测 得米，点与点之间的水平距离 米，已知 于点，，则风筝离地面的高度 是______. 返回 中考考法 21 4.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理， 其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成， 图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图① 中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 . 中考考法 22 （1）请用含，，的代数式分别表示， ； 【解】 ， . 中考考法 23 （2）请利用达·芬奇的方法验证勾股定理. 由题意得，所以 . 所以 . 返回 中考考法 24 （第5题） 5. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露在 水上的鱼线长为 ，某钓鱼者想看看 鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置， 此时露在水面上的鱼线的长度为 ， 若，，三点在同一直线上，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 25 （第6题） 6. 一辆装满货物、宽为1.6米的卡车，欲通过 如图所示的隧道（隧道上半部分是以 为直 径的半圆），则卡车的高度必须低于( ) B A. 3.0米 B. 2.9米 C. 2.8米 D. 2.7米 返回 中考考法 26 7.［2025盐城期中］第二十四届国际数学家大会 会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家 赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角 40 形 和中间一个小正方形 拼成的大正方形中，连接，.若 的面 积是面积的9倍，小正方形 的面积是16，则大正 方形 的面积为____. 中考考法 27 8.［2025成都外国语学校期中］如图，某 沿海城市 接到台风预警，在该市正南方 向的处有一台风中心，沿 方向 以的速度移动，已知城市到 的距离为 . 中考考法 28 （1）台风中心经过多长时间从 点移动到 点？ 【解】由题意可知， ， ， ，所以由勾 股定理易得 . 因为 ， 所以台风中心经过从点移动到 点. 中考考法 29 （2）如果在距台风中心 的圆形区域内都将受到台风 的影响，那么 市受到台风影响的时间为多少小时？ 中考考法 30 如图，在射线上取点， ，使得 . 又因为，所以 . 在中，由勾股定理易得 ， 所以 . 因为 ， 所以市受到台风影响的时间为 . 返回 中考考法 31 运用勾股定理解决实际问题的一般思路： 知识点2 勾股定理的应用 实际问题 确定所求线段在直角三角形中 抽象出几何图形 求得线段长 数学建模 确定直角边和斜边 回归 利用勾股定理建立方程 32 $