第05讲 绝对值与有理数大小比较（讲义，新教材人教版全国通用）数学小升初衔接

第05讲 绝对值与有理数大小比较 · 预习目标 · 新课轻松学 · 新知速通 · 题型探究 · 题型1、求一个数的绝对值 · 题型2、绝对值非负性的应用 · 题型3、绝对值方程初步 · 题型4、利用绝对值比较负数大小 · 基础通关 · 拓展提优 1.理解绝对值的几何意义和代数意义，掌握求一个有理数绝对值的方法； 2.掌握有理数大小比较的法则，特别是两个负数比较大小的方法； 3.能利用数轴直观地比较有理数的大小，体会数形结合思想； 4.了解绝对值的非负性，并能解决简单的绝对值方程或不等式问题。 【生活情境引入】 同学们，假设你和朋友从学校出发，你向东走了500米，朋友向西走了500米。虽然你们的方向相反，但你们离学校的距离都是500米。在数学中，我们不考虑方向，只看“距离”。数轴上，一个数对应的点到原点的距离，就是这个数的“绝对值”。 【思考互动】 【思考1】 和 的绝对值分别是多少？它们相等吗？ 提示：都是5，相等。 【思考2】 有没有绝对值等于 的数？为什么？ 提示：没有，因为距离不可能是负数。 【课外阅读：绝对值的符号】 绝对值符号“”是由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在19世纪引入的。这个符号非常直观地表达了“距离”的概念。在后续的学习中，绝对值不仅是比较大小的重要工具，更是解决方程、不等式以及函数问题的核心概念。 1. 绝对值的定义 几何意义：在数轴上，一个数 对应的点到原点的距离叫做 的绝对值，记作 。 代数意义： 正数的绝对值是它本身，即若 ，则 ； 负数的绝对值是它的相反数，即若 ，则 ； 的绝对值是 ，即 。 2. 绝对值的非负性 对于任何有理数 ，都有 。 若 ，则必有 且 （几个非负数之和为0，则这几个数都为0）。 3. 利用绝对值比较负数大小 法则：两个负数，绝对值大的反而小。 步骤：先分别求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“绝对值大的反而小”得出原数的大小关系。 题型1、求一个数的绝对值 【解题技巧】 - 先判断该数是正数、负数还是 ； - 正数和 的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（去掉负号）。 【例题1】 求下列各数的绝对值： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 。 【解析】 根据绝对值的代数定义， 是负数，绝对值为 ； 是正数，绝对值为 ； 的绝对值为 。 题型2、绝对值非负性的应用 【解题技巧】 - 遇到绝对值等于0，或者几个绝对值之和等于0的题目，直接令每个绝对值内的代数式为0； - 这是初中数学非常重要的“非负性”考点。 【例题2】 已知 ，求 的值。 【答案】 【解析】 因为 ，，且它们的和为 ， 所以 且 ，解得 ，。 所以 。 题型3、绝对值方程初步 【解题技巧】 - 若 （），则 或 ； - 若 ，则 ； - 若 （），则方程无解。 【例题3】 若 ，则 ________。 【答案】 或 【解析】 绝对值等于4的数有两个，分别是 和 。 题型4、利用绝对值比较负数大小 【解题技巧】 - 比较两个负数的大小，必须先求绝对值； - 绝对值大的负数，实际数值反而小。 【例题4】 比较 和 的大小。 【答案】 【解析】 因为 ，，两者的绝对值相等，所以这两个负数相等。 【变式】 比较 与 的大小。 【答案】 【解析】 ，。 因为 ，所以 。 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 2．下列四个数在数轴上对应的点中，离原点最近的是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，比较四个数的绝对值大小，绝对值最小的数对应的点离原点最近． 【详解】∵ ，，，， ∴ ，即 ． ∴ 对应的点离原点最近． 3．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 4．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 5．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 7．的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 9．等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 10．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． 11．绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可． 【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数， 所以绝对值等于2026的数是． 12．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 13．下列各数中属于负数的是（     ） A． B． C．的相反数 D．的相反数 【答案】C 【分析】先根据绝对值、相反数的性质计算每个选项的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断即可． 【详解】对每个选项逐一计算判断： 选项A：， ， 不是负数． 选项B：， ， 不是负数． 选项C：根据相反数定义，2的相反数是， ， 是负数． 选项D：根据相反数定义， 的相反数是， ， 不是负数． 14．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 15．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 16．①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 【答案】 ②④ 【分析】根据有理数的分类，绝对值的性质，数轴的意义，相反数的性质，逐个判断四个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①整数分为正整数、0、负整数，0既不是正数也不是负数，因此一个整数还可能是0，故①错误； ②根据绝对值的非负性，可得，因此一定不是负数，故②正确； ③不是有理数，但也可以表示在数轴上，则数轴上的点不仅可以表示有理数，故③错误； ④正数的相反数是负数（小于它本身），负数的相反数是正数（大于它本身），0的相反数是0（等于它本身），则正数和0的相反数不大于它本身，所以一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数，故④正确． 则正确的说法有②④． 17．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偏差的绝对值越小，乒乓球质量越接近标准质量，则只需比较各选项偏差的绝对值大小即可得到结果． 【详解】∵ 越接近标准质量，乒乓球质量偏差的绝对值越小， 分别计算各选项偏差的绝对值： ， ， ， ， ∵ ， ∴ 选项A的偏差绝对值最小，最接近标准质量． 18．某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小进行比较即可． 【详解】解：首先整理四个地点的平均气温：鼓浪屿，佳木斯，颐和园，北安， 根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值越大的负数数值越小， 可得大小关系：， ∴平均气温最低的地区是北安． 19．在一个标准大气压下，四种气体的沸点如下表所示，则沸点最高的是（    ）． 气体 氧气 氢气 氮气 二氧化碳 沸点（单位：） A．氧气 B．氢气 C．氮气 D．二氧化碳 【答案】D 【详解】解：， 即四个沸点中最大的是二氧化碳的沸点， 因此沸点最高的是二氧化碳． 20．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 21．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 22．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设所求温度为， 根据题意可得， 则在该取值范围内任取一个数即可，例如取． 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 2．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，根据相反数的定义，两个式子的和为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 化简得， ∴， ∴， 故选：C． 3．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 4．关于的方程与的解互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及相反数的概念，熟练掌握一元一次方程的求解步骤并利用相反数的性质确定方程的解是解题的关键． 先求出方程的解，根据解互为相反数，得到方程的解，代入后解关于的方程即可． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为． 将代入，得，即， 解得， 故答案为：． 5．已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 6．若  ，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，由此可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且， ∴ ， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：1． 7．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】解题思路是根据 “友好数” 的定义，列出对应的等式，再通过解方程求出未知的 “友好数” 或字母的值．本题考查有理数的加法与相反数的概念，涉及的知识点是新定义运算、一元一次方程的求解．解题中用到的方法是定义转化法，将 “友好数” 的定义转化为等式，再解方程．解题关键是准确理解 “友好数” 的定义，正确列出等式．易错点是处理相反数时符号错误，或解方程时移项符号出错． 【详解】（1）解：∵ ∴的“友好数”为16． （2）∵ ∴的相反数是2 ∴． 8．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 9．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 绝对值与有理数大小比较 1. 预习目标 1. 新课轻松学 1. 新知速通 1. 题型探究 3. 题型1、求一个数的绝对值 3. 题型2、绝对值非负性的应用 3. 题型3、绝对值方程初步 3. 题型4、利用绝对值比较负数大小 1. 基础通关 1. 拓展提优 【生活情境引入】 同学们，假设你和朋友从学校出发，你向东走了500米，朋友向西走了500米。虽然你们的方向相反，但你们离学校的距离都是500米。在数学中，我们不考虑方向，只看“距离”。数轴上，一个数对应的点到原点的距离，就是这个数的“绝对值”。 【思考互动】 1. 【思考1】 和 的绝对值分别是多少？它们相等吗？ 6. 提示：都是5，相等。 1. 【思考2】 有没有绝对值等于 的数？为什么？ 7. 提示：没有，因为距离不可能是负数。 【课外阅读：绝对值的符号】 绝对值符号“”是由德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）在19世纪引入的。这个符号非常直观地表达了“距离”的概念。在后续的学习中，绝对值不仅是比较大小的重要工具，更是解决方程、不等式以及函数问题的核心概念。 1. 绝对值的定义 · 几何意义：在数轴上，一个数 对应的点到原点的距离叫做 的绝对值，记作 。 · 代数意义： · 正数的绝对值是它本身，即若 ，则 ； · 负数的绝对值是它的相反数，即若 ，则 ； · 的绝对值是 ，即 。 2. 绝对值的非负性 · 对于任何有理数 ，都有 。 · 若 ，则必有 且 （几个非负数之和为0，则这几个数都为0）。 3. 利用绝对值比较负数大小 · 法则：两个负数，绝对值大的反而小。 · 步骤：先分别求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“绝对值大的反而小”得出原数的大小关系。 题型1、求一个数的绝对值 【解题技巧】 - 先判断该数是正数、负数还是 ； - 正数和 的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数（去掉负号）。 【例题1】 求下列各数的绝对值： (1) ； (2) ； (3) 。 题型2、绝对值非负性的应用 【解题技巧】 - 遇到绝对值等于0，或者几个绝对值之和等于0的题目，直接令每个绝对值内的代数式为0； - 这是初中数学非常重要的“非负性”考点。 【例题2】 已知 ，求 的值。 题型3、绝对值方程初步 【解题技巧】 - 若 （），则 或 ； - 若 ，则 ； - 若 （），则方程无解。 【例题3】 若 ，则 ________。 题型4、利用绝对值比较负数大小 【解题技巧】 - 比较两个负数的大小，必须先求绝对值； - 绝对值大的负数，实际数值反而小。 【例题4】 比较 和 的大小。 【变式】 比较 与 的大小。 1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 2．下列四个数在数轴上对应的点中，离原点最近的是（    ） A．4 B．1 C． D． 3．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 4．点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A．M B．N C．P D．Q 5．如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 7．的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 9．等于（     ） A．2027 B． C． D． 10．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 11．绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 12．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 13．下列各数中属于负数的是（     ） A． B． C．的相反数 D．的相反数 14．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 15．若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 16．①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 17．比赛用的乒乓球有一定的标准质量，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差，检测记录中“”表示超出标准质量，“”表示不足标准质量，现随机抽取4个乒乓球进行质量检测，那么最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 18．某气象站记录了以下四个地点当日的平均气温，如图所示，则其中平均气温最低的地区是（     ）      A．鼓浪屿 B．佳木斯 C．颐和园 D．北安 19．在一个标准大气压下，四种气体的沸点如下表所示，则沸点最高的是（    ）． 气体 氧气 氢气 氮气 二氧化碳 沸点（单位：） A．氧气 B．氢气 C．氮气 D．二氧化碳 20．在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 21．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 22．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 1．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 2．如果式子与式子的值互为相反数，那么的值是（    ） A． B．0 C． D．1 3．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于的方程与的解互为相反数，则的值为________． 5．已知a为有理数，则的最小值为__________． 6．若  ，则的值为___________． 7．若两个有理数，，满足，则称，互为“友好数”，例如：6和4就是一对“友好数”． (1)求的“友好数”． (2)若的相反数与8互为“友好数”，求的值． 8．如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 9．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $