浙江省嘉兴一中实验学校等校2025-2026学年八年级下学期期末数学抽测试卷同类变式卷

**基本信息** 立足核心素养，以青铜蒸馏器实验、垂对三等分平行四边形等文化与创新情境为载体，全面覆盖八年级下册数学知识，梯度考察抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|二次根式化简、中心对称图形、一元二次方程根、统计量、平行四边形性质|基础题结合生活实例，如体育测试成绩统计（第4题）| |多选题|3题|一次函数应用、方差计算、旋转性质|信息题考察数据分析，如赛车能量消耗函数图象（第9题）| |填空题|3题|二次根式运算、面积比例、方程根与系数|跨图形综合，如圆与三角形阴影面积关联（第13题）| |解答题|5题|代数变形、尺规作图、二元一次方程组、新定义方程、矩形综合|创新情境与分层设计，如青铜蒸馏器原料计算（第17题）、垂对三等分平行四边形探究（第19题）|

2025-2026学年浙江省嘉兴一中实验学校等校八年级（下）期末数学抽测试卷 一．选择题（共8小题） 1．下列各式变形中，分母有理化正确的是（　　） A． B． C．（，） D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．若m是关于x的方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 4．某班7名学生体育测试的成绩（单位：分）分别为：58，59，58，55，57，58，57，则这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．58，58 B．57，58 C．58，56 D．58，57 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，1） C．（0，2） D．（0，1） 6．已知y1，y2是方程y2+2y﹣3＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．平行四边形的三个顶点坐标依次为（1，3）、（2，1）、（m，n），则第四个顶点的坐标不可能为（　　） A．（m + 1，n + 2） B．（m ﹣ 1，n ﹣ 2） C．（﹣m ﹣ 1，﹣n + 2） D．（﹣m + 1，﹣n + 2） 8．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD，其对角线，则AB的长为（　　） A． B．3cm C．4cm D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．在一场赛车比赛中，有两辆赛车甲和乙同时出发，赛车行驶过程中，随着时间推移，赛车的能量值会不断消耗．如图，线段AC表示甲车，线段AB表示乙车，在这段时间内，甲、乙两车的能量值y（单位）与行驶时间x（分钟）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车的初始能量值均为90单位 B．甲车能量消耗更慢 C．乙车的能量值y与x的函数关系式为 D．当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位 （多选）10．已知求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是15 B．该组数据的平均数是17 C．该组数据的众数是16和18 D．若该组数据加入一个数17，则这组新数据的方差不变 （多选）11．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交CE于点F，连接AE，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝AE B．AC∥DE C．∠CAF＝60° D．BF⊥CE 三．填空题（共3小题） 12．计算：． 13．如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的，已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的　 　 ．（填几分之几） 14．关于x的方程a（x+n）2+b＝0的根是x1＝3，x2＝﹣4（a，b，n均为常数且a≠0），则关于x的方程ax2+2a（3﹣n）x+a（n﹣3）2+b＝0的所有实根之和是． 四．解答题（共5小题） 15．（1）已知，求x2﹣x+3的值；（2）解方程：． 16．如图，四边形ABCD是矩形，AB＜BC，点E在AD的延长线上． （1）求作点F，使点F在AD边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF的长． 17．某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ 18．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．（1）已知关于x的方程x2+3x+c＝0是理想方程，求c的值；（2）当b，c满足什么条件时，方程x2+bx+c＝0是理想方程；（3）关于x的理想方程ax2+bx+c＝0的两个实根为x1，x2，若c＝3a，求x1+x2的取值范围． 19．如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，则DP＝　 　 ，AD＝　 　 ； （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝12，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长． 2025-2026学年浙江省嘉兴一中实验学校等校八年级（下）期末数学抽测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列各式变形中，分母有理化正确的是（　　） A． B． C．（，） D． 【分析】本题考查分母有理化的知识．分母有理化是指通过一些方法将分母中的根式去掉．对于二次根式分母有理化，关键是利用平方差公式等，要注意根式有意义的条件． 【解答】A选项：（a＞0），不是，A错误；B选项：（a＜0），B错误；C选项：当a≥0，b＞0时，，C正确；D选项：，D错误．故选：C． 【点评】本题考查分母有理化及根式有意义的条件，要注意根式中被开方数的取值范围以及分母不能为0等易错点． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【解答】解：A不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键． 3．若m是关于x的方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用．已知m是方程的根，将其代入方程后，通过变形来求解代数式的值． 【解答】因为m是方程3x2﹣2x﹣5＝0的一个实根，所以3m2﹣2m﹣5＝0，移项可得3m2﹣2m＝5，两边同时除以3得．则选项中的值．由3m2﹣2m＝5，可得，，但根据方程的变形，，那么，这里我们可以将方程变形为，所以（这里将看作1，取整数部分加2026）．故选：C． 【点评】本题关键在于利用方程的根的性质，对代数式进行变形求值，注意计算过程中的变形和化简． 4．某班7名学生体育测试的成绩（单位：分）分别为：58，59，58，55，57，58，57，则这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．58，58 B．57，58 C．58，56 D．58，57 【分析】根据众数定义找出出现次数最多的数得到众数，再将数据从小到大排序，数据个数为奇数时，最中间的数就是中位数，得到结果后匹配选项即可 【解答】解：58出现了3次，出现次数最多，众数是58； 将这组数据按从小到大的顺序排列为：55，57，57，58，58，58，59， ∴中位数是排序后第4个数据，即58， 因此这组数据的众数和中位数分别为58，58． 故选：A． 【点评】本题考查了众数、中位数，熟练掌握以上知识点是关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB，AC交于点P，OA＝2，OC＝4．将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐标为（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣2，1） C．（0，2） D．（0，1） 【分析】过点P作PD⊥OA轴于点D，证明PD是△AOC的中位线得PDOC＝2，OD＝ADOA＝1，则点D的坐标为（0，1），由平移性质得将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，此时点P向左平移了2个单位长度，由此得点A向左平移2个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，2），据此可得出答案． 【解答】解：过点P作PD⊥OA轴于点D，如图所示： ∵OA＝2，OC＝4， ∴点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（4，0）， ∵四边形OABC是矩形，对角线OB，AC交于点P， ∴OA⊥OC，点P是AC的中点， ∵PD⊥OA轴于点D， ∴PD∥OC， ∴PD是△AOC的中位线， ∴PDOC＝2，OD＝ADOA＝1， ∵将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上， ∴点P向左平移了2个单位长度， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴点A向左平移2个单位长度得点对应点的坐标为（﹣2，2）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标与图形，图形的平移变换及其性质，矩形的性质，三角形中位线定理，理解图形的平移变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键． 6．已知y1，y2是方程y2+2y﹣3＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】本题考查根与系数的关系及代数式求值．先根据方程求出两根的关系，再对所求代数式进行变形，利用根与系数的关系和方程的根的性质来求解． 【解答】由y2+2y﹣3＝0可得y2＝3﹣2y．因为y1，y2是方程y2+2y﹣3＝0的两个实数根，所以，．．．根据韦达定理，y1+y2＝﹣2．．又因为，即，代入可得：/n由解得y2＝1或y2＝﹣3．当y2＝1时，3y2﹣5＝3﹣5＝﹣2；当y2＝﹣3时，3y2﹣5＝﹣9﹣5＝﹣14（舍去，因为没有该选项）．所以．故选：D． 【点评】本题综合考查根与系数的关系以及代数式的变形求值，对学生的代数运算和变形能力有一定要求． 7．平行四边形的三个顶点坐标依次为（1，3）、（2，1）、（m，n），则第四个顶点的坐标不可能为（　　） A．（m + 1，n + 2） B．（m ﹣ 1，n ﹣ 2） C．（﹣m ﹣ 1，﹣n + 2） D．（﹣m + 1，﹣n + 2） 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的对边平行且相等，通过对不同对角线情况的讨论来确定第四个顶点的坐标． 【解答】设A（1，3），B（2，1），C（m，n），分三种情况讨论：①若以AB为对角线，设第四个顶点为D（x，y），则根据平行四边形对角线互相平分可得：，，解得x＝3﹣m，y＝4﹣n．②若以AC为对角线，设第四个顶点为D（x，y），则，，解得x＝m﹣1，y＝n+2．③若以BC为对角线，设第四个顶点为D（x，y），则，，解得x＝m+1，y＝n﹣2．逐一分析选项：A选项：（m+1，n﹣2），符合以BC为对角线的情况；B选项：（m﹣1，n+2），符合以AC为对角线的情况；C选项：（﹣m﹣1，﹣n+2）不符合上述三种情况；D选项：（﹣m+1，﹣n+2）不符合上述三种情况．综上，答案选C． 【点评】本题关键在于利用平行四边形的性质，通过分类讨论对角线的情况来确定第四个顶点的坐标，要注意分类的完整性． 8．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形ABCD，其对角线，则AB的长为（　　） A． B．3cm C．4cm D． 【分析】连接BD、AC，过点A分别作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于点F，证明四边形ABCD是平行四边形，再根据等积法得出四边形ABCD是菱形，进而利用菱形的性质解答即可． 【解答】解：如图，连接BD、AC，过点A分别作作AF⊥CD于点F，AE⊥BC于点E， ∵两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴2BO＝BD＝2，BD⊥AC， ∴，， ∴AB＝3cm， 故选：B． 【点评】此题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，关键是根据等积法得出四边形ABCD是菱形解答． 二．多选题（共3小题） （多选）9．在一场赛车比赛中，有两辆赛车甲和乙同时出发，赛车行驶过程中，随着时间推移，赛车的能量值会不断消耗．如图，线段AC表示甲车，线段AB表示乙车，在这段时间内，甲、乙两车的能量值y（单位）与行驶时间x（分钟）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两车的初始能量值均为90单位 B．甲车能量消耗更慢 C．乙车的能量值y与x的函数关系式为 D．当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位 【分析】AB．观察图象即可； C．利用待定系数法解答即可； D．将甲车的能量值是60单位时对应的x的值代入乙车的能量值y与x的函数关系式，求出对应y的值即可． 【解答】解：由图象可知，甲、乙两车的初始能量值均为90单位， ∴A正确，符合题意； 根据图象，乙车能量消耗更慢， ∴B不正确，不符合题意； 设乙车的能量值y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标A（0，90）和B（300，60）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴乙车的能量值y与x的函数关系式为yx+90， ∴C正确，符合题意； 当甲车的能量值是60单位时x＝150， 当x＝150时，y150+90＝75， ∴当甲车的能量值是60单位时，乙车的能量值是75单位， ∴D正确，符合题意． 故选：ACD． 【点评】本题考查一次函数的应用，从图象获得必要的数学信息、掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （多选）10．已知求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是15 B．该组数据的平均数是17 C．该组数据的众数是16和18 D．若该组数据加入一个数17，则这组新数据的方差不变 【分析】根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【解答】解：A．n的值是5，此选项错误，符合题意； B．这组数据为16、16、17、18、18，其平均数为（16+16+17+18+18）＝17，此选项正确，不符合题意； C．这组数据的众数为16和18，此选项正确，不符合题意； D．原数据的方差为[2×（16﹣17）2+（17﹣17）2+2×（18﹣17）2]＝0.8， 新数据的方差为[2×（16﹣17）2+2×（17﹣17）2+2×（18﹣17）2]，方差减小，此选项错误，符合题意； 故选：AD． 【点评】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，正确记忆相关知识点是解题关键． （多选）11．如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交CE于点F，连接AE，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝AE B．AC∥DE C．∠CAF＝60° D．BF⊥CE 【分析】根据了旋转的性质得到AB＝DE，∠BCF＝60°，然后根据等边对等角和平行线的判定定理逐项求解判断即可． 【解答】解：如图，连接BE，BF垂直EC，三线合一，所以A正确 ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∴△BEC为等边三角形， ∵∠B＝30°， ∴∠BFC＝90°， ∴BF⊥CE， ∴AC＝AE， 故A、D结论正确，符合题意； ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠B＝∠CED＝30°， ∵AB和AC不一定相等， ∴∠B和∠ACB不一定相等，即∠ACB不一定等于30°， ∴∠ACF不一定等于30°， ∴∠ACF和∠CED不一定相等， ∴AC和DE不一定平行， 故B结论错误，该选项不符合题意； ∵∠ACB不一定等于30°，∠CAF＝∠B+∠ACB＝30°+∠ACB， ∴∠CAF不一定等于60°， 故C结论错误，该选项不符合题意； 故选：AD． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 三．填空题（共3小题） 12．计算：． 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先对原式进行分母有理化，再进行计算． 【解答】/n故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的分母有理化及混合运算，计算时要注意完全平方公式以及平方差公式的正确运用． 13．如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的，已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的　　 ．（填几分之几） 【分析】设正方形面积为A，圆面积为C，三角形面积为T，根据题意可得，，再由正方形面积的被阴影覆盖得到，则可推出，据此可得答案． 【解答】解：设正方形的面积为A，圆的面积为C，三角形的面积为T，且圆与三角形的重叠部分面积为S： 由题意知：圆被阴影覆盖的面积，三角形被阴影覆盖的面积， 所以， 因为圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的 所以 因为正方形面积的被阴影覆盖， 所以， 所以， 所以， 所以， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，分数混合运算的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．关于x的方程a（x+n）2+b＝0的根是x1＝3，x2＝﹣4（a，b，n均为常数且a≠0），则关于x的方程ax2+2a（3﹣n）x+a（n﹣3）2+b＝0的所有实根之和是． 【分析】本题可先根据已知方程的根得到a（x+n）2+b＝0的变形形式，再通过换元法找出新方程与已知方程的关系，最后利用根与系数的关系求解． 【解答】因为关于x的方程a（x+n）2+b＝0的根是x1＝3，x2＝﹣4，那么a（x+n）2＝﹣b．设y＝x﹣3，则方程ax2+2a（3﹣n）x+a（n﹣3）2+b＝0可变形为a（y+3）2+2a（3﹣n）（y+3）+a（n﹣3）2+b＝0，进一步化简为a（y+n）2+b＝0．所以y1＝3，y2＝﹣4，即x1﹣3＝3，x2﹣3＝﹣4，解得x1＝6，x2＝﹣1，实根之和为6+（﹣1）＝5． 【点评】本题考查根与系数的关系以及换元法的应用，关键是找出两个方程之间的联系，换元过程中要仔细． 四．解答题（共5小题） 15．（1）已知，求x2﹣x+3的值；（2）解方程：． 【分析】（1）先对x2﹣x进行变形，再将x的值代入求解；（2）先将分式方程化为整式方程，再求解并检验． 【解答】（1）x2﹣x＝x（x﹣1），把代入得，所以x2﹣x+3＝1+3＝4．（2）方程两边同乘x（x﹣3）得2x2﹣（x+8）＝x（x﹣3），展开得2x2﹣x﹣8＝x2﹣3x，移项合并得x2+2x﹣8＝0，因式分解为（x+4）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2．经检验，x＝﹣4和x＝2都是原方程的根． 【点评】本题考查二次根式的化简求值以及分式方程的解法，计算过程要细心，分式方程要记得检验． 16．如图，四边形ABCD是矩形，AB＜BC，点E在AD的延长线上． （1）求作点F，使点F在AD边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF的长． 【分析】（1）作线段BE的垂直平分线交AD于点F，连接BF即可； （2）证明BF＝EF，设AF＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，F是所求作的点； （2）∵四边形ABCD是矩形，BC＝6， ∴AD∥BC，AD＝BC＝6． ∴∠E＝∠EBC，∠AFB＝∠FBC． ∵∠AFB＝2∠EBC， ∴∠FBE＝∠EBC＝∠E． ∴BF＝EF． ∵DE＝2， ∴AE＝AD+DE＝8． 设AF＝x，则BF＝EF＝8﹣x． 在Rt△ABF中，∠A＝90°，AB＝4， 由勾股定理得AF2+AB2＝BF2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3． ∴AF＝3． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．某文物考古研究院用1：1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率如表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水） 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤：第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ 【分析】设第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第二次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x，3y公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【解答】解：设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅， 由题意列二元一次方程组可得：， 解得． 答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 18．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程．（1）已知关于x的方程x2+3x+c＝0是理想方程，求c的值；（2）当b，c满足什么条件时，方程x2+bx+c＝0是理想方程；（3）关于x的理想方程ax2+bx+c＝0的两个实根为x1，x2，若c＝3a，求x1+x2的取值范围． 【分析】（1）把x＝c代入方程求解c的值；（2��同样把x＝c代入方程，整理得到b，c的关系；（3）先根据根与系数的关系得到x1+x2关于a，b的表达式，再结合c＝3a以及判别式求解取值范围． 【解答】（1）把x＝c代入x2+3x+c＝0得c2+3c+c＝0，即c2+4c＝0，因式分解得c（c+4）＝0，解得c1＝0，c2＝﹣4．（2）把x＝c代入x2+bx+c＝0得c2+bc+c＝0，因为c是根，当c＝0时满足，当c≠0时，两边同时除以c得c+b+1＝0，所以当c＝0或b+c+1＝0时，方程x2+bx+c＝0是理想方程．（3）由根与系数的关系得，因为c＝3a，且c是方程的根，所以ac2+bc+c＝0，把c＝3a代入得a×（3a）2+b×3a+3a＝0，因为a≠0，两边同时除以a得9a2+3b+3＝0，即b＝﹣3a2﹣1，所以．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0，判别式Δ＝b2﹣4ac⩾0，将c＝3a，b＝﹣3a2﹣1代入得（﹣3a2﹣1）2﹣4a×3a⩾0，恒成立．当a＞0时，；当a＜0时，﹣a＞0，则，即．所以或． 【点评】本题综合考查根与系数的关系、一元二次方程的解以及不等式的应用，计算过程较为复杂，要注意分类讨论和判别式的应用． 19．如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在▱ABCD中，AE⊥BD于点P，交CD于点E，若E为CD的三等分点，则▱ABCD是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，则DP＝　2　 ，AD＝　　 ； （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形ABCD中，P是垂三等分点，且满足，若CE＝CB，试猜想BD与BC的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形ABCD是矩形，过点A作AE⊥BD于点P，交CD于点E，AB＝12，当四边形ABCD是垂对三等分平行四边形时，直接写出AD的长． 【分析】（1）由▱ABCD得到AB∥CD，得到△DEP∽△BAP，根据相似三角形的性质即可求出DP．根据勾股定理在Rt△ABP中，求出AP，进而在Rt△ADP中求出AD； （2）由▱ABCD得到AB∥CD，得到△BEP∽△DCP，因此，设EP＝2a，则CP＝3a，BC＝CE＝5a，在Rt△BCP中，根据勾股定理求得BP＝4a，进而有，BD＝DP+BP＝10a，即可得到BD＝2BC； （3）分两种情况讨论：①若，则由△DEP∽△BAP，得到，设EP＝a，则AP＝3EP＝3a，AE＝AP+EP＝4a，证明△DEP∽△AED，得到，求得a＝2，即AE＝8，在Rt△ADE中，根据勾股定理即可求出AD；②若，同①思路即可求解． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，， ∴△DEP∽△BAP， ∴，即， ∴DP＝2， ∵AE⊥BD， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：， 在Rt△ADP中，由勾股定理得：． 故答案为：2；； （2）BD＝2BC；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴△BEP∽△DCP， ∴， 设EP＝2a，则CP＝3a，CE＝CP+EP＝5a， ∴BC＝CE＝5a， ∵CE⊥BD， 在Rt△BCP中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴BD＝DP+BP＝10a， ∵BC＝5a， ∴BD＝2BC； （3）AD的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①如图3，若， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝a，则AP＝3EP＝3a，AE＝AP+EP＝4a， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得a＝2或a＝﹣2（舍去）， ∴AE＝8， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． ②如图，， 在矩形ABCD中，CD∥AB， ∴△DEP∽△BAP， ∴， 设EP＝2b，则，AE＝AP+EP＝5b， ∵AE⊥BD， ∴∠DPE＝90°， 在矩形ABCD中，∠ADC＝90°， ∴∠DPE＝∠ADE， ∵∠DEP＝∠AED， ∴△DEP∽△AED， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：． 综上所述，AD的长为或． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形与矩形的性质，平行四边形的性质，垂线定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 8:57:49；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $