江苏南京市栖霞区名校联盟2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

**基本信息** 七年级期末数学试卷以文化传承与生活实践为情境载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查代数运算、几何推理及模型应用，突出抽象能力、推理意识与模型意识的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|图形对称、命题真假、数轴应用|结合剪纸作品考查轴对称与中心对称（文化传承）| |填空题|10/20|幂运算、多边形内角和、不等式整数解|动态几何角度计算（空间观念）、二元一次方程解的应用（数据意识）| |解答题|10/68|三角形内角和证明（两种方法）、分段水费计算、行程问题|设计探索发现题（整体代入法）、施工道路行程与限速结合（模型应用），注重推理能力与创新意识|

七年级期末测试 一、单选题（每小题2分，共12分） 1．下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中是真命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．若，则 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 3．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题中的真命题是（　　） A．对顶角相等 B．同位角相等 C．若，则 D．三个连续自然数之和不能被3整除 5．如图，若，，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 6．用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（    ） A．5，6 B．5，8 C．6，6 D．6，8 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．“对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 8．已知，，则的值为______． 9．把加上一个单项式________成为一个多项式的平方（写出一个即可） 10．计算：(x－y)(x2＋xy＋y2)=__________ 11．若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______． 12．如图，是的边上一点，，，，则_______°. 13．若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是_______． 14．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝________度． 15．如图，在中，，是边上一点，延长至点，连接，，，则的度数为_______． 16．关于，的二元一次方程与的部分解分别如表1、表2，则关于的不等式的解集为______． 表1 x … 0 1 2 … y … 2 5 … 表2 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17．计算： (1)． (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．（1）解方程组：． （2）已知关于x和y的方程组（k为常数），无论k取何值，直接写出的值． 20．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 21．用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 22．如表，格子中填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等. 3 2 A (1)_____（用含，的代数式表示）； (2)写出，的关系，并说明理由； (3)若右下角四个数之和大于21，求的取值范围. 23．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 24．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 (1)小明家2月份用水量为，应缴纳水费______元； (2)为节约用水，小明家计划3月份的水费不超过92元，3月份最多能用多少水？ (3)已知小红家2月份和3月份共缴纳水费176元，这两个月的用水量一共是，且2月份用水量少于3月份．求小红家2月份、3月份用水量分别是多少？ 25．【探索发现】 （1）已知满足； ①求的值；小明、小红分别给出下列思路，请补全小红的思路． ②小明提出：小红的解法是巧合吗？能求的值吗？请根据智能机器人的提示，先求的值，再求的值． 【解决问题】 （2）若满足，为常数且，则的取值范围是_______． 26．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 七年级期末测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A B B 7．假 【分析】本题考查了对顶角相等，逆命题的真假判断，先写出逆命题再判断真假即可． 【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题． 故答案为：假． 8． 【分析】先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得，将，代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数指数幂的除法和幂的乘方，掌握同底数指数幂的除法法则和幂的乘方法则是解题的关键． 9．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查完全平方公式，根据已知条件即可写出一个完全平方式，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴. 故答案为：． 10．x3－y3 【详解】(x－y)(x2＋xy＋y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3， 故答案为x3-y3. 11．6 【分析】根据多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），结合题意可列出方程180°（n-2）=360°×2，再解即可． 【详解】解：多边形内角和=180°（n-2）， 外角和=360°， 所以，由题意可得180°×(n-2)=2×360°， 解得：n=6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和，关键是掌握多边形内角和公式：（n-2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360度． 12． 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，在三角形中求角度的大小时，经常运用它们解题． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形内角和定理，直接求出的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解，可以写出这三个整数解，然后即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得： 关于的不等式组有3个整数解，为2，3，4 ． 故答案为：． 14．540 【分析】连接DG、AC，在四边形EFGD中，根据四边形内角和为360°，三角形内角和为180°，可得∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，进而即可求解． 【详解】解：连接DG、AC． 在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°， 又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°． 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理与三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 15． 【分析】本题考查三角形外角定理，熟练运用三角形外角定理：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”进行倒角是解题的关键．题目中有两组相等的角，根据三角形外角定理找到这两组角之间的关系，再结合即可求出的度数． 【详解】解；， ， 即 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次不等式的解集，明确题意，利用方程解的特征解答是解题关键． 根据表格中的数据可以求得两个方程的公共解，利用随的增减性，即可得不等式的解集． 【详解】解：由表格数据可知，方程与方程的公共解为， 设表1中的为，表2中的为，则，， 关于的不等式为， ， 方程中随的增大而增大，方程中随的增大而减小， 关于的不等式的解集为， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂相乘，积的乘方，零次幂，负整数指数幂等幂的运算． （1）先根据同底数幂相乘，积的乘方计算，再合并同类项即可； （2）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．； 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算．先根据平方差公式与完全平方公式进行计算，再合并同类项即可化简，最后代入求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 19．（1）（2）6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将两个方程相加可得，再将两个方程相减，可得，即可得，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为；； （2）， ，， ，得，即， ∴， ∴k无论取何值，的值为6． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用网格特点和平移的性质画出点A，B，C的对应点分别是点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点分别是点即可． （3）连接相交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，点即为所求． 21．证法1：；；证法2见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 证法1中，利用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补求证；证法2中，利用两直线平行内错角相等，构造一个平角求证． 【详解】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作，     ， ，，     ，     . 22．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题理解题意中“各行、各列上三个数之和相等”从而列出关于x、y的一元一次方程，使问题得解． （1）通过理解题意可知本题的等量关系“各行、各列上三个数之和都相等”，列出方程求解； （2）根据“各行、各列上三个数之和都相等”列出方程求解； （3）根据右下角四个数之和大于21，列出不等式求解． 【详解】（1）解： ∵各行上的三个数之和相等 ∴ 即： （2）各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等 各行上的三个数之和为：，     各列上的三个数之和为：，     由9个数的总和相等，得：，     . （3）右下角四个数之和大于21，      ，      即. 23．三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 24．(1)65 (2)小明家3月份最多能用水 (3)小红家2月份的用水量是，3月份用水量是 【点睛】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用；能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程、代数式或不等式是解题的关键． （1）根据用水量，代入不同的单价，计算出应缴纳的水费； （2）根据应缴纳的水费范围列出不等式，求解用水量的范围，即可找出用水量的最大值； （3）分类进行讨论计算． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65． （2）设小明家3月份能用水， （元），， ． 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：小明家3月份最多能用水; （3）设小红家2月份的用水量为，则小红家3月份的用水量为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， （）． 答：小红家2月份的用水量是，3月份用水量是． 25．（1）①见详解，②；（2） 【分析】本题主要考查加减消元法解一元二次方程组，整体代入法求代数式的值，以及不等式的性质，解题的关键是熟悉整体代入的应用． （1）①小明的解法首先利用加减消元法求得x和y，再代入求得 代数式的值；小红采取整体代入法求解即可； ②根据题意化简得，列出方程组求得n和m，再代入代数式计算即可； （2）设，列出方程组求解得到n和m，将，结合不等式的性质求得，即可知的取值范围． 【详解】解：（1）①小明，解得， 则； 小红得， 则得； ②设， 则，解得， 那么，； （2）， 则，解得， 那么，， ∵， ∴， 则的取值范围是． 26．(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 学科网（北京）股份有限公司 $