精品解析：广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高一第二学期第二次月考数学试题

2025-2026学年高一数学第二学期第二次月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三角形中，，，，则______． 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 14. 若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 四、解答题本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算． 15. 在中，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 18. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第二学期第二次月考试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得. 【详解】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 2. 一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 3. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 4. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可. 【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示， 其中，，， 原平面图形的面积为. 故选：D． 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于的等式，即可求得实数的值. 【详解】由已知可得，因为，可得，解得. 故选：C. 6. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 7. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 8. 如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用柱体、台体体积公式可求得结果. 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为， 设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，， ， 因此，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：根据向量数量积的坐标表示进行计算即可；选项B：根据向量加减法的坐标表示计算出和，再结合两向量垂直，数量积为0判断即可；选项C：根据向量夹角的公式进行计算即可；选项D：根据向量的投影向量公式计算即可. 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，，故选项B错误； 对于选项C，，结合与的夹角范围为，故与的夹角为，选项C正确； 对于选项D，在方向上的投影向量为，故选项D错误. 故答案为：AC. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（     ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线 C. 与平行 D. 直线与共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在三角形中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的性质及向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】， ， ， 因此. 故答案为：. 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 14. 若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果. 【详解】设球的半径为， 则圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 球的体积为， 圆锥、圆柱、球的体积比为， 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算． 15. 在中，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求的值； （2）求出c，再利用余弦定理求出b，然后利用三角形面积公式可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍）， 所以的面积. 16. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求的体积； （2）求证：平面； （3）求证：平面． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积求解即可； （2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直； （3）利用线线平行证明线面平行即可. 【小问1详解】 因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． 【小问2详解】 证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． 【小问3详解】 取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 18. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 设，， ，又， 或， 或 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 19. 如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可. (2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可. (3) 设,四面体的体积为,即可求最值. 【小问1详解】 证明：∵四边形，都是矩形， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∴，∵平面，∴平面； 【小问2详解】 证明：连接，设，∵平面平面，且， ∴平面，∴， 又，∴四边形为正方形，∴， ∴平面，又平面，∴， 【小问3详解】 解：设，则，其中， 由（1）得平面， ∴四面体的体积为： ， 时，四面体的体积最大，其最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $