精品解析：广东仲元中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试题

广东仲元中学2025-2026学年第二学期高一数学6月月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 5 D. 或5 2. 在中，，点在 上，满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 4. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知复数，则复数z的共轭复数（    ） A. B. C. D. 6. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题为真命题的是（    ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 若复数为纯虚数，则， D. 若，， ，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”， “两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______． 13. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 14. 已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 18. 矩形中， ， 为线段的中点，将 沿 折起，使得平面 平面．在新构造的四棱锥 中，解以下问题： （1）证明： 面 ； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面 ？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中，. （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，、、分别是角、、的对边，且. （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且 ， ，当取最大值时，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2025-2026学年第二学期高一数学6月月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 5 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的概念，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，解得 . 故选：C. 2. 在中，，点在 上，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，利用共线条件建立方程，求解即可. 【详解】 因为点在 上，所以设， 则 . 又，则，解得. 故选：A. 3. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 4. 如果复数z满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z的轨迹．然后画图求解即可． 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 5. 已知复数，则复数z的共轭复数（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可求复数 ，进而可求. 【详解】因为 ， 所以. 故选：D. 6. 牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将牛皮鼓抽象成两个完全相同的圆台拼接而成的组合体，利用台体的侧面积和圆的面积公式分别计算侧面积和底面积求和. 【详解】由题可知，牛皮鼓是两个完全相同的圆台底面对底拼接而成， 其中一个圆台，上底面半径 ，下底面半径，高为. 圆台的母线长为，则， 圆台侧面积为 ，上底面积为， 所以牛皮鼓的表面积为 . 7. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目计算新的数据的和，进而计算出平均数，再结合方差计算公式计算方差即可. 【详解】原19个数据的平均数为5，方差为2， 加入一个数5之后，这20个数的 平均数为， 方差为. 故选：C. 8. 已知5名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为6，则当方差取最大值时，这组得分的第60百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设这组得分从小到大分别为，由数据的平均数、中位数和极差均为6，因为平均数为6，求得，分和，得出数据，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】因为这组得分的中位数和极差均为6， 可设这组得分从小到大分别为， 因为平均数为6，可得 又因为，，所以，所以， 所以，故. 当时，这组得分分别为2，6，6，8，8. 方差： 当时，要使方差最大，则取最小值3，取最大值9，这组得分分别为3，3，6，9，9， 方差: ， 此时方差最大. 又由，所以方差最大时的这组得分的第60百分位数是6和9的平均数7.5. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题为真命题的是（    ） A. 复数在复平面内对应的点在第二象限 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 若复数为纯虚数，则， D. 若，， ，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，根据复数的几何意义判断；对B，根据虚数单位的周期性运算判断；对C，根据纯虚数的概念判断；对D，在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点，轨迹为圆，运算判断. 【详解】对于A，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数为纯虚数，则，故C正确； 对于D，在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点， 所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，故D正确. 故选：CD. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”， “两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 如图，在棱长为的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角的平面角的正切值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可一一求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， ，，即，与的夹角为，故A 错误； 设平面的法向量为，， 所以，令，则， 平面的法向量可取，二面角的平面角为， 则，所以，故B 正确； 因为，设与平面所成角为， 则，故C 正确； 因为，设点到平面的距离为，则 ，故D 正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则向量在上投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得，，， 所以向量在上投影向量为． 13. 商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双． 【答案】 【解析】 【分析】先计算这周内某天第，，组的频率，根据频率之和等于可得第组的频率，再由该频率乘以即可得解. 【详解】因为第，，组的频数分别为，，， 所以第，，组的频率分别为，，， 又因为第组的频率为， 所以第组的频率为， 所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双， 故答案为：. 14. 已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空：取中点 ，由几何知识可得，则 为外接球的球心，从而可求解；空：过作于，然后再利用等体积法即可求解. 【详解】空：取中点 ，则，所以 为外接球的球心， 所以外接球的半径为，由球的表面积公式. （2）当三棱锥的体积最大时，平面垂直于平面，用等体积的方法求该三棱锥内切球的半径， 即过作于，则面， 在中可解，，， 在 中，由，由余弦定理可得解得， 在中用勾股定理得， 因为，， 代入公式 即，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到 ，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出 ，，再求出即可得解. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆 的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 16. 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由菱形可得， 平面平面，平面平面， 又正方形中， 平面，又平面，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，则 平面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为： 人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 18. 矩形中， ， 为线段的中点，将 沿 折起，使得平面 平面．在新构造的四棱锥 中，解以下问题： （1）证明： 面 ； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面 ？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，在矩形中， ， 为线段的中点， ，， ， ， 又平面 平面，平面，平面 平面 ， 平面 . （2）； （3）存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由  平面 得 ，二面角的平面角即为 ，在直角三角形 中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有 ，进而可得平面 ． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 平面 ， ， ． 在中，， ， 又，平面 ，平面，平面 平面 ， 为二面角的平面角， 在 中，， ∴二面角的余弦值为． 【小问3详解】 存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且 ， ． 取的三等分点，使，连接、 、，则， 又 平面 ，平面 ， 平面 ． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 19. 已知函数，其中，. （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，、、分别是角、、的对边，且. （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且 ， ，当取最大值时，求的面积. 【答案】（1）， （2）（i）2（ii） 【解析】 【分析】（1）通过向量的数量积和三角函数辅助角对方程进行化简，再根据正弦函数的单调性来求得单调区间和最小值； （2）（i）通过正弦定理进行边角转化，然后利用三角函数的和差化积公式进行计算； （ii）通过余弦定理进行化简，构建辅助函数，根据二次函数根的判别式进行求解，从而得到相应边的长度，最后求出三角形的面积. 【小问1详解】 ， 由解得， 因为，因此函数f（x）的单调递增区间为， 其最小值为. 【小问2详解】 （i），即，化简可得， 因为，所以， 解得，即， 由正弦定理可得. （ii）由题意可知，， ，在 与中，由余弦定理可得，， 因为， 所以，化简可得， 在中，由余弦定理可得， 代入可得，即， 设，即，代入可得， 化简可得， 因为，所以关于的方程有正根， 因此，即， 所以，即的最大值为， 代入方程，可得，解得， 所以， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $