精品解析：江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题

江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题 一、单选题 1. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 2. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在正三棱柱中, ,则与平面所成的角的正弦值为 A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 二、多选题 9. 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（ ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A. 已知，则 B. C. 按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D. 已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 10. 在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为 C. 线段的最小值为 D. 空间四边形的周长的最小值为 11. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 13. 两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______． 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）． （1）求的解析式； （2）求的单调区间和最大值． 16. 某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． （1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； （2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且. （1）求证平面； （2）若点为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小. 18. 现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为． （1）求，的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值． 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题 一、单选题 1. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案. 【详解】因为事件相互独立，故， 又，， 所以. 故选：C 2. 已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若点在平面内，则该点与构成的向量与的数量积为0，由此依次判断选项即可得到答案. 【详解】对于A，，则，故A不正确； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，则，故C不正确； 对于D，，则，故D不正确； 故选：B 3. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据给定条件求出两直线夹角的正弦值，再结合三角函数的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，故， 因为方向向量为，所以， 设直线与直线夹角为，所以， 因为，所以，，， 因为，解得(负根舍去)， 且设点到的距离为，故，解得，故A正确. 故选：A 4. 在正三棱柱中, ,则与平面所成的角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求， sin∠AC1D===，故选C． 考点：本题主要考查直线与平面所成角正弦值的求法． 点评：熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键． 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 6. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： ①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法； ②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法， 由分类计数原理得，共有种不同的差法. 故选：C. 7. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 8. 已知 ，则 （ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 二、多选题 9. 正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果，那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积，为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试、研究发现，本次检测的数学成绩X近似服从正态分布．则下列说法正确的有（ ） 参考数据：可供查询的（部分）标准正态分布对应的概率值． a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 0.5948 0.5987 0.6064 0.6368 0.6406 A. 已知，则 B. C. 按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108（精确到整数） D. 已知该市考生约有10000名，某学生此次检测数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于名之间 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：可知，结合正态分布的对称性分析求解；对于B：根据题意结合正态分布的对称性分析求解；对于C：根据题意分析可得，，即可得结果；对于D：根据题意可得，，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为，即， 可得， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：由题意可知：，即， 对比表格可知：，即，解得， 所以估计本次检测成绩达到升一本的数学成绩约为108，故C正确； 对于选项D：由题意可知：，且 可得，则， 所以该学生在全市排名大概位于名之间，故D正确； 故选：BCD. 10. 在棱长为的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱交于点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当分别为线段中点时，与所成角的余弦值为 C. 线段的最小值为 D. 空间四边形的周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先根据线面平行的性质定理推导出//，然后利用向量证明即可；B选项，利用平移的办法，将与所成角放到三角形中，用余弦定理计算；C选项，根据B的中间步骤可知C错误；D选项，可以分析出的周长为，故求最小值即可. 【详解】 由题知，//平面，而平面平面，平面，根据线面平行的性质定理可知，//， 又， 即，故，A选项正确； 连接，易得，又，于是（三线合一），故， 取中点，连接，由中位线可知，在中由余弦定理，，即， 由//，与所成角即为（或其补角），在中根据余弦定理，，B选项正确； 根据B选项分析，当分别为线段中点时，，C选项错误； 由//，由于为正三角形，则也是正三角形，故，故四边形的周长为：，当为中点，即时，有最小值. 即空间四边形的周长的最小值为，D选项正确. 故选：ABD 11. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极大值，作出函数的图象，可判定A正确；构造函数，利用导数求得函数的单调性，可得，可判定B错误；结合且时，得到的极限，可判定C正确；得到，转化为证明，结合在上单调性和，利用导数判定其单调性，进而可判定D正确. 【详解】由函数的定义域为，可得， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，当时，可得函数的极大值为， 对于A中，知，所以，所以A正确； 对于B中，构造函数，可得， 当时，，在单调递增； 所以，可得，可得，所以B错误； 对于C中，由函数的极大值为， 令，可得， , 结合函数单调性可得图像如图所示. 当且时，， 又因为当时，, 所以，，所以C正确； 对于D中，因为，所以，所以等价于， 为证，成立，即,因为,故只需证：， 因为，只需证：且与均大于1， 又因为在上单调递增， 只需证：，即证：， 令， 可得， 所以在上单调递增，且， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题 12. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为，每步上2阶的概率为，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】到达第3台阶的方法有两种： 第一种： 每步上一个台阶，上两步，则概率为；第二种： 只上一步且上两个台阶，则概率为， 所以到达第3阶台阶的概率为， 故答案为：. 13. 两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则______． 【答案】0.86## 【解析】 【分析】利用期望和方差的性质可得，然后由对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即 又，所以，， 所以， 所以. 故答案为：0.86 14. 设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）． （1）求的解析式； （2）求的单调区间和最大值． 【答案】（1）； （2）单调增区间为，单调减区间为和，最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数在某一点处的切线方程求解即可； （2）利用导数求解函数的单调区间和最大值即可. 【小问1详解】 由题意与轴的交点，又， 在点处的切线的斜率， 在点处的切线方程为，即切线方程为 【小问2详解】 由（1）知，所以， ， 令得的变化情况列表如下， 0 2 + - 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以的单调增区间为，单调减区间为和， ，又， ， 的最大值为． 16. 某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 参观人数 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，． （1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数； （2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率． 附：回归直线方程，其中． 【答案】（1），14.99千人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式和已知的数据直接求解，从而可求得关于的回归直线方程，将代入回归方程可预测第10天入校参观的人数； （2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 依题意，， ，所以． 当时，， 答：第10天入校参观的人数约为14.99千人． 【小问2详解】 记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求． 则， ， 所以． 答：他们从不同门进校的概率为． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且. （1）求证平面； （2）若点为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明如下： 如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面， 因为平面，所以，又因为是底面圆的内接正三角形， 由，AC为直径，则，可得，而，解得， 又， 所以，即， 又因为，所以与相似，所以，即， 又平面，直线平面平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，进一步可证得，进而可证直线平面. （2）建立空间直角坐标系，设，由题意得到直线与平面所成角的正弦值的表达式，然后用基本不等式求解其最大值，确定点位置，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 由于，则，即F为OC的中点， 知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4， 即当时，的最大值为1，此时点，所以， 易知即为平面与平面所成的角， 又所以， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，平面与平面所成角为. 18. 现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为． （1）求，的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值． 【答案】（1）， （2） （3）由（2）得 第次操作后盒中恰有2个红球的概率，与第次的状态对应关系如下： ，①. ，②. ①②，得. 由（1）得，，，则； . 的可能取值是0，1，2. ； ； . 的分布列为 Xn 0 1 2 P . 的数学期望为定值1． 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出，然后利用全概率公式求出； （2）利用全概率公式求得与的关系，再利用构造法构造数列是等比数列，即可求出； （3）求出的取值及对应的概率，进一步求出期望，再利用（2）结论求值即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 从，盒子中各取1个球交换，共有种； 第1次操作后盒子中恰有2个红球的情况：从取黑球且从取红球，共有种，则； 第1次操作后盒子中恰有1个红球分为两种情况：从取红球且从取红球，或从取黑球且从取黑球，共有种，则； 盒子中有0个红球的概率为. 第2次操作后，盒子中恰有1个红球分为三种情况： ①第1次操作后有0个红球，第2次操作后变为1个红球，概率为； ②第1次操作后有1个红球，第2次操作后仍为1个红球，概率为； ③第1次操作后有2个红球，第2次操作后变为1个红球，概率为； . 【小问2详解】 第次操作后盒中恰有1个红球的概率，与第次的状态对应关系如下： ，化简得； . ，数列是以为首项，为公比的等比数列； ，得. 【小问3详解】 略 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得， 即． （2）① 由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知， 与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合； ② 【解析】 【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $