江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题)、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第 12题~第14题)、解答题（第15题~第19题).本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结 束后，请将答题卡交回 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫 米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的： 1.A-= A.12 B.18 C.20 D.24 2.已知车轮旋转的角度0（单位：rad)与时间1（单位：s)之间的函数关系为80 252, 8 则车轮开始转动后第3.2s时的瞬时角速度（单位：rad/s)为 A.20元 B.10元 C.16 25 D.。π 8 3.某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生 人数不少于男生人数的选法种数为 A.35 B.30 C.24 D.22 4.已知函数f(x)=x3-3x2+1在[-1,3]上的最大值和最小值分别为m,n,则m+n= A.-4 B.-2 C.-1 D.2 5.统计某超市连续5年的广告支出费x（万元)与销售额y(万元) 的数据如下： 广告支出费x 1 2 4 6 销售额y 20 30 m 43 46 得出经验回归方程为)=4x+19,则 A.y与x呈负相关关系 B.当x=5时，一定有y=39 C.m=36 D.当x=1时，残差为3 6.在空间直角坐标系Oz中，已知点A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,2),则点P0,2,0) 到平面ABC的距离为 A.3 v6 3 B. C.2V3 D.26 3 3 高二数学第1页共4页 7.小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问.当小明输入的问题表达清晰时， DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的 回复被采纳的概率为0.3.若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的 回复被采纳的概率为 A.0.56 B.0.65 C.0.77 D.0.8 8.已知函数f(x)=a+b(a>0,a≠1，b>0,b≠1)在(0，+oo)上单调递增，则a和b的 取值不可能是 A.a=2,b=1 B.a=2,b=In2 c.a=6,b= D.a=2cos元，b=2sin 10 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X,Y,则下列说法正确的有 A.若X46,2,则B0=3 B.若X~B6,2,Y=2X+1,则D)=4 C.若X~N(6,o2),P(3<X<6=0.35,则P(X>9)=0.15 D.若X~N(2,2),YN(2,32),则P(X>4)<P(Y<0) 10.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，已知 AB=AD=AA,=1,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°， C O,E分别为BD,CC的中点，则 A.OE=(4B+AD-4A) D C B.E瓜=月 B C.14CE3 （第10题图) D.AC与平面BDD,B所成角的正弦值为目 11.已知函数f(x)=lnx-ln(4-x)+ax(a∈R),则下列说法正确的有 A.若a=-2,则f(x)存在极值点 B.若f(x)是增函数，则a≥-1 C.曲线y=f(x)是中心对称图形 D.存在a,使得f(x)有三个不同的零点 高二数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、 已知函数f(x)=e*-l,g(x)=asinx,若曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处有 相同的切线，则实数a的值为▲ 13.在空间直角坐标系Oxz中，已知向量PA=(1,2,0),PB=(0,2,3),PC=(k,1,3), 若点C在平面PAB内，则实数k的值为▲ 1我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九 第0行 1 章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它 第1行 11 揭示了(a+b)”展开式的项数及各项系数的规第2行 121 律，这是我国数学史上的一个伟大成就.在如图第3行 1331 所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4第4行 14641 个数是▲；记第n行从左到右第i个数为 第5行 (第14题图) a,则∑+2)a,=▲ i=l 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 知(x+”的展开式中第3项与第2项的三项式系数之差为 (1)求n; (2)求展开式中第3项与第n-1项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项。 16.(15分) 江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如茶开展，赛事凭借鲜明的本土地域 特色广受省内市民喜爱.为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随 机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下： 愿意购票到场观赛不愿购票到场观赛 合计 女性 25 25 50 男性 40 10 50 合计 65 35 100 (1)依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有 关联？ 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高二数学第3页共4页 (2)为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层， 用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放 观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元.求补贴金额X的分布 列与数学期望（结果四舍五入精确到整数）. ▲ 17.(15分) B 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，已知∠ABC=90°， AB=BC=BB=2,E,F分别是线段AB,BC上的动点 (不含端点)，AE=BF. (1)求证：AF⊥CE; (2)当三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，求平面 AEF与平面BC,E的夹角的余弦值. (第17题图) 18.(17分) 已知函数f)=ax+12-xe*(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)当a>0时，若f(x)存在极小值点。，证明：f(x)>0; (3)若对任意x∈[-l,+∞)，都有f)≤)，求a的取值范围。 ▲ 19.(17分) 某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类一机器人”挑战赛，规则如下：人类 选派2n-l(n∈N)名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛， 共进行2-1场比赛，每场比赛只有胜、败两种结果.所有场次比赛结束后，若人类 总获胜场数多于机器人总获胜场数，则人类队获胜，否则机器人队获胜.已知单场 比赛中挑战者战胜机器人的概率恒为(0<p<),所有场次的比赛结果相互独立。 (1)若1=2，P了，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变 量X，求X的分布列和数学期望； (2)若n≥3，记事件A=“在前2n-3场比赛中人类胜了k(0≤k≤2n-3,k∈N) 场”，事件B=“人类队获胜” ①求P(B|A,-2),P(B|A,)(用含p的式子表示，无需书写推导过程)： ②研究表明：随着的增大，人类队获胜的概率越来越小.请从数学角度证明上 述观点. 高二数学第4页共4页 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 2 3 5 678 答案 B A D B C 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 10 11 答案 ACD AD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1 6.月 14.120,(n+2)2-+23”（第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(13分) 解：(1)由题意知C-C=20,所以-)-n=20, 化简得n2-3n-40=0,解得n=8.…4分 (2)展开式中第3项的系数为C?×22，第n-1项的系数为C×2°， …6分 所以S×2=↓，所以展开式中第3项与第n-1项的系数的比值为 …8分 Cg×216 6 47 (3)展开式的通项为T,1=Cgx-.(2x3y=Cg2y·x3(0≤r≤8，reN),…10分 令84中=0，则=6……12分 所以展开式中的常数项为T,=1792.…13分 16.(15.分) 解：（1)零假设H。：“愿意购票到场观赛”与性别无关 …1分 因为x2= n(ad-bc)2 100(10×25-40×25)2900 >6.635,…5分 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 65×35×50×50 91 依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H,不成立， 所以认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联. …6分 (2)对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机 抽样方法抽取13人，其中女性人数为 25 x13=5,男性人数为 40 25+40 13=8. 25+40 …8分 X可能取值为20,30,40，… …9分 高二数学参考答案第1页（共4页) P(X=20)= C_14 P(X=30)= CC_20 P(X=40)= c-5 C39 …12分 C39 所以X的分布列为 X 20 30 40 14 20 5 39 39 39 数学期望E(X)=20×14+30×20 +40× 5360 ≈28（元).…15分 39 39 3913 17.(15分) 解：(1)由直三棱柱的性质知BB⊥平面ABC, 因为AB,BCC平面ABC,所以BB⊥AB,BB⊥BC, 又因为∠ABC=90°，所以BA,BC,BB两两垂直. 以B为坐标原点，BC,BA,BB所在直线分别为 x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz· C B …2分 设AE=BF=a,则A(0,2,2),B(0,0,2), C(2,0,2),E(0,2-a,0),F(a,0,0), 所以AF=(a,-2,-2),CE=(-2,2-a,-2), … x B …4分 所以AF.CE=-2a-2(2-a)+4=0, 因为A4F≠0，CE≠0，所以4F⊥CE, 所以AF⊥CE.… …6分 2)因为%w照8%e-服r-0-2-os22y-片 当且仅当a=2-a,即a=1时三棱锥B-BEF的体积取得最大值， 此时E,F分别是AB,BC的中点.…9分 所以E(0,1,0),F1,0,0), 所以AE=(0,-1,-2),EF=(1,-1,0),BE=(0,1,-2),B,C=(2,0,0). 设平面AEF的一个法向量为%=(%，，z), 则445=-%-2=0取5=2，y=2,云=-1，则%=2,2，-.…1分 %·EF=x-y=0, 设平面B,C,E的一个法向量为h2=(x2,2,22), 则%5=为-26，=0取=0，为=2，马=1，则%=0,2，.…13分 h2·B,C=2x2=0, 高二数学参考答案第2页（共4页) 设平面A,EF与平面B,C,E的夹角为0，则cos0= nn 2×2-1×1-5 lhn2 3xV5=5 所以平面4F与平面BCE的夹角的余弦值为5 15分 18.(17分) 解：(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=a(x+l)-(x+l)e*=(x+1(a-e). 当a=1时，f'(x)=(x+10(I-e).…2分 由f"(x)>0,得-1<x<0;由f'(x)<0,得x<-1或x>0, 所以f(x)的单调递增区间为(-1,0)，单调递减区间为(-0-1)和(0，+∞).…4分 (2)当a>0时，由f'(x)=0,得x=-1或x=na. ①当0<a<1时，ha<-l, 由f'(x)>0,得na<x<-l;由f'(x)<0,得x<na或x>-1, 所以f(x)在(na,-1)上单调递增，在(-oo,lna)和(-1，+oo)上单调递减. 所以f(x)存在极小值点x。=na, 此时f)=fa)=a0ua+少-alaa=40ma+>0.…7分 ②当a=1时，na=-1, 此时f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递减，所以f)不存在极小值点.…8分 ③当a>1时，na>-1, 由f'(x)>0,得-l<x<na;由f'(x)<0,得x<-1或x>lna, 所以f(x)在(-l,na)上单调递增，在(-o,-1)和(na,+o)上单调递减. 所以f(x)存在极小值点x。=-1，此时f(x)=f(-1)=二>0. 综上所述，当a>0时，若f(x)存在极小值点时，则f(x)>0.…11分 (3)因为x∈[-1，+oo),所以x+1≥0. 当a≤1时，a-e≤0，则f()≤0，所以f()在[-1，+o)上单调递减， 所以fe=衣-=<分满足超意。… …13分 当a>时，f)在(1，na上单调递增，在ma,+0上单调递减. 所以fm=f0ma)=2a0ma+-lhaa=amay+≤ 即a(lna)2+a-1≤0. 高二数学参考答案第3页（共4页） 令p(a)=alna)2+a-1(a>,则p(a)=ma}+a1.21na+1=ma+1≥0. 所以p(a)在（仁，+o)上单调递增， 又因为=0，所以1<a≤1. 16分 综上所述，a的取值范围为(-oo,1]. …17分 19.(17分) 解：(1)X的可能取值为1,3， …1分 PX=0=CGx×号+C×写×=子，PK=)=+f分=} ，…3分 所以X的分布列为 X 3 数学期望E☒=1×子+3x1-了 …5分 33 (2)①P(B1An-2)=p2, …7分 P(B|An)=C2p(1-p)+p2=2p-p2. …9分 ②设事件B的概率为P(n). 事件B包含三种互斥情况： 第一种情况：前2n-3场中人类胜了n-2场，最后两场人类都赢， 概率为Cm23p”-21-p)-1·p2=Cn3p”(1-p)-1;… …10分 第二种情况：前2n-3场中人类胜了n-1场，最后两场人类至少赢一场， 概率为C23p-(1-p)-2.[1-(（1-p)2]=Cm3p”(1-p)-2(2-p)；…11分 第三种情况：前2n-3场中人类至少胜了n场， 概率为P(n-1)-Cm3p”-(1-p)”-2;… …13分 则P(m)=Cm3p"(1-p)-+C3p”(1-p)-2(2-p)+P(n-1)-Cm3p-Q-p)-2 =Pn-1)+C2m3p-1-p)"-2(-2p2+3p-1) =P(n-1)-Cm23p-1-p)-(1-2p), 所以P(n)-P(n-1)=-Cm3p-'(1-p)-1-2p). …15分 因为0<p<分，所以P-PI-)<0,即P0<Pu-). 所以随着n的增大，人类队获胜的概率越来越小.…17分 高二数学参考答案第4页（共4页）