精品解析：湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

绝密★启用前 衡阳市第一中学高一下学期第一次月考试题 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，由，解得且， 因此函数的定义域为. 故选：C. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可； 【详解】由分段函数的定义域可得，， 所以. 故选：C 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域是，所以是非奇非偶函数，A选项错误. B选项，的定义域为，， 所以不是偶函数，B选项错误. C选项，的定义域为，， 所以是奇函数，C选项错误. D选项，的定义域为，， 所以是偶函数，D选项正确. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合和角正切公式求得，再利用和角正弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 5. 将函数的图象经过以下变换后可得函数的图象，其中不正确的是（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移，再作关于轴对称 D. 向左平移，再作关于轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数平移的知识逐一判断即可. 【详解】函数的图象向左平移得到的是函数的图象，故A正确； 函数的图象向右平移得到的是函数的图象，故B正确； 函数的图象向左平移得到的是函数的图象， 然后再关于轴对称后得到的是的图象，故C正确； 函数的图象向左平移得到的是函数的图象， 然后再关于轴对称后得到的是的图象，故D不正确； 故选：D 【点睛】本题考查的是三角函数图象的变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项. 【详解】由题意知，，，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以，，所以，所以，即. 故选：A. 7. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 则，由模长公式得，故B正确. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系、二倍角公式和辅助角公式逐项判断即可. 【详解】，选项A说法正确； ，选项说法B错误； 因为，， 所以，选项C说法错误； 因为，， 所以，所以，选项说法D正确， 故选：AD 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数的图象求得的解析式，再利用三角函数平移的性质与正弦函数的性质即可得解. 【详解】依题意，由图象可知，，则，故A正确； 因为，所以，则，所以， 因为的图象过点，所以， 则，即， 又，则，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象， 纵坐标变为原来的2倍，得到的图象， 向左平移个单位长度，得到函数的图象，故B正确； 因为，故C错误； 令，解得， 所以的单调递减区间是，，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A. B. 的最大值为 C. 的值可取 D. 内切圆半径的值可取 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用正弦定理将边化为角,结合进行三角恒等变换,消去后用辅助角公式化简,求得. 选项B：由三角形面积公式得与的关系,结合余弦定理和基本不等式求出的最大值,代入可得最大值为. 选项C：由面积公式得出、表达式,代入化简后换元构造函数,转换成二次函数单调性问题,算出式子最小值大于. 选项D：根据内切圆半径公式整理出与的关系,结合正弦定理、余弦定理确定取值范围,验证时满足条件,三角形存在. 【详解】在中，已知，.由正弦定理， 得. 因为，所以， 代入化简得.由， 得，即，. 因为，所以，，故选项A正确. 设的面积为，则， 代入，，得. 由余弦定理，得. 由，得，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故选项B正确. 由，得，， 则.又，， 代入得. 令，，则， 令,由,得, 函数化为二次函数: 令开口向上,对称轴. 在区间上单调递增. 因此当(即)时,取得最小值 代入得最小值， 所以，故选项C错误. 设内切圆半径为，则，即，. 由余弦定理，得， 代入的表达式约分得：， 由正弦定理，，，故，得， 因此， 若​，代入得：， 此时，满足， 且方程的判别式，存在两个正根，即这样的三角形存在， 因此可取，选项D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值计算求解. 【详解】. 13. 若函数为偶函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由偶函数的概念列方程即可求得. 【详解】∵函数为偶函数 ∴ 即 又∵,∴ 故答案为： 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上恰有两个零点，得到在区间上有两个实数解，得到，由得到在上有两个不同的实数解，由的范围得到的范围，从而得到的不等式组，计算出的取值范围. 【详解】函数在区间上恰有两个零点， 则在区间上有两个实数解， 由可得， 又，故有在上有两个不同的实数解， 而当时，，所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且． （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算法则直接计算得到，运用转化法求得的值； （2）通过向量夹角的公式直接计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 因为，， 所以， 化简得，； . 【小问2详解】 记与的夹角为， . 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知，其中． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可； （2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，且，所以． 因为，，所以， 则， 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得，， 因为， 则， 所以 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 【答案】（1）， （2）的最小值为，此时；的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）由题意，利用简单的三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的周期性得出结论； （2）由题意，根据正弦型函数的定义域和值域求得函数在区间上的最值及相应的的值. 【小问1详解】 故； 由令 则 故函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为0，3， 即时，即时有最小值0， 当，即时有最大值3． 18. 在中，角所对的边分别为.满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）①利用余弦定理及三角形面积公式列出方程组求解；②利用余弦定理、二倍角及和角的正弦公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 ①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 19. 如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合函数的单调性即可求得的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 即. 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得 . 令，则 因为，所以，则， 又， 即， 所以，. 已知恒成立，即对恒成立. 因为时，，所以对恒成立. 令，，单调递增， 当时，. 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 衡阳市第一中学高一下学期第一次月考试题 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象经过以下变换后可得函数的图象，其中不正确的是（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移，再作关于轴对称 D. 向左平移，再作关于轴对称 6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的解析式为 C. 是图象的一个对称中心 D. 的单调递减区间是， 11. 在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A. B. 的最大值为 C. 的值可取 D. 内切圆半径的值可取 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ________. 13. 若函数为偶函数，则__________. 14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且． （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知，其中． （1）求； （2）求． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的的值． 18. 在中，角所对的边分别为.满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为. ①求的值； ②求的值. 19. 如图，我们把由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系称为“完美坐标系”，设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $