湖南衡阳市耒阳市第一中学等校2025-2026学年高一下学期3月联考数学试题

HUN202603 高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案A 命题透析本题考查向量的基本概念 解析质量是标量，位移、速度、加速度都是向量 2.答案B 命题透析本题考查复数的基本概念与四则运算 解析z2-z=z(z-1)=(1+2i)×2i=-4+2i,故1z2-z1=(-4)2+22=25. 3.答案D 命题透析本题考查平面向量的坐标运算. 解析建系（略），可得a=(3,0),b=(2,2),c=(2,-3),所以a-b+cl=1(3,-5)1=√34. 4.答案A 命题透析本题考查零点存在定理， 解析易知函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增，由零点存在定理可知f(x)在(1，)上存在零点等价于 f1)f(e)<0,即(0-e+a)(1-1+a)<0,解得0<a<e. 5.答案C 命题透析本题考查平面向量的线性运算. 解析在平行因边形A6C0中，由题痕如知5号，所以部=号，所以-子衣，又正=店+成=店+子心， 所以=子店=子破+子d 6.答案D 命题透析本题考查向量的数量积 解析由已知得a·b=1a·1b1cos2严=-4，所以12a+Ab1=41a2+4a·b+X21b12=4×16+4×(-4)+ 3 入2×4=64-16入+4λ2=4（入-2）2+48，当入=2时，取得最小值48，即12a+Ab1的取值范围是[4√5，+∞). 7.答案C 命题透析本题考查正弦定理、余弦定理和基本不等式的应用. 一1 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 解析因为(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC),所以(a-b)(a+b)=c(b+c),即a2=b2+c2+bc,所以 mA:。分，又Ae(0,e),所以A=号，由△A8C的面积为停得宁m于-要可得=1，所 2bc 以b2+4c2≥2√0·4c2=4bc=4,当且仅当b=2c时取等号. 8.答案B 命题透析本题考查函数与方程. 解析设u=lf(x)1,令g(x)=0,得u2-(a+1)u+a=0,即(u-a)(u-1)=0,解得u=1或u=a. 作出函数u=f(x)I的大致图象如图所示： 由图可知，直线u=1与函数u=f(x)1的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根，所以直线u= a与函数u=f(x)的图象有2个交点，由图可得a>3,所以实数a的取值范围是(3，+∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ABC 命题透析本题考查平面向量的线性运算和数量积运算. 解析对于A,因为△ABC的边长为25，所以其外接圆的半径R=2,所以1AP1的最大值为2R=4,故A正确； 对于B,由题意知AD⊥BC,所以A.D店=B·B=B=(√5)2=3，故B正确； 对于C,等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以A0=20D,所以B心-+d-B+子（励-）=}威+ 号励，放C正确， 对于D,当A·AB取最大值时，点P是圆O的最右边的点，此时AP在AB上的投影向量的模最大，显然不满足A, D,P三点共线，故D错误. 10.答案BC 命题透析本题考查三角函数的图象和性质。 解析对于A,当xe[0,]时，2x-号∈[-号，]y=cosx在[-号，0]上单调递增，在[0,2]上单调递 减，故A错误； 对于B由)≥0，得-牙+2hm≤2r-于≤及+26m,keZ,解得-沿+km≤≤沿+km,keZ,故B正确： 一2 ▣▣ Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 对于C,将f(x)的图象向右平移及个单位长度后所得图象对应的函数为y=[2(x-)-] cos(2x-2）=sin2x,是奇函数，故C正确； 对于D,x)的最小正周期为π，将f代x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，则最小正周期变为7，所以 得到y=cos(4x-于)的图象，故D错误。 11.答案ACD 命题透析本题考查函数新定义及分段函数的性质。 解析对于A,因为f(x)=x-[x],所以f2026.04)=2026.04-[2026.04]=2026.04-2026=0.04,故A 正确； …… x+2,-2≤x<-1, x+1,-1≤x<0, 对于B,由题意得f八x)=x-[x]={x,0≤x<1, 可得f(x)的大致图象如图所示，由图可知f代x)的值域 x-1,1≤x<2, x-2,2≤x<3, … 为[0,1)，故B错误； y=f(x) …光 -3-2-10123x 对于C,由对B的分析知f(x)是周期为1的函数，故C正确； 对于D,因为-4[x灯2+4[]+3>0，即4[2-4[]-3<0，所以-<[]<多，所以[x]=0,1当[]=0 时，0≤x<1,当[x]=1时，1≤x<2,所以原不等式的解集为[0,2)，故D正确： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案（1,3) 命题透析本题考查复数的几何意义. rm2-m-6<0,r(m-3)(m+2)<0,「-2<m<3, 解析由题意知 →1<m<3. lm-1>0 lm-1>0 (m>1 一3 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 13.答案29 命题透析本题考查指数和对数的运算性质。 解析因为lnx=2,所以x=e2,xn2=(e2)2=(en2)2=22=4,同理，xn5=52=25,故原式=29. 14.答案(5√5,10] 命题透析本题考查解三角形与三角函数的综合应用. 解析如图，连接BE,CE在△ABE中，AB=AB=3,∠EMB-牙，则∠ABE=石，所以LCBE=∠ABC-LABE= 号-吾=号，由余弦定理，得BB=VAB+AB-2MBA6乙E=√3+32-2×3×3o号-3,5，所以 CB=√BC+B驱=55.设∠DCE=0,则LCBD=号-0，于是在△CDE中，由正弦定理，得CD、= sn(-9) E。CE-55=10,所以cD=10sin(号-0），DE=10sin0,所以cD+DE=10si号-0）+10sin9= sn6 sin CDE sin2牙 10(停s0+分0)-=10in(0+骨）因为0<0<号，所以号<0+骨<，则2<sn(0+号）≤1，所以 CD+DE的取值范围是(5√5,10]. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查向量的坐标运算. ry=36, rx=9, 解析(1)由a∥b,a⊥c,可得 解得 (2分) 12-3y=0, y=4, ∴.a=(3,4),b=(9,12), ∴.m=b-2a=(3,4),n=a+c=(7,1).… …(4分） 25√2 设m,n的夹角为0，则eos0m写x5万=吃 故m,n的夹角为平 …… (7分) 一4 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可赞 (2)a+tc=(3+4t,4-3t),1a+tcl=√(3+4l)2+(4-3t)7=252+25,…(9分) 令y=252+25,te[-1,2], 则t=0时，ymin=25,t=2时，ymx=125,∴.5≤√万≤5W5, .1a+tcl的取值范围为[5,5√5].… (13分) 16.命题透析本题考查“五点法”作图及三角函数的性质. 解析(1)列表： 2x+号 0 3 2 2T T T 5T 6 12 3 12 6 sim(2x+号） 0 (2分) 措点、连线，得到(x)在区间[-石，]上的图象如图所示： (5分) T T 6 方法一：由图象可知，x)在[臣，1]上单调递减，又x)的最小正周期为T-=,所以(x)的单调递减 区间为[受+m,受+m]eZ (7分) 方法二：令受+26m≤2x+号≤受+2km,6eZ,解得7+k≤≤侣+km,keZ, 2 12 故x)的单调递减区间为[受+m,7侣+m],e乙。… (7分) (2)因为0)=号罗）=-号，且)=k在[0，]上有两个不等实根，结合图象可知： -1<≤-身或≤k<1,所以实数k的取值范阻为-1，-]U[, (15分) 17.命题透析本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形的面积公式 解析（1)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,… （1分)》 5 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 将a=2,6=5e,osA-停代人得4=30+-25e. 31 化简得c2=2,所以c=√2，所以b=√6. (3分) 又如A=-mi写5， 故Sa版=cnA=分x6x万×9-2 (6分) (2)由正弦定理得月C叉6=3c,可得S如B=55nG. (8分) 因为血B+血C=5,即(5+1)mC=5 2 所以snC=之，因为6>c,所以C一定是锐角，故C= 6 …（10分） 同时mB-,故B=号或B-票 3 (11分) ①若B=号，则A=-(石+号）=受，此时△ABC为直角三角形，a为斜边 c=asin C=2x7=1.0=/c=, 所以周长CAc=a+b+c=2+3+1=3+V5. ………… (13分) ②若B=则A=m-(石+）=石，此时4=C,△4BC为等腰三角形， 所以c=a=2,b=√5c=25, 周长C△4c=a+b+c=2+25+2=4+25, 综上所述，△ABC的周长为3+√3或4+23. (15分) 18.命题透析本题考查对数型、指数型函数的性质. 解析(1)因为函数f(x)的定义域为R, 所以HxeR,x2-mx+2>0恒成立，则△=m2-8<0,解得-2√2<m<2√2， 所以实数m的取值范围为(-2√2,22). (3分) (2)当m=3时f(x)=log2(x2-3x+2). 令u(x)=x2-3x+2>0,得x<1或x>2,… (5分) 又“()=2-3+2=(x-)-子，当<1时，()单调递减，当x>2时，a()单调递增， 所以f(x)在(2，+0)上单调递增， 因为题中f(x)在(a,+∞)上单调递增， 一6 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 所以实数a的取值范围为[2，+0).… …(7分)》 (3)因为x1∈[1,2]，x2e[1,2],使得fx1)≤g(x2)成立，所以f八x)mm≤g(x)m·…(8分) 因为g)221+22在e12时单调递泼。 所以g(x)mm=g(1)=3,…(10分)》 即Vx1∈[1,2]，fx,)≤3，即Hxe[1,2],0<x2-mx+2≤8成立. …(11分) 方法一：设1=-m+2,xe[1,2],其图象的对称轴为直线x=受 r12-m×1+2>0, 当受≤1时，只需 得-1≤m≤2； (13分) 22-m×2+2≤8， 12-m×1+2≤8， 当1<受≤2时，只需{ 22-m×2+2≤8， 得2<m<2√2；…(15分) (受)-mx受+2>0， 12-m×1+2≤8， 当受≥2时，只需 无獬。…（16分) 22-m×2+2>0, 综上，得-1≤m<2√2，即实数m的取值范围为[-1,22).… (17分) 方法二：Yxe[1,2],2-mx+2≤8成立，等价于Vxe[1,2],m≥-6成立， 所以m≥(：） …（11分） 记以(e)-生xe1,2]).则()=-名在1,2]上单调递增所以()m=u(2)-26-1所以m≥-1 2 (13分) Vxe[1,2],2-mx+2>0成立，等价于Ye[1,2],m<+2成立， 所以m<（ x2+2 …（14分) 记(e)生2(xe1,2],则e()=+2≥=2万（当且仅当=万时取等号），所以o(=25,所以m<2反 …(16分） 综上，-1≤m<22,即实数m的取值范围为[-1,2).…(17分) 19.命题透析本题考查平面向量在平面几何中的应用， 解析(1)因为a=5,b=3,c=4,所以a2=公+c,所以A=受，Sax= =bc=6.… (1分) 一7 ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 连接KA,KB,KC,将△ABC分割为△KBC,△KCA,△KAB.根据“莱莫恩点”的定义，点K到三边的距离分别为 dn=ka,d=kb,d。=khc.… …(3分) 所以3m=6w+S+Sm=·d+2:d+7c·d =a(a）+26(w)+(e)=(c2+82+6).… (5分) 代入已知数据，得6=(+3+4).放表=名 (6分) (2)由(1)可知，SAKRG SAKCA:SAB=a:b3:c2. 如图，延长AK交BC于点D,根据面积法可知职=ミ心=△-二 DC-SAACD SAKAC 63, …（7分) 所以动-+（配-：“女延 62+c2 (9分) A 另一方面，因为△KBC与△ABC同底，所以K,A到BC的距离之比等于三角形面积之比， 和0-8。+少+e所以“=1-0+ 即D=Sac= a2 AD a2+62+c2 …(11分) 所以床-然市=，·公店+花店+心花 a2+b2+c2 a2+b2+c2 …(12分） b2+c2 (3)△ABC为等腰三角形或直角三角形. (13分) 由A⊥BC可知A·BC=0, 由(2)知孩+花.（花-）=0，所以（公店+e·(花-=0， a2+b2+c2 展开得62A店.AC-b21A2+c21A心2-c2A元.A应=0， 又因为1A1=c,1AC1=b,所以(b2-c2)A店.A元-b2c2+c2b2=(b2-c2)A店.A元=0.…(15分) 因为b,c>0,所以有以下两种情况： b2-c2=0,即b=c,此时△ABC为等腰三角形； AB.A元=0，即AB⊥AC,此时△ABC为直角三角形， 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形.… (17分) 一8— ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效HUN202603 高一数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的： 1,下列物理量不能用向量表示的是 A.质量 B.位移 C.速度 D.加速度 2.已知复数z=1+2i,则1z2-z= A.5 1B.25 C.5 D.6 3.如图，已知网格纸中每个小正方形的边长为1，向量a,b,c的位置如图所示，则1a-b+cl= A.3 B.√1o C.5 D.√34 4已知函数f代)=lhx-号+a在(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为 A.(0,e) B.(1,e) C.(e,e) D.(2,e) 5.在平行四边形ABCD中，E是BC上靠近点C的三等分点，AE与BD交于点F,则AF= A.号丽+兮而 B子+硒 C}硒+号而 D.4店+Ad 6.已知向量a,b清足Ia1=4,b1=2,a与b的夹角为号，则12a+Ab1(AeR)的取值范围是 A.[0,+∞) B.[4,+∞) C.[2√7，+) D.[4V5,+o) 数学第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA-sinB)(a+b)=c(sinB+sinC), 且△1BC的面积为 ,则62+4c2的最小值为 A.2 B.22 C.4 D.42 4+1-1,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=[f(x)]2-(a+1)lf(x)1+a(a>0)恰有5 [logax,x>0, 个不同的零点，则实数a的取值范围为 A.(0,3) B.(3,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)》 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，△ABC是边长为2√3的等边三角形，O是△ABC的外接圆圆心，延长A0与BC交于点 D,P是外接圆上一点，则 A1AP1的最大值为4 B.AB.DB=3 C孤=厨+子肠 D当A亚·AB取最大值时，A,D,P三点共线 10.已知函数fx)=co2x-罗)，则下列说法正确的是 Ax)在[0，罗]上单调递减 B.不等式代)≥0的解集是[-节+km,铅+km,ke乙 C.将孔x)的图象向右平移2个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数 D.将孔x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2，纵坐标不变，得到y=c0s(x-）的图象 11.已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[3.14]=3， [-3.14]=-4,则下列说法正确的是 A.f2026.04)=0.04 B(x)的最大值为1 C.f(x)为周期函数 D.不等式-4[x]2+4[x]+3>0的解集为[0,2) 数学第2页（共4页）》 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=(m2-m-6)+(m-1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值 范围是 13.已知x>0且lnx=2,则x2+xn5= 14,如图，已知五边形ABCDE的每个内角都小于T,∠A=∠B=∠D=于，BC=4,5,AB= AE=3,则CD+DE的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知平面向量a=(3,y),b=（x,12),c=(4,-3),且a∥b,a⊥c. (1)若向量m=b-2a,n=a+c,求m,n的夹角的大小； (2)当t∈[-1,2]时，求1a+tcl的取值范围. 16.(15分) 已知函数f(x)=sin2x+》 (1)用“五点法“作出x)在区间可一看，]上的图象，并求代)的单调递减区间； (2)若仪)=k在0，上有两个不等实根，求实数飞的取值范固。 y 、 T 6 26 数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=√3c (L若casA-9求△ABC的面积： 2若血B+血C=,求△M8C的周长 18.(17分) 已知函数f(x)=log2(x2-mx+2). (1)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围. (2)当m=3时，若f(x)在(a,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围. (3)设函数g()=+出若11∈[1,2]，目[1,2]，使得f代)≤g()成立，求实数 2*-1 m的取值范围. 19.(17分) 在平面几何中，三角形的“菜莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记 △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,平面内一点K到三边BC,CA,AB的距离d., d,d满足--4=k,称点K为△ABC的“莱莫恩点” a b (1)若在△ABC中，a=5,b=3,c=4,求常数k的值； (2)求证：派=-店+624A花 a2+62+c2i (3)若A丞⊥BC,试判断△ABC的形状，并说明理由. 数学第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP