江苏扬州市2025-2026学年高二第二学期期末调研数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔 填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处” 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干 净后再填涂其它答案：非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答 题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效， 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.A+C4的值是 A.11 B.17 C.126 D.132 2.下列函数中存在极值点的是 A.y=x B.y=e*-1 C.y=2Inx D.y=sinx 3.若水池的排水量V(单位：m3)与时间t(单位：s)满足函数关系式V=f),则f'(4)的实际 意义是 () A.4秒时水池的排水量 B.4秒内水池的排水总量 C.4秒时水池排水量的瞬时变化率 D.4秒内水池排水量的平均变化率 4.在空间直角坐标系O-z中，点P(3,2,)关于平面yOz对称的点的坐标为 () A.（-3,2,1) B.(-3,-2,1) C.(3,-2,-1) D.（-3,2,-1) 5.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，从甲地到丙地有2条路，从丙地到 丁地有4条路，则从甲地到丁地不同的走法总数为 () A.11 B.14 C.30 D.48 分 丙 6. 在空间直角坐标系中，己知点AL,1,0),B(1,0,1),C(0,1,I),D(3,1,0),则点D到平面ABC 的距离为 () A.3 B.3 C.25 D.5 3 2 3 7.甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生，先 从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小 组中抽出的学生是女生的概率为 () A.2 C.H D. 2-7 高二数学试卷第1页（共4页） 8. 己知函数f(x)=lnx-c,若存在唯一整数t,使得f(t)>0,则实数k的取值范围为() In2 In3 [1ln3 11 A. [23 B. 28'3 C.2e'e .g 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列选项中正确的有 A.若随机变量5~N(5,σ2)，P(5<1)=0.1,则P(5>9)=0.1 B.若随机变量5的数学期望E(5)=4,则E(25-1)=8 C.研究两个变量的相关性时，相关系数”的绝对值越接近1，两个变量的相关性越强 D.进行独立性检验时，统计量x的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小 10.某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有 () A.从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B.从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1 人，共有840种不同的安排方案 C.8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D.8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 11.如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，点P,Q,R分别是棱DD,AD,CD的中点， 点M在四边形BCCB,及其内部运动，则下列选项中正确的有 A.存在点M,使得AR⊥MR C B.存在点M,使得AM+MR=8 A C.若AM∥平面CPQ,则直线AM与AB所成的角可能为15 D.三梭锥M-DP2的外接球半径的最小值为} B 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间四边形0ABC中，OA=a,OB=6,OC=c,若OP=OA,B0=}BC, 则PQ=▲（用向量ā，b,c表示）. 13.已知函数)=式-ar+2x+1在L3)上单调道增，则实数a的敏大值为上 14.从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为a,百位数字为b,十位 数字为c,个位数字为d,则： (1)P(a<b<c<d)=▲_： (2)P(a<b<c<d|a≤b≤c≤d)= .(结果用最简分数表示) 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知f(x)= x24 2+x (1)求f(x)展开式中含x项的系数： (2)求证：f(4)+1能被10整除. 16.(本小题满分15分) 为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机 抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析. (1)将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常” 两类，整理得到下表： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 发育不正常 40 合计 200 请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正 常”有关，并说明理由 (2)对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降.从施肥 的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量x(g)与产量y(g),数据如下表： 农作物编号 1 v 5 6 8 9 10 过量施肥量x(g) 0 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 2.5 产量y(g) 100 85 8585 80 75 75 70 70 75 经计算， x=15,80 10 ∑x2=29,∑xy=1135,求y关于x的线性回归方程. j= 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥x) 0.050 0.010 0.001 Xo 3.841 6.635 10.828 对于一组数据(：，)，(c,y2),,(xn,yn),其回归直线=à+bx的斜率和截距的最小 二乘估计分别为： xy-nx 6= -2 ，a=-x 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD⊥侧面MCD, △MCD是正三角形，E是MC的中点， (1)求证：DE⊥平面MBC; (2)若BF=ABM0<元<)，且直线AF与平面MCD所成角的正弦值为 4 (i)求的值： (ii)求平面ADF与平面MBC所成的锐二面角的余弦值. B 18.(本小题满分17分) 袋中共装有大小相同的20个红球和10个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取1个. (1)若每次取出小球后放回，连取3次，记取出黑球的次数为X,求X的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， (i)记前n次取球中(2≤n≤22)，取出黑球次数为2的概率是f(n),求f(n)取最大值时n 的值： ()当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是5，求5的数学期望. 19.(本小题满分17分) 己知函数f(x)=x2+4x-aln(x+1),a∈R. (1)若a=4,求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若f(x)在(0，+o)上存在唯一零点b, (i)求a的取值范围； (ii)求证：e-4-1>b.高二数学参考答案2026.6 一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 二、多项选择题 9.ACD 10.BCD 11.AD 三、填空题 2.a++ 22 13.22 4品持 四、解答题 15.解：(1)由二项式定理可知，在 x24 的展开式中，第r+1项为 T=Ci()y=C4 令14-3=5，解得r=3, 因此，二项展开式中含x4的项系数为C·22=140. ..7分 (2)f(4)+11=93+1=10-1)+1=C10-C10+…+C10-C7+1 =C10-C10+.+C10. 因为上式的每一项都能被10整除，所以f(4)+11能够被10整除. ..13分 16.解：(1)补全2*2列联表如下： 施肥 不施肥 合计 发育正常 70 30 100 发育不正常 40 60 100 合计 110 90 200 所以x2=200x(70x60-30x402200 ≈18.182>10.828 110×90×100×100 11 所以有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关..8分 2)-2=15, 10 y=80, 10 是y-10 b= 1135-15×80 =-10 2-10 10 29-10×1.5 a=-bx=80-(-10)×1.5=95, 1 所以y关于x的线性回归方程是少=95-10x. ..15分 17.解：(1)ABCD为正方形，.BC⊥CD, 又·面MCD⊥面ABCD,面MCD∩面ABCD=CD,BCc面ABCD, .BC⊥面MCD,.BC⊥DE,又在正△MCD中，E为MC的中点， 故DE⊥MC, 又：BC,MCC面MBC,BC∩MC=C,.DE⊥面MBC. ..5分 (2)取CD的中点O,AB的中点N,连接OM,ON, 由面MCD⊥面ABCD,面MCD∩面ABCD=CD, MO⊥CD,MOc面MCD, 可得MO⊥面ABCD, 又由ABCD为正方形，O,N分别为AB,CD的中点，可得ON⊥CD, 分别以OD,ON,OM所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系， 则A1,2,0),B(-1,2,0),D1,0,0),M(0,0,V5)。 由BF=2BM(0<1<1),得BF=L,-2,V3)=(元，-21V3), .AF=AB+BF=(2,0,0)+(,-2元，32)=(-2，-21，V3), 又面MCD的-一个法向量为丽=QL0,.白号-水kos原 AF.m -21 AF 82-4+4 解得2=或2=-】（舍去）， 2 ...10分 31 北时- ),DA=(0,2,0), 设面ADF的法向量为i=化y,由4F,n=0,DAm=0得2y=0,-x-2y+ -x- z=0, 33 3 取家B,y=0,2=5,u=W3.05,由（①）知，面MBC的一-个法向量为DE=(Q 2 设面ADF与面MBC所成锐二面角的大小为O, 3W35W5 则cos6=cos<n,DE: n.DE 2 3 n DE 9.3 14 V3+25 44 所以面4DF与面MBC所成锐二面角大小的余弦值为Y ..15分 14 18.解：(1)X~B3,),X的取值集合是01,23}， x=0=c=x==c3-号 x=2=c白-子，0x-3)=c9-立 122 D(X=3×二 333 6分 (2))-Cic 所以f+DCC登 C0_C0C0_22-n.n+1 f0)C“C%C02C0Cn-1'30-n’ 令0+D>1,解得n<52 f(n) n=2,3,4,5代入可得，f(2)<f(3)<…<f(⑥ n=6,7,…代入可得，f(6)>f(7)>… 综上，f()取最大值时，n=6. .11分 (3)号的取值集合是{10,11,12，…，30}， P(-1)-C （E=)-丛货同样给分) 40 110i ic=90-10110-10,s =10C0,iP(5=)= iC10C10 C30 C0, ⑤-(c+c++c-1og-30 11 .17分 19.解：f(x)=x2+4x-aln(x+1),定义域为(-1，+n). f"6)=2x+4-a=2x2+6x+4-a x+1x+1 (1)a=4时，f(0)=0,f'(2)=0,切线方程为y=0. ..4分 2)了0)=2x+4-a2x+6x+4-0,x>-1 x+1x+1 (i)当a≤4时，f'(x)≥0，函数f()在(0，+w)上单调递增，f(x)>f(0)=0, 所以f(x)在(0，+n)不存在零点 当a>4时，令m(x)=2x2+6x+4-a,(x)在(0，+o∞)上单调递增 (0)=4-a<0,3x∈(0，+o),使得()=0，即f'()=0, 所以x∈(0，)时，f"(w)<0,x∈(，+o)时，f'(x)>0, 3 所以f(x)在(0，)上单调递减，(，+∞)单调递增， f(0)=0,f(x)<f(0)=0,f(a回=ad+4a-aln(a+1)=a(a+4-lh(a+1)>0 (其中m(@=2a2+5a+4>0,所以a>) 所以当a>4时，函数f(x)在(0，+∞)上存在唯一零点b,其中b∈(，a) ..10分 (i)法一b为f)唯-零点，所以f=B+4b-ainb+=0.inb+D=尽+4地 a 要证e4-1>b,即证e4>b+1,即证a-4>lnb+D=分+4地 a 即证a2-4a>b2+4b,即证b<a-4 因为f(a-4)=a(a-4)-ah(a-3)=a(a-4-ln(a-3)>0=f(b) 由(i)可知f(x)在(x,+w)单调递增，所以b<a-4,得证. （i法二：b为f)唯一零点，所以f)=b+4b-a血6+)=0，a=hb+) b2+4b 要证ea-4-1>b,即证e-4>b+1,即证a-4>ln(b+1), E万+4b-4>hb+),即证2+4b-4n6+)>nb+D 即证hnb+) 即证b2-n(b+1)>41n(b+1)-4b, 即证(b+1n(b+1)b-(b+1)+4(b-n(b+1)>0, 即证(b-n(b+1)b+ln(b+1)+4)>0, 即证b>ln(b+1), x中x+:令>0，则x>0, 记h=x-h(x+),则h)=1-1=x」 所以h(x)在(-1,0)上单调递减，(0，+o)上单调递增， 所以h(x)2h(O)=0,所以原命题得证. ..17分 4