精品解析：江苏省苏州市常熟市梅李高级中学2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题

江苏省苏州市常熟市梅李高级中学2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题 2025.6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】，则 故选：A 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，进行三角恒等变换，求出结果. 【详解】可知， 代入，得. 故选：D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可. 【详解】解：令， 在上单调递减， 在内递增，且恒大于且 . 故选：C. 5. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项． 【详解】∵，所以，故排除C，D， 当时，恒成立，排除A， 故选：B． 6. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得. 【详解】由， 有， 可得 ． 故选：A． 7. 已知随机事件，，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【详解】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理和性质、双曲线的定义进行求解即可. 【详解】延长，交于点，延长，交于点. 由题知为直径，所以，因为直线平分， 所以， 且，分别为，的中点， 所以，， 所以， 所以，所以为等腰直角三角形. 因为， 所以的面积为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义、平行线的性质. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B. 已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C. 已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D. 已知随机变量，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用百分位数的定义以及计算方法，可得答案；对于B，根据回归直线必定过样本中心，建立方程，可得答案；对于C，根据二项分布的概率计算公式，结合商式，可得答案；对于D，根据正态分布的对称性以及其概率的表示，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的75%分位数为14，故A错误； 对于B，由，解得，故B正确； 对于C，，其中． 又，，， 故， 故C正确；对于D，，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】整理等式并构造函数，根据导数为零设出函数，结合函数值可得函数的解析式，利用导数与函数的最值与极值，可得答案. 【详解】可化为． 设，则，所以(k为常数)， 则，解得， 所以，则，． 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，没有最小值，故A，D正确，B错误； 令，得，方程有唯一的实数根，故C错误． 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当时， C. D. 当点在第三象限时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出即可求解离心率判断A，根据椭圆定义及勾股定理求解判断B，设点，求出点的横坐标及点的纵坐标，利用距离公式计算化简判断C，由的斜率关系，利用两点斜率公式及点在椭圆上列式求解点的坐标，然后利用两点距离公式求解判断D. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确； 对于B选项，由， 可得，故B选项错误； 对于C选项，设点，有，又由， 直线的方程为，令，可得点的纵坐标为， 直线的方程为，令，可得点的横坐标为， 有，故C选项正确； 对于D选项，若，由直线的斜率为，有， 有，代入，有， 有，平方后有，代入， 有，有， 又由，有，可得， 可得，故D选项正确． 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】因为分段函数的函数值计算求参. 【详解】当时，不合题意； 当时，,符合题意，结合，所以. 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数基本关系化简得到，然后利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可. 【详解】由，得， 则， 则. 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立， 从而. 又， 所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程. （2）由题意得，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解. （3）分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解，准确推理，运算，即可得证. 【小问1详解】 由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 【点睛】知识方法点睛：与新定义有关问题的求解策略： 通过给出一个新定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的. 遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 16. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）设直线与平面的交点为P，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，利用线面平行的判定定理找到可证； （2）（i）选①：说明条件不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明平面，建立空间坐标系，求得二面角； （ii）设，可得，根据，可求得的值. 【小问1详解】 连接交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 所以是的中点； 【小问2详解】 （i） 选择条件①： 因为底面是正方形，所以， 侧面平面，且侧面平面，平面， 故平面，又平面，则， 即四边形为矩形，因为，则， 与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定； 选择条件②： 连结，因为底面是正方形，所以， 又因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为，，所以， 在中，因为，，所以， 又平面，所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，， 且，，易知为平面的一个法向量， 设为平面面的一个法向量，则，即. 不妨设，则，可得， 所以， 因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故， 所以二面角的余弦值为. 选择条件③： 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）. （ii）设，又，， 则，所以， 所以，因为平面， 所以，所以，解得， 所以. 17. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：，得到频率分布 并依据质量指标值划分等级如表所示： 质量指标值m 50≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400 等级 A级 B级 （1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数； （2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望； （3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润. 【答案】（1）275 （2）分布列见解析， （3）4750元 【解析】 【分析】(1)根据中位数在频率分布直方图表示的意义计算即可； (2)先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望； (3)设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，运用期望知识求解利润. 【小问1详解】 由题意知，设中位数为，则 ， 解得，所以产品质量指标值的中位数为275； 【小问2详解】 样本B级零件个数为10个，质量指标值在[350,400]的零件为5个， 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为： ，， ，. 随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望. 【小问3详解】 设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个， 由题意知， 因为， 所以， 所以(元). 18. 设椭圆，离心率为，长轴长为4.过点的直线l与椭圆交于，两点，直线l与轴不重合. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据根据椭圆的离心率和长轴求得即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，，，，由可得，表示点，建立方程，解之即可求解. 小问1详解】 因为椭圆的长轴长为4，所以，解得； 又，所以，得， 所以. 【小问2详解】 因为过点的直线l与椭圆交于两点，直线l与轴不重合，所以直线l的斜率不为0. 设直线， ， ，即，即或，； ，； ，； ， 直线，直线， 令，，， 令，，， 则， 即 也即 则，，斜率为； 综上，直线的斜率为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数研究单调性即可； （2）将，利用导数求出切线方程，利用反证法证明即可； （3）将问题转化为在区间上有两个不同的解，即在区间上有两个不同的解，设，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，的定义域为. ， 令，解得. 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 当时，，. 设曲线的切点为， 则切线方程为， 假设切线过原点，则有， 整理得：. 令，则. 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意，， 所以方程无解. 综上可知，曲线在点的切线不过原点. 【小问3详解】 曲线与直线在区间上有两个不同的交点， 等价于在区间上有两个不同解， 即，在区间上有两个不同的解， 设，则， 令，解得， 又因为，所以， 当，，所以单调递增； 当，，所以单调递减； 所以， 当时，， 当时，， 要使在区间上有两个不同的解， 只需使即可. 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省苏州市常熟市梅李高级中学2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研卷数学试题 2025.6 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（ ） A. （3，1） B. C. D. 3. 若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件，，，，，则等于（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B. 已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C. 已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D. 已知随机变量，，则 10. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 只有最大值，没有最小值 B. 只有最小值，没有最大值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 11. 在平面直角坐标系中，椭圆左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当时， C. D. 当点在第三象限时，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则实数的取值范围是________. 13. 已知，，且，则的最小值为________ 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一到周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值. 参考公式：，. 16. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，，侧面底面，E是棱BC上一点，平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）设直线与平面的交点为P，求的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：，得到频率分布 并依据质量指标值划分等级如表所示： 质量指标值m 50≤m<350 100≤m<150或350≤m≤400 等级 A级 B级 （1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数； （2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望； （3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润. 18. 设椭圆，离心率为，长轴长为4.过点的直线l与椭圆交于，两点，直线l与轴不重合. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，曲线的切线不经过点； （3）当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$