精品解析：内蒙古通辽市科尔沁区第七中学2025-2026学年 八年级下学期数学学情自测试卷（4月份）

2025-2026学年八年级（下）数学月考试卷（4月份） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ） A. 1，， B. 2，3， C. 5，13，12 D. 4，，5 3. 下列说法中正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 4. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 6. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 10. 如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为 _________________． 11. 如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是 ___ 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 三、解答题 13. 计算： （1） ； （2） 14. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 16. 【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数． 【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数． 即，． 类似的，，，，． 【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题： （1）_________________，________________；（为正整数） （2）若，则＝________________； （3）计算：． 17. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 18. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）数学月考试卷（4月份） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2. 在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（ ） A. 1，， B. 2，3， C. 5，13，12 D. 4，，5 【答案】D 【解析】 【分析】解此题主要看是否符合勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：A、 ，所以构成直角三角形，错误； B、 ，所以构成直角三角形，错误； C、132=122+52，所以构成直角三角形，错误； D、52≠42+（）2，所以不能构成直角三角形，正确； 故选：D． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 3. 下列说法中正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键． 根据矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故A错误，不符合题意； B．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），故B错误，不符合题意； C．平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角（只有菱形和正方形等特殊平行四边形才平分对角），故C错误，不符合题意； D．矩形的对角线相等且互相平分，故D正确，符合题意． 故选D． 4. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． B．2与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． C．，故选项正确，符合题意． D．不能化为2，不能化为，不能提公因数化简，故选项错误，不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式再把被开方数相同的二次根式进行合并．解答此题的关键是，合并方法为系数相加减，根式不变． 5. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知，， 在中，， ∴．   故选：C ． 6. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线过点且与垂直，分别交于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半． 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 8. 如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论： ①；②； ③；④当时，四边形是菱形． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 【详解】∵BF⊥AC ∴∠BMC=90° 又∵ ∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC ∴∠DNA=∠BMC=90° ∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB ∴∠ADB=∠CBD ∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM 在△AND与△CMB ∵ ∴△AND≌△CMB(AAS) ∴AN=CM，DN=BM，故①正确． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE与△CMF中 ∵ ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴NE=FM，AE=CF，故③正确． 在△NFM与△MEN中 ∵ ∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴∠FNM=∠EMN ∴NF∥EM，故②正确． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB 又根据矩形性质可知DF∥EB ∴四边形DEBF为平行四边 根据矩形性质可知OD=AO， 当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB ∴四边形DEBF为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选D． 【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9. 如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是__________． 【答案】米## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米， 故答案为：36米． 10. 如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为 _________________． 【答案】22 【解析】 【分析】大长方形的宽是小长方形的长和宽之和，大长方形的长是小长方形的长的2倍，是小长方形宽的3倍， 【详解】解：∵大长方形的宽＝，大长方形的长＝， ∴大长方形的周长＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形周长的计算，涉及到了二次根式的加法和乘法运算，解题关键是得出大长方形的长和宽． 11. 如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是 ___ 【答案】56 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ ， 故答案为：56． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13. 计算： （1） ； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ∵， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB， ∵D是BC的中点， ∴AF＝DB＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）S菱形ADCF＝96． 【解析】 【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形； （2）先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形和菱形的面积，解决本题的关键是掌握以上基础知识． 16. 【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数． 【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数． 即，． 类似的，，，，． 【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题： （1）_________________，________________；（为正整数） （2）若，则＝________________； （3）计算：． 【答案】（1）， （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法，可知，解方程即可求出m的值； （3）根据（1）的方法进行计算，裂项相消即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 17. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 【答案】（1）4米；（2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理内容． （1）先求出米，然后根据勾股定理求出米即可； （2）延长交于点，设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出，根据勾股定理求出（米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）若米，米， 米， 在Rt中，米， 由勾股定理，得米， 答：观测点到围墙的水平距离的长为4米． （2）延长交于点， 依题意得：，米， 设米，则米， 在Rt中，， 由勾股定理，得：， 在Rt中，， 由勾股定理，得， 所以， 解得：， 所以（米）， 所以米， 答：教学楼的高度为米． 18. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形中，，，点P、Q分别为、的中点，求的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接，取的中点H，连接，，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接并延长，使，再连接，，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接使，探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接．若，请求出的长． 【答案】（1），过程如下： 小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，， 点P、Q分别为、的中点， ，，，， ，， ， ， 小亮的做法：连接并延长，使，再连接，， 点P、Q分别为、的中点， ， ， ， ， ， ， 点P、Q分别为、的中点， ； （2），理由如下： 如图，延长到T，使得，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）小鹏的做法：连接，取的中点H，连接，，可得，，，，利用角度转换可得，利用勾股定理即可解答；小亮的做法：连接并延长，使，再连接，，证明，可得，利用勾股定理可得，利用中位线的性质即可解答； （2）延长到T，使得，连接，证明，推出，可得，再证明，则； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点J，证明，再推出，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $